平行向量的概念.docx
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平行向量的概念.docx
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平行向量的概念
平行向量的概念
(经典版)
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平行向量的概念
这是平行向量的概念,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。
平行向量的概念第1篇
二、复习要求
1、向量的概念;
2、向量的线性运算:
即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;
3、向量运算的运用
三、学习指导
1、向量是数形结合的典范。
向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。
在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形:
①向量加减法则:
三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。
2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的.结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式:
图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运算图形语言符号语言坐标语言
加法与减法
=
-=
记=(x1,y1),=(x1,y2)
则=(x1x2,y1y2)
-=(x2-x1,y2-y1)=
实数与向量
的乘积
=λ
λ∈r记第一文库网=(x,y)
则λ=(λx,λy)两个向量
的数量积
·=||||
cos
记=(x1,y1),=(x2,y2)
则·=x1x2y1y2
3、运算律
加法:
=,()=()
实数与向量的乘积:
λ()=λλ;(λμ)=λμ,λ(μ)=
(λμ)
两个向量的数量积:
·=·;(λ)·=·(λ)=λ(·),()·=··
说明:
根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如(±)2=
4、重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。
根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义(λ1,λ2)为向量的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系:
当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若a(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
(2)两个向量平行的充要条件
符号语言:
若∥,≠,则=λ
坐标语言为:
设=(x1,y1),=(x2,y2),则∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0
在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ
|λ|=,λ的大小由及的大小确定。
因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。
这就是实数乘向量中λ的几何意义。
(3)两个向量垂直的充要条件
符号语言:
⊥·=0
坐标语言:
设=(x1,y1),=(x2,y2),则⊥x1x2y1y2=0
(4)线段定比分点公式
如图,设
则定比分点向量式:
定比分点坐标式:
设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)
则
特例:
当λ=1时,就得到中点公式:
,
实际上,对于起点相同,终点共线三个向量,,(o与p1p2不共线),总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。
平行向量的概念第2篇
第一教时
教材:
向量
目的:
要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念,并能作一个向量与已知向量相等,根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
过程:
一、开场白:
本P93(略)
实例:
老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,
问:
猫能否追到老鼠?
(画图)
结论:
猫的速度再快也没用,因为方向错了。
二、提出题:
平面向量
1.意义:
既有大小又有方向的量叫向量。
例:
力、速度、加速度、冲量等
注意:
1数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。
2从19世纪末到20世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空间性质。
2.向量的表示方法:
1几何表示法:
点—射线
有向线段——具有一定方向的线段
有向线段的三要素:
起点、方向、长度
记作(注意起讫)
2字母表示法:
可表示为(印刷时用黑体字)
P95例用1cm表示5nmail(海里)
3.模的概念:
向量的大小——长度称为向量的模。
记作:
模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量:
1零向量——长度(模)为0的向量,记作。
的方向是任意的。
注意与0的区别
2单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例:
温度有零上零下之分,“温度”是否向量?
答:
不是。
因为零上零下也只是大小之分。
例:
与是否同一向量?
答:
不是同一向量。
例:
有几个单位向量?
单位向量的大小是否相等?
单位向量是否都相等?
答:
有无数个单位向量,单位向量大小相等,单位向量不一定相等。
三、向量间的关系:
1.平行向量:
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作:
∥∥
规定:
与任一向量平行
2.相等向量:
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作:
=
规定:
=
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关。
3.共线向量:
任一组平行向量都可移到同一条直线上,
所以平行向量也叫共线向量。
例:
(P95)略
变式一:
与向量长度相等的向量有多少个?
(11个)
变式二:
是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?
(存在)
变式三:
与向量共线的向量有哪些?
()
四、小结:
五、作业:
P96练习习题5.1
平行向量的概念第3篇
目的:
通过练习使学生对实数与积,两个向量共线的充要条件,平面向量的基本定理有更深刻的理解,并能用来解决一些简单的几何问题。
过程:
一、复习:
1.实数与向量的积(强调:
“模”与“方向”两点)
2.三个运算定律(结合律,第一分配律,第二分配律)
3.向量共线的充要条件
4.平面向量的基本定理(定理的本身及其实质)
二、例题
1.当λZ时,验证:
λ(+)=λ+λ
证:
当λ=0时,左边=0(+)=右边=0+0=分配律成立
当λ为正整数时,令λ=n,则有:
n(+)=(+)+(+)+…+(+)
=++…+++++…+=n+n
即λ为正整数时,分配律成立
当为负整数时,令λ=n(n为正整数),有:
n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn
分配律仍成立
综上所述,当λ为整数时,λ(+)=λ+λ恒成立。
2.1kg的重物在两根细绳的支持下,处于平衡状态(如图),已知两细绳与水平线分别成30,60角,问两细绳各受到多大的力?
解:
将重力在两根细绳方向上分解,两细绳间夹角为90
1(kg)P1OP=60P2OP=30
∴cos60=1=0.5(kg)
cos30=1=0.87(kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kg。
平行向量的概念第4篇
本章内容介绍
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,学习这个平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.
本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,并说明了向量与数量的区别,然后介绍了向量的一些基本概念.(让学生对整章有个初步的'、全面的了解.)
第1课时
2.1平面向量的实际背景及基本概念
教学目标:
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点:
理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学法:
本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具:
多媒体或实物投影仪,尺规
授课类型:
新授课
教学思路:
一、情景设置:
如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:
猫能否
追到老鼠?
(画图)
结论:
猫的速度再快也没用,因为方向错了.
分析:
老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、CBD
有长短的量.
引言:
请同学指出哪些量既有大小又有方向?
哪些量只有大小没有方向?
二、新课学习:
(一)向量的概念:
我们把既有大小又有方向的量叫向量
(二)请同学阅读课本后回答:
(可制作成幻灯片)
1、数量与向量有何区别?
2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?
分别可以表示向量的什么?
4、长度为零的向量叫什么向量?
长度为1的向量叫什么向量?
5、满足什么条件的两个向量是相等向量?
单位向量是相等向量吗?
6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
(三)探究学习
1、数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.
2.向量的表示方法:
①用有向线段表示;
②用字母a、b
(黑体,印刷用)等表示;③用有向线段的起点与终点字母:
AB;④向量AB的大小――长度称为向量的模,记作|AB|.
3.有向线段:
具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:
起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别:
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量,记作0.0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.aA(起点)B(终点)
说明:
零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.
说明:
(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;
(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.
6、相等向量定义:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明:
(1)向量a与b相等,记作a=b;
(2)零向量与零向量相等;
(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有..
向线段的起点无关。
7、共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的。
起点无关)。
说明:
(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;
(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
(四)理解和巩固:
例1书本86页例1.
例2判断:
(1)平行向量是否一定方向相同?
(不一定)
(2)不相等的向量是否一定不平行?
(不一定)
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?
(零向量)
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?
(零向量)
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
(平行向量)
(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?
(长度相等且方向相同)
(7)共线向量一定在同一直线上吗?
(不一定)
例3下列命题正确的是()
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形
的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解:
由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,
而由零向量与任一向量都
共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.例4如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.
变式一:
与向量长度相等的向量有多少个?
(11个)
变式二:
是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?
(存在)变式三:
与向量共线的向量有哪些?
(CB,DO,FE)
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.①向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB=DC
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;
⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
解:
①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线,虽起点不同,但其终点却相
2.书本88页练习
三、小结:
1、描述向量的两个指标:
模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、向量的图示,要标上箭头和始点、终点.
四、课后作业:
书本88页习题2.1第3、5题
同.
第2课时
2.2.1向量的加法运算及其几何意义
教学目标:
1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力;
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;
教学重点:
会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点:
理解向量加法的定义.
学法:
数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?
数的加法启发我们,从运算的角度看,位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教具:
多媒体或实物投影仪,尺规
授课类型:
新授课
教学思路:
一、设置情景:
1、复习:
向量的定义以及有关概念
强调:
向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置
2、情景设置:
(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,
则两次的位移和:
AB?
BC?
AC
(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,
则两次的位移和:
AB?
BC?
AC
(3)某车从A到B,再从B改变方向到C,
则两次的位移和:
AB?
BC?
ACAB
C
(4)船速为AB,水速为BC,则两速度和:
AB?
BC?
AC
二、探索研究:
1、向量的加法:
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.ABCABC
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- 平行 向量 概念