初二三角形证明的中考题.docx
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初二三角形证明的中考题
第一章三角形的证明测试卷
(源于中考的试题)
参考答案与试题解析
一.选择题(共9小题)
1.(2013?
郴州)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′等于( )
A.
25°
B.
30°
C.
35°
D.
40°
解答:
解:
∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,
∴∠B=90°﹣25°=65°,
∵△CDB′由△CDB反折而成,
∴∠CB′D=∠B=65°,
∵∠CB′D是△AB′D的外角,
∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°.
故选D.
2.(2012?
潍坊)轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是( )海里.
A.
25
B.
25
C.
50
D.
25
解答:
解:
根据题意,
∠1=∠2=30°,
∵∠ACD=60°,
∴∠ACB=30°+60°=90°,
∴∠CBA=75°﹣30°=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∵BC=50×=25,
∴AC=BC=25(海里).
故选D.
3.(2011?
贵阳)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是( )
A.
B.
C.
D.
7
解答:
解:
根据垂线段最短,可知AP的长不可小于3;
∵△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,
∴AB=6,
∴AP的长不能大于6.故选D.
4.(2012?
铜仁地区)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为( )
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
考点:
等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.
分析:
由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,利用两直线平行,内错角相等,利用等量代换可∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,然后即可求得结论.
解答:
解:
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,
∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,
∵MN∥BC,
∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB,
∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,
∴BM=ME,EN=CN,
∴MN=ME+EN,
即MN=BM+CN.
∵BM+CN=9
∴MN=9,故选D.
5.(2011?
恩施州)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为( )
A.
11
B.
C.
7
D.
考点:
角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
作DM=DE交AC于M,作DN⊥AC,利用角平分线的性质得到DN=DF,将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求.
解答:
解:
作DM=DE交AC于M,作DN⊥AC,
∵DE=DG,DM=DE,
∴DM=DG,
∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,
∴DF=DN,
在Rt△DEF和Rt△DMN中,
,
∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL),
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39,
∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11,
S△DNM=S△DEF=
S△MDG=
=
故选B.
点评:
本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质,解题的关键是正确地作出辅助线,将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求.
6.(2012?
广州)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )
A.
B.
C.
D.
解答:
解:
根据题意画出相应的图形,如图所示:
在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,
根据勾股定理得:
AB=
=15,
过C作CD⊥AB,交AB于点D,
又S△ABC=
AC?
BC=
AB?
CD,
∴CD=
=
=
,
则点C到AB的距离是
.故选A
7.(2007?
芜湖)如图,在△ABC中AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
解答:
解:
在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AEH=∠ADB=90°;
∵∠EAH+∠AHE=90°,∠DHC+∠BCH=90°,
∵∠EHA=∠DHC(对顶角相等),
∴∠EAH=∠DCH(等量代换);
∵在△BCE和△HAE中
,
∴△AEH≌△CEB(AAS);
∴AE=CE;
∵EH=EB=3,AE=4,
∴CH=CE﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1.故选A.
8.(2011?
泰安)如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为( )
A.
B.
C.
D.
6
解答:
解:
∵△CEO是△CEB翻折而成,
∴BC=OC,BE=OE,∠B=∠COE=90°,
∴EO⊥AC,
∵O是矩形ABCD的中心,
∴OE是AC的垂直平分线,AC=2BC=2×3=6,
∴AE=CE,
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,即62=AB2+32,解得AB=3
,
在Rt△AOE中,设OE=x,则AE=3
﹣x,
AE2=AO2+OE2,即(3
﹣x)2=32+x2,解得x=
,
∴AE=EC=3
﹣
=2
.
故选A.
9.(2012?
深圳)如图,已知:
∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( )
A.
6
B.
12
C.
32
D.
64
解答:
解:
∵△A1B1A2是等边三角形,
∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,
∴∠2=120°,
∵∠MON=30°,
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°,
又∵∠3=60°,
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°,
∵∠MON=∠1=30°,
∴OA1=A1B1=1,
∴A2B1=1,
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,
∴∠11=∠10=60°,∠13=60°,
∵∠4=∠12=60°,
∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,
∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,
∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,
∴A3B3=4B1A2=4,
A4B4=8B1A2=8,
A5B5=16B1A2=16,
以此类推:
A6B6=32B1A2=32.
故选:
C.
二.填空题(共8小题)
10.(2011?
怀化)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的角平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD= 4 .
考点:
勾股定理;等腰三角形的性质.
分析:
首先根据等腰三角形的性质:
等腰三角形的三线合一,求出DB=DC=
CB,AD⊥BC,再利用勾股定理求出AD的长.
解答:
解:
∵AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,
∴DB=DC=
CB=3,AD⊥BC,
在Rt△ABD中,
∵AD2+BD2=AB2,
∴AD=
=4,
故答案为:
4.
点评:
此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用,做题的关键是根据等腰三角形的性质证出△ADB是直角三角形.
11.(2011?
衡阳)如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为 7 .
考点:
翻折变换(折叠问题);勾股定理.
专题:
压轴题;探究型.
分析:
先根据勾股定理求出BC的长,再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE,进而求出△ABE的周长.
解答:
解:
∵在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,
∴BC=
=
=4,
∵△ADE是△CDE翻折而成,
∴AE=CE,
∴AE+BE=BC=4,
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7.
故答案为:
7.
点评:
本题考查的是图形翻折变换的性质,即折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
12.(2010?
滨州)如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点,若AE=2,EM+CM的最小值为
.
考点:
轴对称-最短路线问题;勾股定理.
专题:
压轴题;动点型.
分析:
要求EM+CM的最小值,需考虑通过作辅助线转化EM,CM的值,从而找出其最小值求解.
解答:
解:
连接BE,与AD交于点M.则BE就是EM+CM的最小值.
取CE中点F,连接DF.
∵等边△ABC的边长为6,AE=2,
∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4,
∴CF=EF=AE=2,
又∵AD是BC边上的中线,
∴DF是△BCE的中位线,
∴BE=2DF,BE∥DF,
又∵E为AF的中点,
∴M为AD的中点,
∴ME是△ADF的中位线,
∴DF=2ME,
∴BE=2DF=4ME,
∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME,
∴BE=
BM.
在直角△BDM中,BD=
BC=3,DM=
AD=
,
∴BM=
=
,
∴BE=
.
∵EM+CM=BE
∴EM+CM的最小值为
.
点评:
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.
13.(2013?
泰安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是 2 .
考点:
含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质.
专题:
压轴题.
分析:
根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°,则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度.
解答:
解:
∵∠ACB=90°,FD⊥AB,
∴∠ACB=∠FDB=90°,
∵∠F=30°,
∴∠A=∠F=30°(同角的余角相等).
又AB的垂直平分线DE交AC于E,
∴∠EBA=∠A=30°,
∴直角△DBE中,BE=2DE=2.
故答案是:
2.
点评:
本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形.解题的难点是推知∠EBA=30°.
14.(2013?
黔西南州)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 15 度.
考点:
等边三角形的性质;三角形的外角性质;等腰三角形的性质.
专题:
压轴题.
分析:
根据等边三角形三个角相等,可知∠ACB=60°,根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数.
解答:
解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,∠ACD=120°,
∵CG=CD,
∴∠CDG=30°,∠FDE=150°,
∵DF=DE,
∴∠E=15°.
故答案为:
15.
点评:
本题考查了等边三角形的性质,互补两角和为180°以及等腰三角形的性质,难度适中.
15.(2005?
绵阳)如图,在△ABC中,BC=5cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是 5 cm.
考点:
等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.
专题:
压轴题.
分析:
分别利用角平分线的性质和平行线的判定,求得△DBP和△ECP为等腰三角形,由等腰三角形的性质得BD=PD,CE=PE,那么△PDE的周长就转化为BC边的长,即为5cm.
解答:
解:
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,
∴∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE,
∵PD∥AB,PE∥AC,
∴∠ABP=∠BPD,∠ACP=∠CPE,
∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE,
∴BD=PD,CE=PE,
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm.
答:
△PDE的周长是5cm.
点评:
此题主要考查了平行线的判定,角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点.本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长.
17.(2005?
十堰)如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,则第n个三角形的面积为
.
考点:
勾股定理.
专题:
规律型.
分析:
根据勾股定理,逐一进行计算,从中寻求规律,进行解答.
解答:
解:
根据勾股定理:
第一个三角形中:
OA12=1+1,S1=1×1÷2;
第二个三角形中:
OA22=OA12+1=1+1+1,S2=OA1×1÷2=
×1÷2;
第三个三角形中:
OA32=OA22+1=1+1+1+1,S3=OA2×1÷2=
×1÷2;
…
第n个三角形中:
Sn=
×1÷2=
.
点评:
本题主要考查了勾股定理的应用,要注意图中三角形的面积的变化规律.
三.解答题(共5小题)
18.(2013?
温州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
考点:
全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;含30度角的直角三角形.
分析:
(1)根据角平分线性质求出CD=DE,根据HL定理求出另三角形全等即可;
(2)求出∠DEB=90°,DE=1,根据含30度角的直角三角形性质求出即可.
解答:
(1)证明:
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=ED,∠DEA=∠C=90°,
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL);
(2)解:
∵DC=DE=1,DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∵∠B=30°,
∴BD=2DE=2.
点评:
本题考查了全等三角形的判定,角平分线性质,含30度角的直角三角形性质的应用,注意:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
19.(2013?
沈阳)如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:
BF=2AE;
(2)若CD=
,求AD的长.
考点:
全等三角形的判定与性质;勾股定理.
专题:
证明题;压轴题.
分析:
(1)先判定出△ABD是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD,再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE,然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=AC,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF,从而得证;
(2)根据全等三角形对应边相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF,然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解.
解答:
(1)证明:
∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=BD,
∵BE⊥AC,AD⊥BC,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∠CBE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠CBE,
在△ADC和△BDF中,
,
∴△ADC≌△BDF(ASA),
∴BF=AC,
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴AC=2AE,
∴BF=2AE;
(2)解:
∵△ADC≌△BDF,
∴DF=CD=
,
在Rt△CDF中,CF=
=
=2,
∵BE⊥AC,AE=EC,
∴AF=CF=2,
∴AD=AF+DF=2+
.
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,勾股定理的应用,以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质,熟记各性质并准确识图是解题的关键.
22.(2013?
铜仁地区)如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D在同一条直线上.求证:
BD=CE.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
专题:
证明题.
分析:
求出AD=AE,AB=AC,∠DAB=∠EAC,根据SAS证出△ADB≌△AEC即可.
解答:
证明:
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE,AB=AC,
又∵∠EAC=90°+∠CAD,∠DAB=90°+∠CAD,
∴∠DAB=∠EAC,
∵在△ADB和△AEC中
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴BD=CE.
点评:
本题考查了等腰直角三角形性质,全等三角形的性质和判定的应用,关键是推出△ADB≌△AEC.
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