初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆.docx
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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第23讲圆与圆
第二十三讲圆与圆
圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形,判定两圆的位置关系有如下三种方法:
1.通过两圆交点的个数确定;
2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定;
3.通过两圆的公切线的条数确定.
为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些线段,如公共弦、共切线、连心线,以及两圆公共部分相关的角和线段,这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线.
熟悉以下基本图形、基本结论:
【例题求解】
【例1】如图,⊙Ol与半径为4的⊙O2内切于点A,⊙Ol经过圆心O2,作⊙O2的直径BC交⊙Ol于点D,EF为过点A的公切线,若O2D=
,那么∠BAF=度.
思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等,隐含丰富的信息,而连O2Ol必过A点,先求出∠DO2A的度数.
注:
(1)两圆相切或相交时,公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线,它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通.同时,又是生成圆幂定理的重要因素.
(2)涉及两圆位置关系的计算题,常作半径、连心线,结合切线性质等构造直角三角形,将分散的条件集中,通过解直角三角形求解.
【例2】如图,⊙Ol与⊙O2外切于点A,两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行,则⊙Ol与⊙O2的半径之比为()
A.2:
5B.1:
2C.1:
3D.2:
3
思路点拨添加辅助线,要探求两半径之间的关系,必须求出∠COlO2(或∠DO2Ol)的度数,为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系.
【例3】如图,已知⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点,P是⊙Ol上一点,PB的延长线交⊙O2于点C,PA交⊙O2于点D,CD的延长线交⊙Ol于点N.
(1)过点A作AE∥CN交⊙Oll于点E,求证:
PA=PE;
(2)连结PN,若PB=4,BC=2,求PN的长.
思路点拨
(1)连AB,充分运用与圆相关的角,证明∠PAE=∠PEA;
(2)PB·PC=PD·PA,探寻PN、PD、PA对应三角形的联系.
【例4】如图,两个同心圆的圆心是O,AB是大圆的直径,大圆的弦与小圆相切于点D,连结OD并延长交大圆于点E,连结BE交AC于点F,已知AC=
,大、小两圆半径差为2.
(1)求大圆半径长;
(2)求线段BF的长;
(3)求证:
EC与过B、F、C三点的圆相切.
思路点拨
(1)设大圆半径为R,则小圆半径为R-2,建立R的方程;
(2)证明△EBC∽△ECF;(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′,必在BF上,连OˊC,证明∠O′CE=90°.
注:
本例以同心圆为背景,综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识.作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键.
【例5】如图,AOB是半径为1的单位圆的四分之一,半圆O1的圆心O1在OA上,并与弧AB内切于点A,半圆O2的圆心O2在OB上,并与弧AB内切于点B,半圆O1与半圆O2相切,设两半圆的半径之和为
,面积之和为
.
(1)试建立以
为自变量的函数
的解析式;
(2)求函数
的最小值.
思路点拨设两圆半径分别为R、r,对于
(1),
,通过变形把R2+r2用“
=R+r”的代数式表示,作出基本辅助线;对于
(2),因
=R+r,故是在约束条件下求
的最小值,解题的关键是求出R+r的取值范围.
注:
如图,半径分别为r、R的⊙Ol、⊙O2外切于C,AB,CM分别为两圆的公切线,OlO2与AB交于P点,则:
(1)AB=2
;
(2)∠ACB=∠OlMO2=90°;
(3)PC2=PA·PB;
(4)sinP=
;
(5)设C到AB的距离为d,则
.
学力训练
1.已知:
⊙Ol和⊙O2交于A、B两点,且⊙Ol经过点O2,若∠AOlB=90°,则∠AO2B的度数是.
2.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在圆C内,点B在圆C外,那么圆A的半径r的取值范围.
(2003年上海市中考题)
3.如图;⊙Ol、⊙O2相交于点A、B,现给出4个命题:
(1)若AC是⊙O2的切线且交⊙Ol于点C,AD是⊙Ol的切线且交⊙O2于点D,则AB2=BC·BD;
(2)连结AB、OlO2,若OlA=15cm,O2A=20cm,AB=24cm,则OlO2=25cm;
(3)若CA是⊙Ol的直径,DA是⊙O2的一条非直径的弦,且点D、B不重合,则C、B、D三点不在同一条直线上,
(4)若过点A作⊙Ol的切线交⊙O2于点D,直线DB交⊙Ol于点C,直线CA交⊙O2于点E,连结DE,则DE2=DB·DC,则正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号).
4.如图,半圆O的直径AB=4,与半圆O内切的动圆Ol与AB切于点M,设⊙Ol的半径为
,AM的长为
,则
与
的函数关系是,自变量
的取值范围是.
5.如图,施工工地的水平地面上,有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的距离是()
A.2B.
C.
D.
6.如图,已知⊙Ol、⊙O2相交于A、B两点,且点Ol在⊙O2上,过A作⊙Oll的切线AC交BOl的延长线于点P,交⊙O2于点C,BP交⊙Ol于点D,若PD=1,PA=
,则AC的长为()
A.
B.
C.
D.
7.如图,⊙Ol和⊙O2外切于A,PA是内公切线,BC是外公切线,B、C是切点①PB=AB;②∠PBA=∠PAB;③△PAB∽△OlAB;④PB·PC=OlA·O2A.
上述结论,正确结论的个数是()
A.1B.2C.3D.4
8.两圆的半径分别是和r(R>r),圆心距为d,若关于
的方程
有两个相等的实数根,则两圆的位置关系是()
A.一定内切B.一定外切C.相交D.内切或外切
9.如图,⊙Ol和⊙O2内切于点P,过点P的直线交⊙Ol于点D,交⊙O2于点E,DA与⊙O2相切,切点为C.
(1)求证:
PC平分∠APD;
(2)求证:
PD·PA=PC2+AC·DC;
(3)若PE=3,PA=6,求PC的长.
10.如图,已知⊙Ol和⊙O2外切于A,BC是⊙Ol和⊙O2的公切线,切点为B、C,连结BA并延长交⊙Ol于D,过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F,求证:
(1)CD是⊙Ol的直径;
(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系,并证明你的结论.
11.如图,已知A是⊙Ol、⊙O2的一个交点,点M是OlO2的中点,过点A的直线BC垂直于MA,分别交⊙Ol、⊙O2于B、C.
(1)求证:
AB=AC;
(2)若OlA切⊙O2于点A,弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2,求证:
dl+d2=O1O2;
(3)在
(2)的条件下,若dld2=1,设⊙Ol、⊙O2的半径分别为R、r,求证:
R2+r2=R2r2.
12.已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为.
13.如图,7根圆形筷子的横截面圆半径为r,则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为.
14.如图,⊙Ol和⊙O2内切于点P,⊙O2的弦AB经过⊙Ol的圆心Ol,交⊙Ol于C、D,若AC:
CD:
DB=3:
4:
2,则⊙Ol与⊙O2的直径之比为()
A.2:
7B.2:
5C.2:
3D.1:
3
15.如图,⊙Ol与⊙O2相交,P是⊙Ol上的一点,过P点作两圆的切线,则切线的条数可能是()
A.1,2B.1,3C.1,2,3D.1,2,3,4
16.如图,相等两圆交于A、B两点,过B任作一直线交两圆于M、N,过M、N各引所在圆的切线相交于C,则四边形AMCN有下面关系成立()
A.有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆
C.既有内切圆,也有外接圆D.以上情况都不对
17.已知:
如图,⊙O与相交于A,B两点,点P在⊙O上,⊙O的弦AC切⊙P于点A,CP及其延长线交⊙PP于点D,E,过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F.
(1)求证:
BC是⊙P的切线;
(2)若CD=2,CB=
,求EF的长;
(3)若k=PE:
CE,是否存在实数k,使△PBD恰好是等边三角形?
若存在,求出是的值;若不存在,请说明理由.
18.如图,⊙A和⊙B是外离两圆,⊙A的半径长为2,⊙B的半径长为1,AB=4,P为连接两圆圆心的线段AB上的一点,PC切⊙A于点C,PD切⊙B于点D.
(1)若PC=PD,求PB的长;
(2)试问线段AB上是否存在一点P,使PC2+PD2=4?
,如果存在,问这样的P点有几个?
并求出PB的值;如果不存在,说明理由;
(3)当点F在线段AB上运动到某处,使PC⊥PD时,就有△APC∽△PBD.
请问:
除上述情况外,当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少,或PC、PD具有何种关系)时,这两个三角形仍相似;并判断此时直线CP与OB的位置关系,证明你的结论.
19.如图,D、E是△ABC边BC上的两点,F是BA延长线上一点,∠DAE=∠CAF.
(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论;
(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍,BC=6,AB=4,求BE的长.
20.问题:
要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面.
操作:
方案一:
在图甲中,设计一个使圆锥底面最大,半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求,画示意图).
方案二;在图乙中,设计一个使圆柱两个底面最大,半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求:
画示意图);,
探究:
(1)求方案一中圆锥底面的半径;
(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径;
(3)设方案二中半圆圆心为O,圆柱两个底面的圆心为O1、O2,圆锥底面的圆心为O3,试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形,并加以证明.
参考答案
第二十四讲几何的定值与最值
几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:
分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明.
几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:
1.特殊位置与极端位置法;
2.几何定理(公理)法;
3.数形结合法等.
注:
几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中,由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.
【例题就解】
【例1】如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD,则CD长度的最小值为.
思路点拨如图,作CC′⊥AB于C,DD′⊥AB于D′,DQ⊥CC′,CD2=DQ2+CQ2,DQ=
AB一常数,当CQ越小,CD越小,本例也可设AP=
,则PB=
,从代数角度探求CD的最小值.
注:
从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与极端位置是指:
(1)中点处、垂直位置关系等;
(2)端点处、临界位置等.
⌒
【例2】如图,圆的半径等于正三角形ABC的高,此圆在沿底边AB滚动,切点为T,圆交AC、BC于M、N,则对于所有可能的圆的位置而言,MTN为的度数()
A.从30°到60°变动B.从60°到90°变动
C.保持30°不变D.保持60°不变
思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C时,其弧的度数,再证明一般情形,从而作出判断.
注:
几何定值与最值问题,一般都是置于动态背景下,动与静是相对的,我们可以研究问题中的变量,考虑当变化的元素运动到特定的位置,使图形变化为特殊图形时,研究的量取得定值与最值.
【例3】如图,已知平行四边形ABCD,AB=
,BC=
(
>
),P为AB边上的一动点,
直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.
思路点拨设AP=
,把AP、BQ分别用
的代数式表示,运用不等式
(当且仅当
时取等号)来求最小值.
⌒
【例4】如图,已知等边△ABC内接于圆,在劣弧AB上取异于A、B的点M,设直线AC与BM相交于K,直线CB与AM相交于点N,证明:
线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.
思路点拨即要证AK·BN是一个定值,在图形中△ABC的边长是一个定值,说明AK·BN与AB有关,从图知AB为△ABM与△ANB的公共边,作一个大胆的猜想,AK·BN=AB2,从而我们的证明目标更加明确.
注:
只要探求出定值,那么解题目标明确,定值问题就转化为一般的几何证明问题.
【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上,求△ABC直角边长的最大可能值.
思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上,当顶点Z在斜边AB上时,取xy的中点,通过几何不等关系求出直角边的最大值,当顶点Z在(AC或CB)上时,设CX=
,CZ=
,建立
,
的关系式,运用代数的方法求直角边的最大值.
注:
数形结合法解几何最值问题,即适当地选取变量,建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系,再运用相应的代数知识方法求解.常见的解题途径是:
(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型,运用判别式求几何最值;
(2)构造二次函数求几何最值.
学力训练
1.如图,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点(可与B点或C点重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是B′、C′、D′,则BB′+CC′+DD′的最大值为,最小值为.
2.如图,∠AOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q,R(均不同于点O),则△PQR的周长的最小值为.
3.如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则
的最大值等于.
4.如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值为()
A.1B.
C.
D.
5.如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形,动点P从A点出发,沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是()
A.
B.
C.
D.
6.如图、已知矩形ABCD,R,P户分别是DC、BC上的点,E,F分别是AP、RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,那么下列结论成立的是()
A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定
7.如图,点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合),分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.
(1)求证:
MN∥AB;
(2)若AB的长为l0cm,当点C在线段AB上移动时,是否存在这样的一点C,使线段MN的长度最长?
若存在,请确定C点的位置并求出MN的长;若不存在,请说明理由.
(2002年云南省中考题)
8.如图,定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动,M是ST的中点,P是S对AB作垂线的垂足,求证:
不管ST滑到什么位置,∠SPM是一定角.
9.已知△ABC是⊙O的内接三角形,BT为⊙O的切线,B为切点,P为直线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F.
(1)当点P在线段AB上时(如图),求证:
PA·PB=PE·PF;
(2)当点P为线段BA延长线上一点时,第
(1)题的结论还成立吗?
如果成立,请证明,如果不成立,请说明理由.
10.如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是()
A.8B.12C.
D.14
11.如图,AB是半圆的直径,线段CA上AB于点A,线段DB上AB于点B,AB=2;AC=1,BD=3,P是半圆上的一个动点,则封闭图形ACPDB的最大面积是()
A.
B.
C.
D.
12.如图,在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB、AC上分别取点D、E,使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分,试求这样线段的最小长度.
13.如图,ABCD是一个边长为1的正方形,U、V分别是AB、CD上的点,AV与DU相交于点P,BV与CU相交于点Q.求四边形PUQV面积的最大值.
14.利用两个相同的喷水器,修建一个矩形花坛,使花坛全部都能喷到水.已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆,问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽),才能使矩形花坛的面积最大?
15.某住宅小区,为美化环境,提高居民生活质量,要建一个八边形居民广场(平面图如图所示).其中,正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米.
(1)设矩形的边AB=
(米),AM=
(米),用含
的代数式表示
为.
(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛,平均每平方米造价为2100元;在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪,平均每平方米造价为105元;在四个三角形区域上铺设草坪,平均每平方米造价为40元.
①设该工程的总造价为S(元),求S关于工的函数关系式.
②若该工程的银行贷款为235000元,仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?
若能,请列出设计方案;若不能,请说明理由.
③若该工程在银行贷款的基础上,又增加资金73000元,问能否完成该工程的建设任务?
若能,请列出所有可能的设计方案;若不能,请说明理由.
16.某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE,边长和方向如图,欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓,请划出这块地基,并求地基的最大面积(精确到1m2).
参考答案
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