历年考研数学线代真题1987201X最新最全.docx
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历年考研数学线代真题1987201X最新最全
历年考研数学一真题1987-2016
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学
(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)已知三维向量空间的基底为a(1,1,0),02(1,0,1),«3(0,1,1),则向量b(2,0,0)在此基底下的坐标是.
三、(本题满分7分)
301
(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A2B,其中A110,求矩阵B.
014
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设A为n阶方阵,且A的行列式|A|a0,而A*是A的伴随矩阵,贝U|A*|等于
(A)a
(B)1a
(C)an1
(D)a
九、(本题满分8分)
作X3X4
0
问a,b为何值时,现线性方程组
X2
2x32X4
1
x
(a3)X3
2x4b
3x-i
12x2X3
ax41
有唯一解,无解,有无穷多解?
并求出有无穷多解时的通解
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学
(一)试卷
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
⑷设4阶矩阵A[a,Y,Y3,y],B[卩,Y,丫3,y],其中讥Y,Y,Y均为4维列向量,且已知行列式|A|4,|B|1,则行列式AB=.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)n维向量组a,a丄,as(3sn)线性无关的充要条件是
(A)存在一组不全为零的数人*2,L,ks,使k1ak?
aLksa0
(B)a,a2丄,a中任意两个向量均线性无关
(C)a,a2,L,as中存在一个向量不能用其余向量线性表示
(D)a,a2,L,as中存在一个向量都不能用其余向量线性表示
七、(本题满分6分)
1
0
0
10
0
已知APBP,其中B
0
0
0
P
21
0,求A,A5
0
0
1
21
1
八、(本题满分8分)
200
2
0
0
已知矩阵A001
与
b
0
y
0相似.
01x
0
0
1
1
300
(5)设矩阵A140,1
003
00
010,则矩阵(A2I)1=
001
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)设a是n阶矩阵且a的行列式|A0,则a中
(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例
(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
七、(本题满分6分)
%X3
问为何值时,线性方程组4X1X22X32有解,并求出解的一般形式
6x-ix24x323
八、(本题满分8分)
假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明
(1)-为A1的特征值.
⑵A为A的伴随矩阵A*的特征值.
(5)已知向量组a(123,4),a(2,3,4,5),a(3,4,5,6),a(4,5,6,7),
则该向量组的秩是.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(5)已知目、g是非齐次线性方程组axb的两个不同的解,a、a是对应其次线性方程组ax0的基础解析,K>k为任意常数,则方程组axb
的通解(一般解)必是
且矩阵A满足关系式
A(EC-B)CE
其中E为四阶单位矩阵,C1表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵•将上述关系式化简并求矩阵A.
八、(本题满分8分)求一个正交变换化二次型fx24x;4x(4x1x24x^38x2x3成标准型.
5
2
0
0
2
(5)设4阶方阵A2
0
1
0
0
1
0,则A的逆阵A1
2
0
0
1
1
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABCE,其中E是n阶单位阵,则必有
(A)ACBE(B)CBAE
(C)BACE(D)BCAE
七、(本题满分8分)
已知a(1,0,2,3),a(1,1,3,5),a(1,1,a2,1),a(1,2,4,a8)及p(i,i,b3,5).
(1)a、b为何值时,b不能表示成a,a,a,a的线性组合?
⑵a、b为何值时,^有a,a2,a,a4的唯一的线性表示式?
写出该表示式.
八、(本题满分6分)
设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵证明AE的行列式大于1.
a1b1a1b2L
a1bn
a2b1a2b1L
(5)设A2121
LLL
;bn,其中a0,bi0,(i1,2,L,n).则矩阵a的秩r(A)
anb1anb2L
anbn
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)10
(5)要使&0,&1都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵A为
1
20
1
(B)
01
1
0
1
1
(D)4
2
2
0
1
1
2
(A)212
(C)102
011八、(本题满分7分)
设向量组a,a,a线性相关,向量组a,a,a线性无关,问:
(1)a能否由a,a线性表出?
证明你的结论.⑵a能否由a,a,a线性表出?
证明你的结论.
九、(本题满分7分)设3阶矩阵a的特征值为i1,22,33,对应的特征向量依次为
1
1
1
1
1,&2
2,&3
3,又向量B
2
1
4
9
3
(2)求A£n为自然数).
可编辑范本
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学
(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n1,则线性方程组AX0的通解为.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)123
(5)已知Q24t,P为三阶非零矩阵,且满足pq0,则
369
(A)t6时p的秩必为1B)t6时p的秩必为2
(C)t6时p的秩必为1(D)t6时p的秩必为2
七、(本题满分8分)
已知二次型f(Xi,X2,X3)2xi23x|3x|2ax2X3(a0)通过正交变换化成标准形fy;2y;5y|,求参数a及所用的正交变换矩阵.
八、(本题满分6分)
设A是nm矩阵,b是mn矩阵,其中nm,I是n阶单位矩阵若ABI,证明B的列向量组线性无关
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学
(一)试卷
」、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)已知%[1,2,3],卩[1,-,-],设Aa®其中a是a的转置,则An=
23
、选择题(本题共5小题每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(5)已知向量组
a1,a,
a3,a4线性无关,则向量组
(A)aa,a
a3,a3
a4,a4a线性无关
(B)aa?
a?
a,aa4,a
a线性无关
(C)a1a2,a2
a3,a
a4,oaa线性无关
(D)a1a2,aa,aa4,a4
a线性无关
八、(本题满分8分)
设四元线性齐次方程组(I)
为X1X20,
x2x40
又已知某线性齐次方程组(U)1的通解为匕(0,1,1,0)k2(1,221).
(1)求线性方程组(I)的基础解析•
(2)问线性方程组(I)和(H)是否有非零公共解?
若有,则求出所有的非零公共解若没有,则说明理由•
九、(本题满分6分)
设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵,当A*A时证明A0.
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学
(一)试卷
、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设三阶方阵a,b满足关系式A1BA6ABA,且A
,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内
、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中
九、(本题满分6分)
设A为n阶矩阵,满足AA1(1是n阶单位矩阵,a是A的转置矩阵),帆|0,求AI.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学
(一)试卷、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
102
⑸四阶行列式
印
0
0
b4
00
a2b>
asb3
00
bi
0
0
a4
的值等于
(A)aQ2a3a4Ddbabq
(B)da2a3a4b^bA
、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(C)(a02db2)(a3a4bA)(D)(a2a3bzbaXaQb^)
八、(本题满分6分)
设AIEtE,其中I是n阶单位矩阵,売n维非零列向量,?
是三的转置.证明
(1)A2A的充分条件是珥1.
⑵当1时,A是不可逆矩阵.
九、(本题满分8分)
已知二次型f(x1,x2,x3)5xf5x;ex]2x^x26x^x36x2x3的秩为2,
(1)求参数e及此二次型对应矩阵的特征值.
(2)指出方程f(X1,X2,X3)1表示何种二次曲面.
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学
(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
122
(4)设A4t3,B为三阶非零矩阵,且abo,则t=.
311
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
a1
b1
c1
a1x
b1yc1
0,
(4)设ai
a2,a2
b2
a3
c2,则三条直线
a2x
b2yc2
0
a3
b3
c3
a3x
b3yc3
0
(其中ai2
bi20,i
1,2,3
)交于
一点的充要条件是
(A)a,a?
a线性相关(B)a,a,a线性无关
(C)秩r(a,a,a)秩r(a,a?
)(D)a,a?
a线性相关,a,a线性无关
七、(本题共2小题,第
(1)小题5分,第
(2)小题6分,满分11分)
⑴设b是秩为2的54矩阵,a[1,1,2,3]t,a[1,1,4,1]T,a[5,1,8,9]T是齐次线性方程组bxo的解向量,求Bx0的解空间的一个标准正交基
1?
1?
(2)已知E1是矩阵A5a3的一个特征向量.
11b2
1)试确定a,b参数及特征向量e所对应的特征值•
2)问a能否相似于对角阵?
说明理由.
八、(本题满分5分)
设A是n阶可逆方阵将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.
(1)证明B可逆.
(2)求AB1.
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(4)设A为n阶矩阵,|A|0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则(A*)2E必有特征值.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑷设矩阵
cbg
a2b2C2是满秩的,则直线xa3yb3zC3与直线区』心!
三2
aia2bib2CiC2a2a3b2b3C2C3
asb3C3
(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面
十、(本题满分6分)
化为椭圆柱面方程2424,求a,b的值和正交矩阵P.
已知二次曲面方程x2ay2z22bxy2xz2yz4可以经过正交变换yP
z
十二、(本题满分5分)
aniXi
an2x2L
an,2nx2n
的一个基础解析为(bl1,bl2,L,b1,2n)T,(b21,b22,L,b2,2n)T,L,(bn1,bn2,L,bn,2n)I试写出线性方程组(□)
b11y1b12y2L
b21y1b22y2L
bn1y1b}y2L b1,2ny2n0 b2,2ny2n0 bn,2ny2n0 的通解并说明理由. 1999年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (4)设n阶矩阵A的元素全为1则A的n个特征值是. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设A是mn矩阵,B是nm矩阵,则 (A)当mn时,必有行列式|AB|0(B)当mn时,必有行列式|AB|0 十、(本题满分8分) 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为mn实矩阵,bt为B的转置矩阵,试证btab为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)n 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 121x,1 ⑷已知方程组23a2x23无解则a=. 1a2x30 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分. (4)设n维列向量组a丄,Om(mn)线性无关则n维列向量组^丄,策线性无关的充分必要条件为 (A)向量组a,L,a可由向量组你L,驚线性表示(B)向量组你L,驚可由向量组a,L,妬线性表示 (C)向量组a丄,am与向量组3丄,gm等价(D)矩阵A(a,L,am)与矩阵BW仏)等价 十、(本题满分6分) 1 0 0 0 * 0 1 0 0 设矩阵A的伴随矩阵A 1 0 1 0'且ABA1BA13E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B 0 3 0 8 十、(本题满分8分) 某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计然后将」熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐•新、老非熟练工 6 经过培训及实践至年终考核有? 成为熟练工•设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为人和yn,记成向量X1. Xn A yn 5yn (1)求Xn1与Xn的关系式并写成矩阵形式: ^ yn1ynyn1 (2)验证n4,n1是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值•⑶当*2时,求Xn1 11y1Jyn1 2001年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷 、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (4)设A2A4EO,则(A2E)1=. 、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (D)不合同且不相似 (C)不合同但相似 设a,a,L,a为线性方程组ax o的一个基础解系,$t1at2a,债t1a212a3,L t1ast2a,其中t1,t2为实常数试问t1,t2满足什么条件时 九、(本题满分6分) 第役丄,伍也为AXO的一个基础解系? 十、(本题满分8分) 已知三阶矩阵A和三维向量X,使得X,Ax,A2X线性无关,且满足A3x3Ax2A2x. (1)记P(X,Ax,A2X),求B使APBP1. (2)计算行列式|AE 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑷已知实二次型f(x1,x2,x3)a(x: x2x3)4x1x24x1x34x2x3经正交变换可化为标准型f6y;,则a=. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) ⑷设有三张不同平面,其方程为axbyCiZdi(i1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位 置关系为 九、(本题满分6分) 已知四阶方阵A(a,a,a,a4),a,a2,a,a均为四维列向量,其中a,a3,a4线性无关,a2aa3.若Baaaa4,求线性方程组Axb的 通解. 十、(本题满分8分) 设A,B为同阶方阵, (1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明 (1)的逆命题不成立. ⑶当A,B为实对称矩阵时,证明 (1)的逆命题成立. 2003年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷 、填空题(本题共6小题,每小题4分满分24分.把答案填在题中横线上) 1111 (4)从R2的基ao,a〔到基3〔,直2的过渡矩阵为. 、选择题(本题共6小题,每小题4分满分24分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设向量组I: a,a丄,a可由向量组II: 3,血丄,%线性表示,则 (A)当rs时,向量组II必线性相关(B)当rs时,向量组II必线性相关 (C)当rs时,向量组I必线性相关(D)当rs时,向量组I必线性相关 (5)设有齐次线性方程组Ax0和Bx0,其中A,B均为mn矩阵,现有4个命题: 1若Ax0的解均是Bx0的解,则秩(A)秩(B) 2若秩(A)秩(B),则Ax0的解均是Bx0的解 3若Ax0与Bx0同解,则秩(A)秩(B) 4若秩(A)秩(B),则Ax0与Bx0同解 以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ 九、(本题满分10分) 322 0 1 0 设矩阵A232,P 1 0 1,B P1A*P,求B 2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵. 223 0 0 1 十、(本题满分8分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1: ax2by 3c0,l2: bx2cy3a0,l3: cx2ay3b0.试证这三条直线交于一点的充分必 要条件为abc0. 2004年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷 、填空题(本题共6小题,每小题4分满分24分.把答案填在题中横线上) 210 (5)设矩阵A120,矩阵B满足ABA*2BA*E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B= 001 、选择题(本题共8小题,每小题4分满分32分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内)(11设A是3阶方阵将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 (A)1 0 0 (B)1 0 1 (C)1 0 0 (D)1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 (12设A,B为满足ABO的任意两个非零矩阵,则必有(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (20)(本题满分9分) (1a)x1X2LXn0, 设有齐次线性方程组2X1(2护2L2Xn0,(n LLLLLL n^nx2L(na)xn0, 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 2) (21)(本题满分9分) 123 设矩阵A 143的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化 2005年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分满分24分.把答案填在题中横线上) (5)设a,a2,a均为3维列向量,记矩阵 A(a,a2,a3),B(aa2a3,a2a24a3,a3a29a3), 如果A|1,那么B_. 二、选择题(本题共8小题每小题4分满分32分每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内)(11设1,2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a,a,则a,A(aa)线性无关的充分必要条件是 (A)10(B)20 (C)10(D)20 (12设A为n(n2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则 (A)交换A*的第1列与第2列得B*(B)交换A*的第1行与第2行得B* (C)交换A*的第1列与第2列得B*(D)交换A*的第1行与第2行得B* (20)(本
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