正切 余切图像的性质 反三角函数.docx

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正切余切图像的性质反三角函数

正切、余切函数图象和性质反三角函数

　　[知识要点]

　　1．正切函数、余切函数的图象与性质

　　2．反三角函数的图象与性质

　　3．已知三角函数值求角

　　[目的要求]

　　1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点.

　　2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.

　　3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.

　　4．能用反三角函数值表示不同范围内的角.

　　[重点难点]

　　1．正切函数图象与性质　2．已知三角函数值求角

　　[内容回顾]

　　一、正切函数与余切函数图象

　　由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象.

　　作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法.

　　与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期

内的图象上三点

及两条重要的辅导线——渐近线

，来作正切函数在区间

上的简图，不妨称之为“三点两线法”.

　　若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？

请大家看余切函数的图象，不难得到答案.

　　二、正、余切函数的性质

　　由图象可得:

y=tanx

y=cotx

定义域

值域

R

R

单调性

在

上单增（k∈Z）

在

上单减（k∈Z）

周期性

T=π

T=π

对称性

10对称中心

，奇函数（k∈Z）

20对称轴；无

10对称中心

，奇函数（k∈Z）

20对称轴；无

　　注:

1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）.

　　2、每个单调区间一定是连续的.

　　3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.

　　三、反三角函数的概念和图象

　　四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该

（1）离原点较近；

（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:

　　1．y=sinx,x∈

的反函数记作y=arcsinx,x∈[-1,1]，称为反正弦函数.

　　y=cosx,x∈[0,π]的反函数记作y=arccosx,x∈[-1,1]，称为反余弦函数.

　　y=tanx，x∈

的反函数记作y=arctanx,x∈R，称为反正切函数.

　　y=cotx，x∈（0,π）的反函数记作y=arccotx,x∈R，称为反余切函数.

　　2．反三角函数的图象

　　由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.

　　注:

（1）y=arcsinx,x∈[-1,1]图象的两个端点是

（2）y=arccosx,x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）.

　　（3）y=arctanx,x∈R图象的两条渐近线是

和

.

　　（4）y=arccotx,x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π.

　　四、反三角函数的性质由图象，有

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

定义域

[-1,1]

[-1,1]

R

R

值域

[0,π]

（0,π）

单调性

在[-1，1]上单增

在[-1，1]上单减

在R上单增

在R上单减

对称性

10对称中心

（0，0）奇函数

20对称轴；无

10对称中心

非奇非偶

20对称轴；无

10对称中心

（0，0）奇函数

20对称轴；无

10对称中心

非奇非偶

20对称轴；无

周期性

无

无

无

无

　　另外:

　　1．三角的反三角运算

　　arcsin（sinx）=x（x∈

）　　arccos（cosx）=x（x∈[0,π]）

　　arctan（tanx）=x（x∈

）　　arccot（cotx）=x（x∈（0,π））

　　2．反三角的三角运算

　　sin（arcsinx）=x（x∈[-1,1]）　cos（arccosx）=x（x∈[-1,1]）

　　tan（arctanx）=x（x∈R）　　cot（arccotx）=x（x∈R）

　　3．x与-x的反三角函数值关系

　　arcsin（-x）=-arcsinx（x∈[-1,1]）

　　arccos（-x）=π-arccosx（x∈[-1,1]）

　　arctan（-x）=-arctanx（x∈R）

　　arccot（-x）=π-arccotx（x∈R）

　　4．

　　五、已知三角函数值求角

　　1.若sinx=a（|a|≤1），则x=kπ+（-1）karcsina（k∈Z）

　　2.若cosx=a（|a|≤1），则x=2kπ±arccosa（k∈Z）

　　3.若tanx=a（a∈R）,则x=kπ+arctana（k∈Z）

　　4.若cotx=a（a∈R）,则x=kπ+arccota（k∈Z）

　　具体计算和表示时，应根据x的范围来确定x的个数.

　　[典型例题分析]

　　例1．比较大小:

（1）

（2）

　　分析:

不在余切函数的同一单调区间内，应利用诱导公式设法将其化到同一单调区间内，再利用单调性来比较大小.

　　解:

（1）∵

　　而

，由余切函数在（0，π）上的单减性，有

，∴

（2）∵

∴

.

　　例2．写出下列函数的单调区间

（1）

（2）

（3）y=|tanx|

　　分析:

（1）若设

，则原函数可看作是由y=tanu,

复合而成的复合函数，由于

在R上单增，由复合函数的单调性确定法则，可解决之.类似地，可解决

（2）.

　　解:

（1）∵

上单增，（k∈Z）

　　此时，

（k∈Z）

　　解之得

（k∈Z）

　　∴

在区间

上单增（k∈Z）

（2）∵原函数由y=cotu,

复合而成，而

在R上单减，

　　又y=cotu在

（k∈Z）上单减，

　　此时，

（k∈Z）

　　解之得

（k∈Z）

　　即

（k∈Z）

　　∴

在区间

（k∈Z）上单增.

　　（3）分析:

由y=tanx图象作翻折可得y=|tanx|的图象，由图象即可得其单调区间.

　　∴y=|tanx|的单增区间是

（k∈Z），单减区间是

（k∈Z）.

例3．求函数

的值域.

　　分析:

考虑到最简原则，将sec2x化为tan2x+1，这样去分母，作变形，就可以得到关于tanx的二次型方程，而tanx∈R，可考虑用判别式法求值域.有

　　法一:

∵

，∴（y-1）tan2x+（1+y）tanx+（y-1）=0

　　当y≠1时，

，∴

，

　　当y=1时，tanx=0∈R　综上，所求值域为

.

　　法二:

另分析，先对解析式变形“切割化弦”

　　有

........

（1）

　　∵

∴

　　∴

　∴

.

　　法三:

也可由

（1）式

得

，

　　解不等式

，亦可得

.

　　例4．设

，它们有相同最小正周期T，且a,b∈（0,1）,若f

（1）=g

（1），求f（x）,g（x）和T.

　　分析:

先从f（x）与g（x）有共同最小正周期入手，找参数a,b关系.

　　解:

∵

，　∴a=2b,

　　∵f

（1）=g

（1）,∴

　　即

　　∴

　　∴

或

，

　　∴

或

　　又b∈（0,1）,　　∴

.

　　∴

T=12.

　　例5．若

cosx+tsinx=t,求t取值范围.

　　分析:

先将t表示出来，

，观察到此式右端与半角正切的有理公式

很相像，能否转化？

　　∵

　　又

，

　　∴

，∴

，即

.

　　例6．求值:

（1）

（2）

　　（3）

　　（4）arctan2+arctan3

　　解:

（1）设

，则

，∴

　　∴原式

.

（2）设

，

　　∴

，　∴

，

　　∴原式

　　（3）设

，

　　∴

，∴

，

　　∵

，∴原式值不存在.

　　（4）设arctan2=a,arctan3=b，则

，

　　∴

.又

，∴0

　　∴

　∴原式=

.

　　例7．求适合下列条件的x集合:

.

　　分析:

先对原式变形，讨论.

　　解:

∵

.

　　当

，即

时，角x不存在；

　　当

，即

时，原式为sin2x=1，所求集合为

；

　　当

，即

时，所求集合为

　　反思:

对于含字母的三角函数值，必须就字母的不同取值分类讨论