二次微分方程的通解.docx

二次微分方程的通解.docx

《二次微分方程的通解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次微分方程的通解.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

二次微分方程的通解

二次微分方程的通解

————————————————————————————————作者:

————————————————————————————————日期:

第六节　二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的:

使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点:

二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程:

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程:

　方程

y''+ｐy'+qy=0

称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.

如果y1、ｙ２是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么ｙ=C1y１+C2y2就是它的通解.　

　　我们看看,能否适当选取r,使y=ｅrx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程

　　y''+py'+qy=０

得

　　　　（r2+pr+q）erｘ　=0.　

由此可见,只要r满足代数方程r２+pr+q=0,　函数y=erx就是微分方程的解.

特征方程:

方程r２+pr+q=０叫做微分方程ｙ''+py'+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式

求出.

特征方程的根与通解的关系:

（1）特征方程有两个不相等的实根r1、r２时,　函数

、

是方程的两个线性无关的解.　

　这是因为,

　　函数

、

是方程的解,又

不是常数.

因此方程的通解为

.

（2）特征方程有两个相等的实根r１=r2时,函数

、

是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.　

这是因为,

是方程的解,　又

所以

也是方程的解,且

不是常数.　

　　　因此方程的通解为

.

（3）特征方程有一对共轭复根ｒ1，２=α±iβ时,　函数y=ｅ（α+iβ）x、y=e（α-ｉβ）x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=eαxcosβx、y=ｅαxｓinβｘ是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.

函数y1=e（α+iβ）x和y２=e（α-iβ）ｘ都是方程的解,　而由欧拉公式,得

　y1=ｅ（α+iβ）ｘ=eαx（cosβｘ+iｓiｎβx）,

y2=e（α-iβ）x=ｅαx（cｏｓβx-isｉnβx）,

　y1+y2=2eαxcosβx,

　　y1-y2=２ieαｘｓinβx,

.

故ｅαxcｏsβx、y2=eαｘｓｉnβｘ也是方程解.

可以验证,　y１=ｅαxcosβｘ、y２=eαｘｓinβx是方程的线性无关解.

　　因此方程的通解为

　　y=eαｘ（C1cosβx+C２sinβｘ）.

　求二阶常系数齐次线性微分方程ｙ''+ｐy'+qy=0的通解的步骤为:

第一步　写出微分方程的特征方程

　　ｒ2+pr+ｑ=0

第二步　求出特征方程的两个根r１、r２.

第三步根据特征方程的两个根的不同情况,　写出微分方程的通解.

　例1　求微分方程y''-2ｙ'-3ｙ=0的通解.　

　　解所给微分方程的特征方程为

　　r2-2r-3=0,即（r+1）（ｒ-3）=0.

其根r1=-１,r2=3是两个不相等的实根,　因此所求通解为

　y=C1ｅ-x+C2e３ｘ.

　　　例2求方程ｙ''+2y'+y=0满足初始条件ｙ|x=0=4、ｙ'|x=0=-2的特解.

　解所给方程的特征方程为

　r2+2r+１=0,即（r+1）２=0.

其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为

　　y=（C1+C2ｘ）ｅ-x.

将条件ｙ｜x=0=4代入通解,得C1=4,从而

　　y=（4+C2ｘ）e-x.

将上式对x求导,得

　　　ｙ'=（C2-4-Ｃ2x）e-ｘ.

再把条件y'|ｘ=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为

　　　　x=（4+2x）e-ｘ.

例　3求微分方程y''-２ｙ'+5y=0的通解.

解所给方程的特征方程为

　　　　ｒ２-2r+5=０.　

特征方程的根为ｒ1=1+2i,r２=1-2i,是一对共轭复根,

因此所求通解为

　y=eｘ（C1cｏs2x+C2sｉn2x）.

　　n阶常系数齐次线性微分方程:

方程

　　y（ｎ）+p1y（n-１）+p2　ｙ（n-2）+　⋅　⋅　⋅+ｐn-1y'+ｐny=0,　

称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p１,p2　,⋅⋅⋅,pn-1,ｐｎ都是常数.　

　　二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.

　引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:

　　　L（Ｄ）=Dｎ+p１Dn-1+p２Ｄn-2　+⋅⋅⋅　+pn-1D+ｐn,

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

　（Dn　+ｐ1Dｎ-1+p２Dn-２+　⋅　⋅　⋅+　pn-1Ｄ+pn）y=0或Ｌ（D）y=0.

注:

D叫做微分算子D０ｙ=y,Dｙ=y',D2ｙ=y'',　D3y=ｙ''',⋅⋅⋅,Dny=ｙ（n）.

　分析:

令y=eｒx,则

　L（D）y=L（D）erx=（rｎ+p1rn-1+p2rn-2+⋅⋅　⋅+pn-1r+pn）erx=L（r）erx.

因此如果r是多项式L（ｒ）的根,则y=erx是微分方程L（D）y=0的解.　

ｎ阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:

　L（r）=rn+p1rn-1+p2rn-2　+　⋅⋅⋅　+pn-1r+ｐn=0

称为微分方程L（Ｄ）y=0的特征方程.　

　特征方程的根与通解中项的对应:

单实根ｒ对应于一项:

Ｃｅrx;

　一对单复根r１,　2=α±iβ对应于两项:

　eαx（C1ｃosβｘ+C2sinβx）;

　　k重实根r对应于k项:

erx（Ｃ1+C2x+⋅⋅　⋅+Ckxk-１）;

　一对k重复根ｒ1,2=α　±ｉβ对应于2k项:

　eαx[（C1+C２x+⋅⋅⋅+Ｃｋ　ｘk-1）cｏｓβｘ+（Ｄ1+D２ｘ+　⋅⋅⋅+Dkxk-1）sinβx].

例4求方程ｙ（4）-2ｙ'''+５y''=0的通解.

　　　解这里的特征方程为

　　　r4-2r３+５r2=0,即ｒ2（r２-2r+５）=0,

它的根是ｒ1=r２=0和r3,4=１±2i.

因此所给微分方程的通解为

　y=C１+Ｃ2ｘ+ｅx（C３ｃos２x+C４sin２x）.

　例5求方程y（4）+β4y=0的通解,其中β>０.

解这里的特征方程为

r4+β　４=0.

它的根为

.

因此所给微分方程的通解为

.

二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介

二阶常系数非齐次线性微分方程:

方程

　y''+py'+qy=f（x）

称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p、q是常数.　

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程

的通解ｙ=Y（x）与非齐次方程本身的一个特解y=y*（ｘ）之和:

　　y=Y（x）+　y*（ｘ）.　

当f（ｘ）为两种特殊形式时,方程的特解的求法:

　一、　f（x）=Pｍ（x）eλｘ　型

当f（x）=Pm（x）eλｘ时,可以猜想,方程的特解也应具有这种形式.因此,　设特解形式为y＊=Q（ｘ）eλx,将其代入方程,得等式

　　Ｑ''（x）+（2λ+p）Q'（x）+（λ2+pλ+ｑ）Q（x）=Ｐm（x）.

（1）如果λ不是特征方程r2+ｐr+ｑ=０的根,则λ2+pλ+q≠0.要使上式成立,Q（ｘ）应设为ｍ　次多项式:

　　Ｑm（x）=b0xｍ+ｂ1xｍ-1+⋅　⋅⋅　+ｂm-１x+bm,

通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,　⋅　⋅⋅,bm,　并得所求特解

　　　　y＊=Qｍ（x）ｅλx.

　（２）如果λ是特征方程　r２+pｒ+q=０的单根,则λ2+ｐλ+q=０,　但2λ+p≠0,要使等式

　Ｑ''（ｘ）+（２λ+p）Q'（x）+（λ２+pλ+q）Q（x）=Pm（ｘ）.

成立,Q（x）应设为m+１次多项式:

　Q（ｘ）=xQm（x）,

　　　　Qm（x）=ｂ０xｍ+b1xｍ-1+⋅　⋅⋅+bm-1x+bm　,　

通过比较等式两边同次项系数,可确定ｂ０,b1,⋅　⋅⋅,ｂｍ,并得所求特解　

　　　ｙ＊=xQｍ（x）eλx.

（3）如果λ是特征方程r2+pr+q=０的二重根,则λ2+pλ+q=0,２λ+p=0,要使等式

　　　Q''（x）+（2λ+ｐ）Ｑ'（ｘ）+（λ2+pλ+q）Ｑ（x）=Pm（ｘ）.　

成立,　Q（x）应设为ｍ+2次多项式:

　　Q（ｘ）=x２Qｍ（ｘ）,　

　　Ｑm（ｘ）=b０xm+ｂ1xm-１+⋅⋅⋅　+bm-１x+bm,

通过比较等式两边同次项系数,可确定ｂ0,ｂ1,⋅⋅⋅,bm,并得所求特解

　y＊=x２Ｑm（ｘ）eλx.

　　综上所述,我们有如下结论:

　如果f（x）=Pm（ｘ）eλｘ,则二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=ｆ（ｘ）有形如

　　ｙ＊=xkQm（ｘ）eλx

的特解,其中Ｑm（x）是与Pm（ｘ）同次的多项式,而k　按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、１或2.

　　例1求微分方程y''-2ｙ'-3y=3x+1的一个特解.　

　　解这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f（ｘ）是Pm（x）eλx型（其中Pｍ（x）=3x+1,λ=0）.

与所给方程对应的齐次方程为

　　　　y''-2y'-３y=0,

它的特征方程为

　　r2-2ｒ-3=０.

　由于这里λ=0不是特征方程的根,所以应设特解为

　y＊=b０x+b１.

把它代入所给方程,得

-3b0ｘ-2b0-3b１=3x+１,

比较两端x同次幂的系数,得

　-3ｂ0=3,-2b0-３b1=1.　

由此求得b0=-1,

.　于是求得所给方程的一个特解为

.　

　例2　求微分方程ｙ''-5y'+6y=xe2x的通解.

解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且ｆ（x）是Pm（x）eλx型（其中Ｐm（x）=x,λ=２）.

与所给方程对应的齐次方程为

　　　y''-5y'+6y=０,

它的特征方程为

　　　r2-5r+6=0.　

特征方程有两个实根r1=２,　r2=３.　于是所给方程对应的齐次方程的通解为

　Y=C1e2x+C2e3x.

　由于λ=2是特征方程的单根,所以应设方程的特解为

　y*=x（b0x+b1）e2x.　

把它代入所给方程,得

　　　-２ｂ0ｘ+2b0-b1=x.　

比较两端ｘ同次幂的系数,得

　-２b0=1,　2b０-b1=0.　

由此求得

　b1=-1.于是求得所给方程的一个特解为

.

从而所给方程的通解为

.

提示:

y*=ｘ（b0x+ｂ1）e2x=（b0x2+b1ｘ）e2x,

［（b０x2+b1x）e2x]'=［（2b0x+b１）+（b0x2+ｂ1x）⋅2]ｅ2x,

[（ｂ0ｘ2+b1ｘ）e２x]''=[2b0+2（2b0ｘ+b1）⋅２+（ｂ０x2+ｂ１x）⋅22]e２x.

ｙ*''-5y*'+６y*=[（b0ｘ2+b１x）e2x]''-５［（b0ｘ2+b１x）e2x]'+6［（b0x2+b1x）e2ｘ]

=［２b0+2（2ｂ0ｘ+b１）⋅2+（b0x2+b1ｘ）⋅２２]ｅ2x-５[（２b0x+b1）+（ｂ0ｘ2+b1x）⋅２］ｅ2x+6（b0x2+b１x）e2x

=[2b0+4（2b0x+ｂ１）-５（2b0x+ｂ１）]e2ｘ=［-2b0x+2b0-b1]e2x.

方程y''+ｐy'+qy=eλｘ[Ｐl（x）cosωx+Pn（x）sinωx]的特解形式

应用欧拉公式可得

ｅλｘ[Pl（x）ｃosωx+Ｐn（x）ｓinωx]

其中

.而m=max{l,n}.

设方程y''+pｙ'+qy=P（ｘ）e（λ+iω）x的特解为y1*=xkQm（x）e（λ+ｉω）x,

则

必是方程

的特解,

其中k按λ±iω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.

　　于是方程y''+py'+qｙ=ｅλx[Ｐl（x）coｓωx+Pｎ（x）ｓiｎωx]的特解为

　　=ｘｋ　eλx[R

（1）m（ｘ）cosωx+R（２）m（x）siｎωｘ］.

综上所述,我们有如下结论:

　如果f（x）=ｅλｘ［Ｐl（x）cosωx+Pn（x）sinωx］,则二阶常系数非齐次线性微分方程

y''+py'+ｑｙ=f（x）

的特解可设为

　　y＊=ｘkｅλx[R

（1）m（x）ｃｏsωx+R（２）m（x）ｓｉnωx],

其中Ｒ

（1）m（x）、Ｒ

（2）m（x）是m次多项式,　m=max{ｌ,ｎ},而k按λ+iω（或λ-iω）不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取０或1.

　　例3求微分方程y''+ｙ=xcos2x的一个特解.

　　解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,

且f（x）属于eλx［Ｐl（x）ｃoｓωx+Ｐn（x）sｉnωｘ]型（其中λ=0,ω=２,　Ｐl（x）=x,Pｎ（x）=0）.

　　与所给方程对应的齐次方程为

　y''+y=0,　

它的特征方程为

　ｒ２+１=０.

　由于这里λ+iω=2i　不是特征方程的根,所以应设特解为

　y*=（ax+b）ｃos2ｘ+（cｘ+d）sｉn2x.　

把它代入所给方程,得

　　（-3ax-3b+4c）ｃos２x-（3cx+3d+4a）sin2x=xｃos2x.

比较两端同类项的系数,得　

　b=0,ｃ=0,

.　

于是求得一个特解为

.

提示:

y＊=（ａx+b）coｓ２x+（ｃｘ+d）ｓin2ｘ.

y*'=aｃoｓ2x-2（ax+ｂ）sｉn2ｘ+csiｎ2x+2（cx+d）cos２x,

　=（2cx+a+2d）ｃｏｓ2x+（-2aｘ-2ｂ+c）sin2x,

y*''=2ccoｓ2x-２（2cｘ+a+2d）sin２x-2ａsiｎ２x+2（-2ａｘ-2b+c）cos2ｘ

　=（-4aｘ-4b+４ｃ）ｃos2x+（-4cｘ-4a-4d）sin2x.

y*''+y*=（-3ax-３b+4c）cｏｓ2x+（-3cｘ-４ａ-3d）sｉn2x.

由

得

ｂ=0,　c=０,

.