分式不等式的证明及方法总结计划docx.docx
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分式不等式的证明及方法总结计划docx
分式不等式的证明与方法
摘要:
分式不等式的证明是高中数学中的难点之一,本文主要通过作
差法,利用基本不等式法,利用非负实数的性质,利用放缩法,环元
法,构造法,类比法,局部不等式法来分析与证明分式不等式,从
而对分式不等式的证明有着整体的理解。
通过方法与总结克服证明分
式不等式的胆怯心理。
关键词:
分式不等式证明方法作差法基本不等式法
构造法
二.利用基本不等式法
均值不等式即:
利用不等式
1n
m
n
m
m
i)
(
x)
(
1nxi
x
ni1i
1
i1
R,i1,2)证明一
ni1yi
1
n
m2
n
(xi,yi
n
yi
ni
yi
i1
1
类难度较大的分式不等式是很简捷的。
例2.若ai
n
n
R(i1,2)且i1
ai
s,mN,则有i1
m
1
m
s
n
(aiai)
n(
)
s
n
证明:
(1)
当m=1时,
n
n
n
2
n
n
n
n,所以有:
1
∵
i1
2,
1
(ai
i)=
1
i
i1
i
a
i1
a
i
i1
a
i
i1
a
an
i1
a
s
i1
2
≧n+s=n(ns)
ssn
(2)当m=2时,
n
n
1
1m2
(ai
i1
i)≧
i1
a
n
(ai
1
m
ai)
m
n
≧n(n
s)
s
n
综上,由
(1)
(2)知原不等式成立。
排序不等式即,适用于对称不等式
例3.设a,b,c
是正实数,求证:
a
b
c
3
c
c
aab
2
b
证明:
不妨设a≧b
c则1
1
1
bcc
a
a
b
由排序不等式得:
a
b
c
b
c
a
(1)
bccaabbccaab
a
b
c
c
a
b
(2)
bccaabbccaab
由
(1)+
(2)得
2(a
b
c
)
3,所以
a
bc
3
bccaab
bccaab2
n
n
1
2
利用倒数不等式即:
若ai>0,则i1
ai
i1
ai
n
例4.设,都是锐角,求证:
且
取什么值时成立?
2
2
证明:
sin
cos
1
,不等式左边拆项得:
1
1
=
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sinsincos
cos
sin
cos
sin
sni
2
2
2
2
2
1
又由于cos
sin
cos
sin
sin
由倒数不等式有:
2
2
2
2
sin
2
(cos
sin
cos
sin
)
(
1
1
1
)≥9
2
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
sni
所以原不等式成立
2
2
2
2
2
当且仅当cos
sin
cos
sin
sin
即tan1,tan
2时等
号成立。
n
2
n
n
)
2
2
)来明。
利用柯西不等式法即利用(
aibi
i
i(
i
b
i
R
i1
i1
a
ii
b
a
例5
、如果a1a2
...
an
,n
∈N,
且
n≥3,
求
2
2
2
1
+2
+⋯+(n1)+n≥0
a1a2a2
a3
an1
an
an
a1
明:
原不等式等价于
2
2
2
+
1
2
+⋯+(n1)≥
n
a1a2a2
a3
an1
an
a1an
由柯西不等式得:
2
2
[(a1-a2)+(a2-a3)+(an1-an)][
+⋯+(n1)]≥
1
+2
a1a2
a2
a3
an1
an
[1+2+⋯+(n
1)]=[n(n
2
2
1)
2
1)]
=n(n
2
2
4
当n≥3,(n
2
1)≥1
4
2
1)
2
2
2
n(n
≥n
2
所以
a1
1
+2
+⋯+
(n1)≥
4
an
a2
a2
a3
an1
an
a1an
a1
(5)利用Grammer法,即
把数学知行高初的有机合是我学和数学新的一
个重要目的
例6.ai>0求:
a1
a2
an
n
an
a3an
a1
an1n1
a2
明:
令a2a3
an
1an
x1
a1a3an1an
x2
⋯⋯
a1a2
an1xn
ai
D=(
n
(i
1,2,n)未知数,然此方程的系数行列式
1)(n
1),
n
n
用xi
分替D中的第i列得:
Di
(1)[i1
xi
(n
1)xi](i
1,2,
n),y
由Grammer法有:
n
Di
[xj
(n1)xi]
ai
j1
故有:
D
n1
a1
a2
an
a2
an
a3
an
a1
an1
n
n
n
[xj(n1)x1]
[xj
(n1)x2]
[xj
(n1)xn]
=j1
n
1
+j1
+⋯j1
1
n1
n
1[x2
x3
xnx3
xn
x1
x1x2
xn1
n(n2)]
n
1
x1
x2
xn
1
[n(n
1)n(n2)]
n1
=nn1
(a
2
三.零点法即利用非数的性
b)
0(ab时等号成立)
2
例7.
ai,bi(i
n
n
bi
n
ai
1
n
1,2,n)是正数,且
ai
求:
bi2
ai
i1
i1
i1ai
i1
明:
当aibi
,不等式取等号,且
ai
ai
bi
ai
bi
2
2
构造不等式[(
ai
a
i
bi
)0
]
即有:
ai
bi
2
2
ai
bi3ai
0,令i=1,2,⋯相互叠加,得:
aibi4
nn
n
2
bi
3
ai
n
n
n
2
n
ai
ai
1
in
i1
0
,因为
ai
bi,所以有
ai
i1aibi
4
i1aibi
2
i1
i1
i1
四。
利用放缩法
对于某些分式不等式,抓住其特点,将分子分母进行适当的放缩
处理,就能收到意想不到的结果。
例
8.设
a,b,c,d
为
任
意
正
数
,
求
证
:
1
a
b
c
d
2
ab
dbc
acdadac
证明:
首先分母缩小以证明右式
a
b
c
d
a
b
c
d
ab
dbc
2
acdadacababcdcd
然后分母放大以证明左式
a
b
c
d
a
b
c
d
1
abdbcacdadacabcdabcdabcdabcd
所以原不等式成立。
五.换元法。
常用的换元方法有局部代换,整体代换,三角代换。
例9.(猜想)
2
x
2
2
2
2
z
2
设x,y,z
R求证:
y
z
y
x
0
z
x
x
y
y
z
证明:
令原不等式左边为M,zx
a,xyb,yzc,则
yxca,z
y
a
b,x
zb
c,a,b,c
R,所以有:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
M
b(c
a)
c(a
b)
a(b
c)
bc
ca
ab
(bca
cab
abc)
a
b
c
abc
因为2
2
2
2
2
ab
2
2
2
2
2
bc
2
2
2
2
2
ca,所以有:
bcca2c
caab
2a
2b
abbc
2
2
2
2
2
2
2
2
2
bccaab(bcacababc,
故M>0,当且仅当xyz时等号成立,所以原不等式成立。
(局部代换)
2
2
2
2
1
例10.已知a,b,c,d
R,且a
b
c
d
1,求证:
abcd
2
2
2
2
9
1
a
1b
1
c
1
d
2
证明:
设
,则
a
2
)),,又设
a
tan
sin
(
(0,
2
1
2
a
,由
2
sin
2
sin
2
2
,有
b
tan,c
tan
dtan
(,
(0,
2
))
sin
sin
1
2
2
2
1sin
2
2
,
则
有
:
sin
sin
sin
cos
2
2
2
sin
2
2
2
2
,
同
3?
3
sin
sin
sin
sin
sin
cos
(1)
理
:
3
2
sin
2
sin
2
sin
2
2
2
2
(2)
?
3
sin
sin
sin
cos
2
2
2
sin
2
2
2
2
3?
3
sin
sin
sin
sin
sin
cos
(3)
2
2
2
sin
2
2
2
2
(4),
(1)
(2)(3)(4)得:
3?
3
sin
sin
sin
sin
sin
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
81sin
sinsin
sin
cos
cos
cos
cos
2
2
2
2
1
即:
tantan
tantan
81
1
所以有:
abcd
9
代数不等式的三角代换,常利用同角万能公式将常数化为三角函数。
整体代换
例11
已知a,b,c
R,且
a
b
c
1,求证:
1
1
1
12
1
a
1
b
1
c
2
2
2
a
b
c
证明:
由已知得
:
1
1
1
1,设x
1
y
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1,z
1
1,
1
b
c
1
a
b
c
a
则有:
11
1,
11
1,
111,
且
xyz1
,所以:
a
x
b
y
c
z
1
(11)(1
1)(1
1)
y
zz
x
x
y
2
yz
2
xy2
zx
8,所以abc
1,
abc
xy
z
x
y
z
zyx
8
所以:
1
1
1
3
3
2
2
2
2
2
2
12
6
a
b
c
3
abc
3
2
六.构造法
构造法通常是指构造函数,构造数列,构造对偶式,构造模型,构造向量
等,这些都是证明分式不等式的有力工具。
构造对偶式也叫配对法
3
3
3
abc
例12.已知a,b,c
均为正数,求证:
a
b
c
2
2
2
2
2
2
3
a
ab
b
b
bc
c
c
caa
证
明
:
设
3
3
3
3
3
3
M2
a
2
2
b
2
2
c
2,N
b
2
2
2
c
2
2
a
a
2则M-N=0
a
ab
b
b
bc
c
c
ca
a
aba
b
b
bc
c
c
ca
2
2
b
2
2
2
2
即M=N,又M
N
(a
b)
a
ab
b
(bc)
bc
c
(c
a)
c
ca
a
,由基本不等式
2
2
b
2
2
2
2
a
ab
b
bc
c
c
ca
a
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