中考数学第一轮复习 第十七讲三角形与全等三角形 知识点+真题 学生版后含答案.docx
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中考数学第一轮复习第十七讲三角形与全等三角形知识点+真题学生版后含答案
2020年中考数学第一轮复习教案
第三章图形的认识与三角形
第十七讲三角形与全等三角形
【中考真题考点例析】
考点一:
三角形三边关系
例1(温州)下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )
A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,11
对应练习1-1(长沙)如果一个三角形的两边长分别为2和4,则第三边长可能是( )
A.2B.4C.6D.8
考点二:
三角形内角、外角的应用
例2(2019青岛中考)如图,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠CDE的度数为()
A.35°B.40°C.45°D.50°
对应练习2-1(2019年威海)把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上),若∠1=23°,则∠2=°
对应练习2-2(2019年枣庄)将一副直角三角板按如图所示的位置放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则∠α的度数是( ).
A.45°B.60°C.75°D.85°
考点三:
三角形全等的判定和性质
例3(2019年山东滨州)如图,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M,连接OM,下列结论:
①AC=BD;②∠AMB=40°;③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC.其中正确的个数为()
A.4B.3C.2D.1
对应练习3-1(天门)如图,已知△ABC≌△ADE,AB与ED交于点M,BC与ED,AD分别交于点F,N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外),并选择其中的一对加以证明.
对应练习3-2(宜宾)如图:
已知D、E分别在AB、AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:
BE=CD.
考点四:
全等三角形开放性问题
例4(云南)如图,点B在AE上,点D在AC上,AB=AD.请你添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE(只能添加一个).
(1)你添加的条件是∠C=∠E
.
(2)添加条件后,请说明△ABC≌△ADE的理由.
对应练习4-1(昭通)如图,AF=DC,BC∥EF,只需补充一个条件BC=EF
,就得△ABC≌△DEF.
第十七讲三角形与全等三角形参考答案
【中考真题考点例析】
考点一:
三角形三边关系
例1答案:
C
对应练习1-1答案:
B
考点二:
三角形内角、外角的应用
例2答案:
C
对应练习2-1答案:
68
对应练习2-2答案:
C
考点三:
三角形全等的判定和性质
例3答案:
B
对应练习3-1答案:
△AEM≌△ACN,△BMF≌△DNF,△ABN≌△ADM.
选择△AEM≌△ACN,
证明:
∵△ADE≌△ABC,
∴AE=AC,∠E=∠C,∠EAD=∠CAB,
∴∠EAM=∠CAN,
∵在△AEM和△ACN中,
∠E=∠C
AE=AC
∠EAM=∠CAN
∴△AEM≌△ACN(ASA).
对应练习3-2答案:
证明:
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(ASA),
∴BE=CD(全等三角形的对应边相等).
考点四:
全等三角形开放性问题
例4答案:
解:
(1)∵AB=AD,∠A=∠A,
∴若利用“AAS”,可以添加∠C=∠E,
若利用“ASA”,可以添加∠ABC=∠ADE,或∠EBC=∠CDE,
若利用“SAS”,可以添加AC=AE,或BE=DC,
综上所述,可以添加的条件为∠C=∠E(或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC);
故答案为:
∠C=∠E;
(2)选∠C=∠E为条件.
理由如下:
∵在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(AAS).
对应练习4-1答案:
BC=EF,
解析:
∵AF=DC,
∴AF+FC=CD+FC,
即AC=DF,
∵BC∥EF,
∴∠EFC=∠BCF,
∵在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
故答案为:
BC=EF.
【聚焦中考真题】
一、选择题
1.(湘西州)如图,一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板,拼成如下图形,其中∠C=90°,∠B=45°,∠E=30°,则∠BFD的度数是( )
A.15°B.25°C.30°D.10°
2.(鄂州)一副三角板有两个直角三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是( )
A.165°B.120°C.150°D.135°
3.(泉州)在△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形
4.(宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是( )
A.1,2,6B.2,2,4C.1,2,3D.2,3,4
5.(衡阳)如图,∠1=100°,∠C=70°,则∠A的大小是( )
A.10°B.20°C.30°D.80°
6.(河北)如图1,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成△ABC,且∠B=30°,∠C=100°,如图2.则下列说法正确的是( )
A.点M在AB上
B.点M在BC的中点处
C.点M在BC上,且距点B较近,距点C较远
D.点M在BC上,且距点C较近,距点B较远
7.(铁岭)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( )
A.BC=EC,∠B=∠EB.BC=EC,AC=DC
C.BC=DC,∠A=∠DD.∠B=∠E,∠A=∠D
8.(台州)已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2,
对于上述的两个判断,下列说法正确的是( )
A.①正确,②错误B.①错误,②正确
C.①,②都错误D.①,②都正确
9.(邵阳)如图所示,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连结BE交CD于点O,连结AO,下列结论不正确的是( )
A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC
10.(河北)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,
若∠3=50°,则∠1+∠2=( )
A.90°B.100°C.130°D.180°
11.(陕西)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,若连接AC、BD相交于点O,则图中全等三角形共有( )
A.1对B.2对C.3对D.4对
二、填空题
12.(威海)将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC.∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF=25°
.
13.(黔东南州)在△ABC中,三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B,则∠B=60
度.
14.(柳州)如图,△ABC≌△DEF,请根据图中提供的信息,写出x=20
.
15.(巴中)如图,已知点B、C、F、E在同一直线上,∠1=∠2,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件,这个条件可以是CA=FD
.(只需写出一个)
16.(郴州)如图,点D、E分别在线段AB,AC上,AE=AD,不添加新的线段和字母,要使△ABE≌△ACD,需添加的一个条件是∠B=∠C(答案不唯一)
(只写一个条件即可).
17.(达州)如图,在△ABC中,∠A=m°,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013,则∠A2013=度.
三、解答题
18.(聊城)如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E,求证:
AE=CE.
19.(菏泽)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
(1)求证:
△ABE≌△CBD;
(2)若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
20.(临沂)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
21.(东营)
(1)如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.
证明:
DE=BD+CE.
(2)如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:
如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
22.(烟台)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是AE∥BF
,QE与QF的数量关系式QE=QF
;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
23.
(玉林)如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.
求证:
△ABC≌△AED.
24.(湛江)如图,点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,求证:
AC=DF.
25.(荆州)如图,△ABC与△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D在AB上,连结BE.请找出一对全等三角形,并说明理由.
26.(十堰)如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:
AD=AE.
27.(佛山)课本指出:
公认的真命题称为公理,除了公理外,其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实.
(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS;
(2)证明推论AAS.
要求:
叙述推论用文字表达;用图形中的符号表达已知、求证,并证明,证明对各步骤要注明依据.
28.(内江)已知,如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACD=∠DCE=90°,D为AB边上一点.求证:
BD=AE.
29.(舟山)如图,△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠A=∠D,AB=DC.
(1)求证:
△ABE≌DCE;
(2)当∠AEB=50°,求∠EBC的度数?
30.(荆门)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:
BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:
△AEF≌△BCF.
31.(随州)如图,点F、B、E、C在同一直线上,并且BF=CE,∠ABC=∠DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF?
如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使△ABC≌△DEF,并给出证明.
提供的三个条件是:
①AB=DE;②AC=DF;③AC∥DF.
第十七讲三角形与全等三角形参考答案
【聚焦中考真题】
一、选择题
1-5AADDC6-10CCDAB11C
二、填空题
12答案:
25°
13答案:
60
14答案:
20
15答案:
CA=FD
16答案:
∠B=∠C
17答案:
解:
∵A1B平分∠ABC,A1C平分∠ACD,
∴∠A1=
∠A,∠A2=
∠A1=
∠A,…
∴∠A2015=
∠A=
。
三、解答题
18答案:
证明:
如图,过点B作BF⊥CE于F,
∵CE⊥AD,∴∠D+∠DCE=90°,
∵∠BCD=90°,∴∠BCF+∠DCE=90°,
∴∠BCF=∠D,
∵在△BCF和△CDE中,
∴△BCF≌△CDE(AAS),
∵BF=CE,又∵∠A=90°,CE⊥AD,BF⊥CE,
∴四边形AEFB是矩形,∴AE=BF,∴AE=CE.
19答案:
(1)证明:
∵∠ABC=90°,
∴∠DBE=∠ABC=90°.
∴∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中,
AB=CB,∠ABE=∠CBD,EB=DB,
∴△ABE≌△CBD(SAS)。
(2)解:
∵AB=CB,∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ECA=45°.
∵∠CAE=30°,∠BEA=∠ECA+∠EAC,
∴∠BEA=45°+30°=75°.
由
(1)知△ABE≌△CBD,
∴∠BDC=∠BEA.
∴∠BDC=75°.
20.答案:
(1)证明:
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE,
∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,
∴AE=DE,BD=CD,
在△AFE和△DBE中
∠AFE=∠DBE
∠FEA=∠BED
AE=DE
∴△AFE≌△DBE(AAS),
∴AF=BD,
∴AF=DC.
(2)四边形ADCF是菱形,
证明:
AF∥BC,AF=DC,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵AC⊥AB,AD是斜边BC的中线,
∴AD=
BC=DC,
∴平行四边形ADCF是菱形.
21.答案:
证明:
(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(3)由
(2)知,△ADB≌△CEA,
BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,
∴∠ABF=∠CAF=60°,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠FAE,
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
,
∴△DBF≌△EAF(SAS),
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形.
22.答案:
解:
(1)AE∥BF,QE=QF,
理由是:
如图1,
∵Q为AB中点,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ,
在△BFQ和△AEQ中
,
∴△BFQ≌△AEQ(AAS),
∴QE=QF,
故答案为:
AE∥BF,QE=QF.
(2)QE=QF,
证明:
如图2,延长FQ交AE于D,
∵AE∥BF,
∴∠QAD=∠FBQ,
在△FBQ和△DAQ中
,
∴△FBQ≌△DAQ(ASA),
∴QF=QD,
∵AE⊥CP,
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线,
∴QE=QF=QD,
即QE=QF.
(3)
(2)中的结论仍然成立,
证明:
如图3,
延长EQ、FB交于D,
∵AE∥BF,
∴∠1=∠D,
在△AQE和△BQD中
,
∴△AQE≌△BQD(AAS),
∴QE=QD,
∵BF⊥CP,
∴FQ是斜边DE上的中线,
∴QE=QF.
23.答案:
证明:
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,
即∠BAC=∠EAD,
∵在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(AAS).
24.答案:
证明:
∵FB=CE
∴FB+FC=FC+CE
∴BC=FE
又∵AB∥ED,AC∥FD
∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE
∵在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(ASA)
∴AB=DE,AC=DF(全等三角形对应边相等)
25.答案:
△ACD≌△BCE.
证明:
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,
即∠ACD=∠BCE.
∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴CA=CB,CD=CE,
在△ACD和△BCE中,
∵
∴△ACD≌△BCE.
26.答案:
证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△ABD与△ACE中,
∵
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE.
27.答案:
解:
(1)三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是:
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
(2)已知:
如图,在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F,BC=EF.
求证:
△ABC≌△DEF.
证明:
如图,在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F(已知),
∴∠A+∠C=∠D+∠F(等量代换).
又∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和定理),
∴∠B=∠E.
∵在△ABC与△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
28.答案:
证明:
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE。
∵∠ACD=∠DCE=90°,
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,
∴∠ACE=∠BCD。
在△ACE和△BCD中,
∵
∴△ACE≌△BCD(SAS)。
∴BD=AE。
29.答案:
(1)证明:
∵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE(AAS);
(2)解:
∵△ABE≌△DCE,
∴BE=EC,
∴∠EBC=∠ECB,
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°,
∴∠EBC=25°.
30.答案:
(1)证明:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠BAE=∠EAC.
在△ABE和△ACE中,
∵
∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴BE=CE.
(2)证明:
∵∠BAC=45°,BF⊥AF,
∴△ABF为等腰直角三角形.
∴AF=BF.
∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∴∠EAF+∠C=90°.
∵BF⊥AC,
∴∠CBF+∠C=90°.
∴∠EAF=∠CBF.
在△AEF和△BCF中,
∵
∴△AEF≌△BCF(ASA).
31.答案:
解:
不能;
选择条件:
①AB=DE;
∵BF=CE,
∴BF+BE=CE+BE,
即EF=CB,
在△ABC和△DFE中,
∵
∴△ABC≌△DFE(SAS).
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