山东交通学院概率作业纸答案doc.docx
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山东交通学院概率作业纸答案doc
第一章随机事件及其概率
第三节事件的关系及运算
一、选择
1.事件觞表示(C)
(A)事件4与事件B同时发牛
(B)事件4与事件B都不发牛
(C)事件4与事件B不同时发生(D)
以上都不对
2.事件A,B,有AuB,则AUB=(B)
二、填空
1.设A,B,C表示三个随机事件,mA,B,C的关系和运算表示⑴仅4发牛为A歹C
⑵A,B,C止好有一件发生为ABC+ABC+ABC(3)A,B,C屮至少有一件发生为
AUBUC
第四节概率的古典定义
—、选择
1.将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上,任意取出3张排列成三位数,这个数是奇数的概率是(B)
1331
(A)—(B)—(C)—(D)—
251010
二、填空
1.从装有3只红球,2只白球的盒子屮任意取出两只球,则其屮有并且只有一只红球的概
2把10本书任意放在书架上’求其中指定的3本书放在一起的概率为五
3.为了减少比赛场次,把20个球队任意分成两组,每组10队进行比赛,则最强的两个队
10
被分在不同组內的概率为=—。
严10
^20丄37
三、简答题
1.将3个球随机地投入4个盒子屮,求下列事件的概率
(1)A任意3个盒子屮各有一球;
(2)B■—任意一个盒子屮有3个球;
(3)C—-任意1个盒子中有2个球,其他任意1个盒子中有1个球。
解:
(1)P(A)==-
(2)P(B)=^-=—(3)P(C)=C*C;=2
4843164316
第五节概率加法定理
—、选择
1.设随机事件4和B同时发牛时,事件C必发牛,则下列式子正确的是(C)
P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=丄。
则事件4、
16
(0-(D)-
88
B满足条件P(AB)=P(AB),且P(A)=p,则P(S)=(A
(A)1-p(B)p(C)£(D)1-2
22
二、填空
1.从装有4只红球3只白球的盒子屮任取3只球,则其屮至少有一只红球的概率为
(0.97)
p(£+a2+a3)=p(£)+p(a2)+p(a3)=^ii+cX+cX^671
「'「'C20
(2)设事件4表示取出的3件产品中至少有2件等级相同,那么事件怎表示取出的
—cxcxcx
3件产品中等级各不相同,则P(A)=1-P(A)=1--=0.779Go
第六节条件概率、概率乘法定理
一、选择
1.事件为两个互不相容事件,且P(4)〉0,P(B)〉0,则必有(B)
(A)P(A)=1-P(B)⑻P(A16)=0
(C)P(AIB)=1(D)P(A\B)=1
2.将一枚筛子先后掷两次,设事件4表示两次出现的点数之和是10,事件B表示第一次出现的点数大于第二次,则P(5|A)=(A)
1125
(A)一(B)-(C)-(D)-
3456
3.设4、B是两个事件,若B发牛必然导致A发牛,则下列式子中正确的是(A)
(A)P(AUfi)=P(A)(B)P(AB)=P(A)
(C)P(5|A)=P(B)(D)P(B-A)=P(B)-P(A)
二、填空
1.已知事件4的概率P(A)=0.5,事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|4)=0.8,则
和事件AU5的概率P(AUB)=0.7
2.A,B是两事件,P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(BIA)=0.6,则P(A\A\JB)=—-0.577
26
三、简答题
1.猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6;如果第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑而使距离便成为150米;如果第二次又未击屮,则进行第三次射击,这时距离变为200米。
假定最多进行三次射击,设击中的概率与距离成反比,求猎人击中动物的概率。
解:
设第z•次击中的概率为门,(i=b2,3)因为第z•次击中的概率门与距离%成反比,
所以设Pi=—>(i-1,2,3);
由题设,知£=100,凸=0.6,代入上式,得到k=60
再将k=60代入上式,易计算出p,=—=0.4,p^=—=0.3-150200
设事件4表示猎人击中动物,事件色表示猎人第z•次击中动物(=1,2,3),则所
求概率为:
P(A)=P(BJ+P丽2)+P®瓦B?
)
=P(BJ+P(B;)P(B2|B;)+P(可)P(可可)P®区內)
=0.6+(1-0.6)x0.4+(1-0.6)x(l-0.4)x0.3
=0.832
第七节全概率公式
—、选择
1.袋中有5个球,3个新球,2个旧球,现每次取一个,无放回的取两次,则第二次取到新球的概率为(A)
33?
3
(A)-(B)-(C)-(D)—
54410
2.若随机事件4和B都不发生的概率为p,则以下结论中正确的是(C)
(A)4和B都发牛的概率等于1-p(B)4和B只有一个发牛的概率等于1-p
(04和B至少有一个发生的概率等于1-p(D)A发生B不发生或B发生4不发生的概
率等于1-卩
二、填空
1.一批产品共有10个止品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为-
6
2.老师提出一个问题,甲先回答,答对的概率是0.4;如果甲答错了,就由乙答,乙答对的概率是0.5;如果甲答对了,就不必乙回答,则这个问题由乙答对的概率为0.3
3.试卷中有一道选择题,共有4个答案可供选择,其中只有一个答案是正确的。
任一考牛如果会解这道题,则一定能选出正确答案;如果他不会解这道题,则不妨任选一个答案。
若考生会解这道题的概率是0.&则考生选岀正确答案的概率为0.85
三、简答题
1.玻璃杯成箱出售,每箱20只.假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1.一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员任取一箱,而顾客随机的察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退还•试求顾客买下该箱的概率。
解:
设每箱有7只次品”(/=0,1,2,),B=“买下该箱”.
P(B)=P(A°)P(BIA0)+P(AJP(BI£)+P(A2)P(BIA2)
厂4厂4
=0.8xl+0.1x—^+0.1x^-«0.94
厂4厂4
C20C20
2.一工厂有两个车间,某天一车间生产产品100件,其屮15件次品;二车间生产产品50件,其中有10件次品,把产品堆放一起(两车间产品没有区分标志),求:
(1)从该天牛产的产品中随机取一件检查,它是次品的概率;
(2)若已查出该产品是次品,则它是二车间生产的概率。
解
(1)设事件“取的产品来自1车间”为£,事件“取的产品来自2车间”为企,
“从中任取一个是次品”为
211
P(B)=P(BIA1)P(A1)+P(BIA)P(4)=-xO.15+-xO.2=-
P(A2B)_P(BIA2)P(A2)_2
P(B)P(B)_5
3.发报台分别以概率0.6及概率0.4发出信号“•”及“-”。
由于通信系统受到干扰,当发出信号“・”时,收报台以概率0.8及0.2收到信号“•”及又当发出信号时,收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“•”。
求
(1)当收报台收到信号“•”时,发报台确系发出信号“•”的概率;
(2)当收报台收到信号“-”时,发报台确系发岀信号“-”的概率。
解:
设事件4表示发报台发出信号“•”,则事件瓜表示发报台发出信号“-”;
设事件B表示收报台收到信号“•”,则事件B表示收报台收到信号“-”;
根据题设条件可知:
P(A)=0.6,P(A)=0.4;
P(BA)=0.&P(B|A)=0.1;P(5|A)=0.2,P(5|a)=0.9;
应用贝叶斯公式得所求概率为:
(1)P(QP(Bp)—06x0.8
=0.923
(2)P(刀劝=^(砂)1P(B)
二0.75
P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(b|a)0.6x0.8+0.4x0.1
P«)P(甲)_o.4%o.9
P(A)P(b|a)+P(A)P(B|A)0.4X0.9+0.6x0.2
第八节随机事件的独立性
一、选择
1.设P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A|5)=0.8,则下列结论正确的是(C)
(A)事件4与B互不相容(B)AuB
(C)事件4与B互相独立(D)P(AUfi)=P(A)+P(fi)
(C)1+P(A)-P(歹)(D)1-P(AB)
二、填空
1.设4与B为两相互独立的事件,P(AUB)=0.6,P(A)=0.4,则=|
2.加工某一零件共需经过三道工序。
设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%、3%、5%。
假定各道工序是互不影响的,则加工岀来的零件的次品率是0.09693
三、简答题
1.一个工人看管三台车床,在一小时内车床不需要工人看管的概率:
第一台等于0.9,第二台等于0.8,第三台等于0.7o求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率。
解:
设事件4表示第'台车床不需要照管,事件4表示第,台车床需要照管,(匸1,2,3),
根据题设条件可知:
P(A1)=0.9,P(A)=0.1
P(A2)=0.&P(石)=0.2
P(A3)=0.7,P(4)=0.3
设所求事件为则P(5)=+A^A2A3+£兀令+AjA24)
根据事件的独立性和互不相容事件的关系,得到:
P(B)=P(A)P32)P(43)+P(瓦)P(%)P(A3)
+p(A)p(a;)p(a3)+P(£)P(%)P(忑)
=0.9X0.8X0.7+0.1X0.8X0.7+0.9x0.2x0.7+0.9x0.8x0.3
=0.902
2.如下图所示,设构成系统的每个电子元件的可靠性都是p(02<1),并且各个元件能否
正常工作是相互独立的,求系统
(1)和
(2)的可靠性。
(1)
(2)
解:
(1)p3(2_p3);
(2)Qp—p2)3
第九节独立试验序列
—、选择
1.每次试验成功率为p(0
(A)C>4(1-/?
)6(B)C;//(1—卩)6(c)C:
//(i_p)5(d)C汀3(1—川
二、填空
1.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875,则这射手在一次射击中命中的概率为0.5
2.设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知事件A至少出现一次的概率等于
—,则事件4在一次试验中岀现的概率为1/3
27——
三、简答题
1.射击运动屮,一次射击最多能得10环。
设某运动员在一次射击屮得10环的概率为0.4,得9环的概率为0.3,得8环的概率为0.2,求该运动员在五次独立的射击屮得到不少于48环的概率。
解:
设事件4表示5次射击不少于48环,事件£表示5次射击每次均中10环,事件A?
表示5次射击一次屮9环,4次屮10环,事件企表示5次射击2次屮9环,3次屮10环,
事件缶表示5次射击一次中8环,4次中10环,并且£,企,人3,4两两互不相容,由于每次射击是相互独立的,
44
则所求概率p(a)=p(U4)=工)
i=li=l
=(0.4)5+^(0.3)'(0.4)4+C;(0.3)2(0.4)3+^(0.2)'(0.4)4
«0.1318
第二章随机变量及其分布
第二节离散随机变量
一、选择
1设离散随机变量X的分布律为:
P{X=k]=bkk,(k=l,2,3,---\
且b测为2()
二、填空
1如果随机变量x的分布律如下所示,则C=.
X0123
~~p丄丄丄丄
C2C3C4C
3
解根据(兀ri得:
c=—.
x1=o12
2进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为纟,失败的概率为丄,将试验进
行到出现一次成功为止,以X表示所需试验次数,则X的分布律是
•(此时称X服从参数为p的几何分布).
解:
X的可能取值为1,2,3,{x=K}={^1~K-1次失败,第K次成功}
所以X的分布律为P{X=K}=(£)kt冷,K=l,2,■■-
三、简答
1一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的
3个球中的最大号码,试求X的概率分布.
解X的可能取值为3,4,5.
事件{X=3},只能是取出的3只球号码分布为1,2,3,只有一种取法,所以
P{X=3}=^-=—clio
事件{X=4},意味着3只球中最大号码是4,另外2个号码可在1,2,3中任取2只,共有C;种取法,故
P{X=4}=-^=—C;10
事件{X=5},意味着3只球中最大号码是5,另外2个号码可在1,2,3,4中任取2只,共有C;=6种取法,故
从而,X的概率分布是
X
3
4
5
p
1
3
3
10
10
5
2一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有绿路灯信号的路口,每个信号灯为红和绿与其他信号为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数,求X的概率分布.
解由题设知X的可能值为0,1,2,3,设A;(i=1,2,3)表示"汽车在第i个路口首次
—1
1一21*31一23
遇到红灯”,£44相互独立,且P(A,)=P(A,)=p^是
p1111
p3尹卫去
第三节超几何分布二项分布泊松分布
—、选择
1甲在三次射击中至少命中一次的概率为0.936,则甲在一次射击中命中的概率
P=•
(A)0.3(B)0.4(C)0.5(D)0.6
解:
D
设X=”三次射击中命中目标的次数',则X~B(3,p),
已知P(X>1)=1-P(X=0)=1-(1-/7)3=0.936,
解之得(1-p)3=0.064=1—°=0.4=卩=0.6
2设随机变量X~b(2,p),Y~b(3,p),若P{X>l}=|jljP{y>1}=.
317IQ7
⑴Z⑻H©导(D)|
解:
C
二、填空
1设离散随机变量X服从泊松分布,并且已知p{x=l}=p{x=2},
9
则尹{X=4}-e".
三、简答
1.某地区的月降水量X(单位:
mm)服从正态分布N(40,4?
),试求该地区连续
10个月降水量都不超过50mm的概率.
解:
设人=“某月降水量不超过50mm”
x—4050-40
P(A)=P(x<50)=P(——<—_)=0(2.5)=0.9938
44
观察10个月该地区降水量是否超过50mm,相当做10天贝努利试验设丫=“该地区降水量不超过50mm的月数”,则Y-B(10,0.9938)
P(Y=10)=0.9938"=0.9396
2某地区一个月内发生交通事故的次数X服从参数为九的泊松分布,即X~P(九),据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍.
(1)求1个月内发生8次、10次交通事故的概率;
(2)求1个月内至少发生1次交通事故的概率;
(3)求1个月内至少发生2次交通事故的概率;
解这是泊松分布的应用问题X~P
(2),P{X=灯=比:
乂=0丄2,.…
k\
这里2是未知的,关键是求出2.
据题意有P{X=8}=2.5P{X=10}
即=2.5X
8!
10!
解出22=36,2=6
68e-66'°e~6
(1)P{X=8}=«0.1033P{X=10}=«0.0413
8!
10!
(2)P{X=0}=eA=e-'°®0.00248
P{X>1}=1-P{X=0}«1-0.00248-0.9975
(3)P{X=l}=6e^6«0.01487
^2-6
P{X=2}=-——®0.04462
2!
P{X<2}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}
«0.00248+0.01487+0.04462®0.0620
第五节随机变量的分布函数
一、填空题
(—101)
1设离散随机变量乂~j_丄丄,则X的分布函数为.
U62)
解当x<—1时,F(x)=P{XVx}=0;
当—lVx<0时,F(x)=P{X 当0Vx 362 当X>1时,F(x)=P{X 362 整理,得 [0, 〔1, 当x<-1 当-lVx<0 当0Vx 当x>l 二、选择 1设片(x)与"(X)分别为随机变量X]与X? 的分布函数,为使 F(x)=aF{(x)-bF2(x)是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取 32221313 (A)tz=-,Z? =——(B)a=_,b=—(C)a=——,b=-(D)a=-,b=~- 55332222 分析根据分布函数的性质: limF(.x)=1,因此有 X—>4-00 limF(x)=alimF1(x)-blimF2(x)即l=a-b X—>4-00X—>4-00X—>4-00 故应选(A). 0,x<0 2.设函数F(.r)=Jx/2,0 1,x>1 (A)是随机变量的分布函数.(B)不是随机变量的分布函数. (C)是离散型随机变量的分布函数.(D)是连续型随机变量的分布函数. 解: A 显然F(x)满足随机变量分布函数的三个条件: ⑴F(x)是不减函数, (2)0 F(x+0)=F(x) 解: A只有A使F(.r)满足作为随机变量分布函数的三个条件. %1.简答 1设随机变量X的分布函数为F(.r)=A+fiarctan%,求A,B的值. 解: 由随机变量分布函数的性质 limF(.r)=0.limF(x)=1.知 X—>-COx—>4-00 7T7T 0=limF(x)=lim(A+5arctanx)=A+5x()=AB. X—>-00X—>-0022 7171 1=limF(x)=lim(A+Barctanx)=A+Bx—=——B. X—>4-00X—>4-0022 第六节连续随机变量的概率密度 二、选择 1.设f(x)、F(x)分别表示随机变量X的密度函数和分布函数,下列选项中错误的是 (A) (A)0 (C)「f(x)dx=1(D)/(x)=F(x) J—00' 2.下列函数中,可为随机变量X的密度函数的是(B) 0,其它 二、填空 1.设连续随机变量X的分布函数为 F(X)=—+—arctanx,-co 271 (1)P(-1 (2)概率密度f(x)=—-——,—8 +1) 三、简答题 1.设随机变量X的概率密度 /(X)- 0, x>0 x<0 求: (1)常数4; (2)概率P(X>1)o 答案 (1)丄 (2)0.9197 2 向某一目标发射炮弹,设弹着点到目的地的距离X(〃? )的概率密度 求: 分布函数F(x)o 5. 已知随机变量X的概率密度 0 /(■v)= 0, 3 其它 2若k使得P(X>k)=-,则Z: 的取值范围是 答案1VkV3 第七节均匀分布、指数分布 三、选择 1.在区间[-1,2]±服从均匀分布的随机变量X的密度函数是(B)比小于丄的概率。 4 答案0.4 2.已知修理某种机器所需的时间T(小时)服从指数分布e(l),求: (1)在2小时之内修好的概率; (2)如果已修理了心小时,在以后的2小时之内修好的概率。 答案 (1)0.8647 (2)0.8647 3.设随机变量X在区间[2,5]上服从均匀分布,对进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率。 4.某仪器有三只独立工作的同型号电子兀件,概率密度为 /(%)=600' 0. 答案0.741。 其寿命(单位: h)都服从同一指数分布, x〉0 .r<0 试求: 在仪器使用的最初的200A内至少有一只电子元件损害的概率。 答案1-厂心0.6321 第八节随机变量函数的分布 四、选择 i.设随机变量x的概率密度为 则随机变量y=2X的概率密度为(D 2.设随机变量X的概率密度为 3. 则随机变量y=-2X的概率密度为(C 答案 ⑴ Y -1 1 3 5 P 0.216 0.432 0.288 0.064 (2) Y 0 2 6 P 0.648 0.288 0.064 ⑶ Y 0 1 3 6 P 0.216 0.432 0.288 0.064 2.设随机变量X的概率密度 求下列随机变量的概率密度 (1) Y=1+2X (2)Y=1-2X(3)y=X2 答案 )-1 i i-y -1 (1) 2, (2)/v(y)= 2, 0, 其它 0, 其它 0 其它 4.设随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布,求随机变量函数Y=X3的概率密度。 1上 答案A(y)=6y3,° o,其它 4.设随机变量X在服从指数分布e (2),其屮2>0,求随机变量函数Y=ex的概率密 1、厂"+1) 答案A(y)=°' 5.
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