概率试题库一.docx
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概率试题库一
概率论试题库
(一)
第一章预备知识(排列、组合、集合)
第二章随机事件
1.令A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则A的对立事件A为()
(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B)“甲,乙产品均畅销”
(C)“甲种产品滞销”(D)“甲产品滞销或乙产品畅销
答案:
D
2.设A、B、C为三个随机事件,则“A、B、C至少有一个发生”可表示为;
“A发生而B、C不发生”可表示为。
答案:
A+B+C,ABC;
3.设A,B,C,D为任意四个事件,则四个事件中至多有一个发生可表示
为
4.设A、B、C为三个随机事件,则“A、B、C不都发生”可表示为;“A,
B、C至多有一个发生”可表示为。
第三章随机事件的概率
5.掷三枚质地均匀的骰子,出现三个3点的概率为。
6.掷三枚质地均匀得硬币,出现三个正面得概率为。
7.投掷一枚均匀的骰子,出现6点的概率为,点数能被3整除的概率
为。
8.投掷一枚均匀的骰子,出现6点的概率为,点数能被2整除的概率
为。
第四章条件概率事件(试验的)相互独立
9.一射手对同一目标独立地射击4次,且已知射手的命中率为2/3,则4次射击中恰好
命中一次的概率为,4次射击中至少命中一次的概率为。
答案:
8/81;80/81;
10.一射手对同一目标独立地射击3次,且已知射手的命中率为2/3,则3次射击中恰
好命中一次的概率为,3次射击中至少命中一次的概率为。
11.P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(AB)=0.2,求P(AB),P(BA),P(A-B)
解:
P(AB)=P(B)P(AB)=0.50.2=0.1,
P(AB)=P(A)P(B)-P(AB)=0.60.5-0.1=1,
P(A-B)二P(A)-P(AB)=0.6-0.1=0.5。
12.设事件A与B相互独立,且P(A一B)=0.8,P(A)=0.2,则P(B)=;
P(AB)=。
111
13.已知P(A)=—,P(BA)=—,P(AB)=—,则P(AUB)=。
432
1,11
14.P(A)=[,P(BA)=〒P(AB)=?
求P(B),P(A+B),P(A_B)
15.设A,B为两随机事件,已知P(A)=0.7=0.3•P(B),P(AB)=0.8,则
P(A|Nb=.
16.甲乙二人独立地同时破译密码,甲破译的概率为1,乙破译的概率为1,则该密码
23
被破译的概率为.
17.某车间生产了同样规格的6箱产品,其中有3箱,2箱,1箱分别是由甲、乙、丙3
111
个车床生产的,且3个车床的次品率依次为—,—,—,现从这6箱中任选一箱,
101520
再从选出的一箱中任取一件,试计算:
(1)取得的一件是次品的概率;
解:
记&二“取到甲车床产品”
(2)若已知取得的一件是次品,试求所取得的产品是由丙车床生产的概率。
,A2二“取到乙车床产品”,A3二“取到丙车床产品”,
B=“取到次品”,则
(1)由全概率公式得,取得的一件是次品的概率
P(B)=P(BA)P(A)P(BA2)P(A2)p(bA3)p(A3)
11111129
=—X—+—X—+—X———
210315620360
3
由贝叶斯公式,取得次品条件下,取得丙车床产品的概率为
再从选出的一箱中任取一件,试计算:
(1)取得的一件是次品的概率;
(2)若已知取得的一件是次品,试求所取得的产品是由丙车床生产的概率。
19.设某厂有甲、乙、丙三个车间,生产同一规格的产品,每个车间的产量分别占总量
的20%,35%,45%,各车间的次品率分别为4%,3%,2%,现从三个车间生产的产品
中任取一件,求:
(1)取出的产品是废品的概率;
(2)若取出的一件产品是废品,求该废品是乙车间生产的概率.
20.某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂产品每箱装100
个,废品率为0.06,乙厂产品每箱120个,废品率为0.05
(1)任取一箱,从中任取一个产品,求其为次品的概率;
(2)将所有产品开箱混装,任取一个为废品的概率。
将所有产品开箱混放,任取一件,发现为次品,求,这件产品是甲厂生产的概率!
21.从一副扑克牌的13张红心中,有放回的连续抽取4张,求:
(3)没有同号的概率。
(4)有同号的概率。
(3)四张中至多有三张同号的概率
2、从一副扑克牌的13张红心中,有放回的连续抽取3张,求:
(1)没有同号的概率。
(2)有同号的概率。
(2)三张中至多有两张同号的概率。
第五章一维随机变量
22.F(x)为随机变量•的分布函数,贝U』m「F(x)二。
ak
23.已知X的概率分布为P(X二k)(k=1,2,川,n),贝Va=()
n(n+1)
(A)1(B)2(C)3(D)4
答案:
B
24.已知X的概率分布为P(X二k)=pk,(k=1,2,川),则p=()
(A)1(B)2(C)3(D)0.5
25.设每次实验中,事件A发生的概率为'•则在三次重复独立实验中,事件A恰好
发生两次的概率为
26.设~B(2,P),~B(3,P),且P(_1),则P(一1)=。
9
27.一个复杂的系统,由100个相互独立起作用的部件所组成。
在整个运行期间,每个
部件损坏的概率为0.1,为了使整个系统起作用,至少需有85个部件工作,求整个
系统工作的概率。
28.任何一个连续型随机变量的密度函数f(x)一定满足()
(A)0^f(x)Z1(B)在定义域内单调不减
(C).f(x)dx=1(D)f(x)0
答案:
C
29.设f(x)是连续性随机变量X的密度函数,则f(x)一定满足下面两条性质:
(1),
(2)。
答案:
f(x)_O,f(x)dx=1.
30.已知随机变量X的分布函数F(x)=A+Barctanx,其中A,B为未知参数,则
A=,B=
f0,x<0
31.设随机变量x的分布函数为F(x)={Asinx,0Ex^^;贝卩
.1,x"
P{X:
:
:
6卜
(1)求参数a,
(2)计算E,Do
1上
e5,x0
f(x)=<5
.0,x兰0
某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开,他一个月要到银行5次,以Y表示
一个月内未等到服务而离开窗口的次数,试求P(Y_1)
39.若X~N(0,1),X的分布函数为:
•:
」(x),已知G(2.35)=0.9906,
则P(Xa2.35)=,P(X兰2.35)=。
答案:
P(X>2.35)=0.0094,P(X|兰2.35)=0.9812.
40.若X~N(0,1),X的分布函数为G(x),已知G(2.35)=0.9906,
则P(X.2.35)=,P(X_-2.35)=。
41.若X~N(0,1),X的分布函数为①(x),已知①(1.96)=0.975,
则P(X>1.96)=,P(X|兰1.96)=。
42.设随机变量•服从正态分布N(108,9),求
(1)P{101.1:
:
:
:
117.60.5},
(2)求常数a,使P「:
:
:
a}=0.90
(3)求常数a,使P{-a・a}=0.01。
(已知:
:
•:
^(3.2^0.9995,门0(2.3)=0.9893「:
」0(1.29)=0.90,:
:
」。
(2.33)=0.99)
43.一批钢材(线材)长度X(cm)~N(100,22),求这批钢材长度小于97.8cm的概率。
(注:
:
:
」(1.1)=0.8643)
解:
所求概率为P{X:
:
97.8}=F(97.8)『:
」(一1.1)=1—「(1.1)=0.1357。
44.某地区18岁的女青年的血压X~N(110,122)(收缩压,以mm-Hg十),在该地区
5
任选一18岁的女青年,求其血压在100~120之间的概率。
(注:
;:
」
(一)=0.7967)
6
2
45.某种型号的电池寿命X近似服从正态分布N(u,匚),已知其寿命在250小时以上的
概率和不超过350小时的概率均为92.36%,为使其寿命在u-x和u'x之间的概
率不小于0.9,x至少为多大?
(已知,述0(1.43)=0.9236,①0(1.645)=0.95)
46.设'~N(u「),~N(0,1),其分布函数分别记为:
:
」(x)及、5(x),则:
•:
」(x)
(°
47.将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内。
调节器整定在dC,液体的温
度X(以C计)是一个随机变量,且xLN(d,0.52)°
(1)若d=90,求X小
于89的概率;
(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少
为多少?
(:
」0
(2)=0.9772,:
」0(2.33)=0.99)
第六章二维随机变量
48.设X和Y的联合分布律如表:
0
1
2
3
1
0
3/8
1/8
a
2
1/8
1/8
0
1/8
求
(1)求a;
(2)X丫的边缘概率分布;(3)判断X与丫的独立性;
(4)cov(X,Y).
4
1
a=—
8
1111
解:
(1)1a
88888
(2)X的边缘概率分布密度为
X
1
2
P
5/8
3/8
Y的边缘概率分布密度为
Y
0
1
2
3
P
1/8
4/8
1/8
2/8
(4)EX=152=口
888
EY=011-2
888
1
E(XY)=2,cov(X,丫)「石
49.设X和Y的联合分布律如表:
0
1
2
3
1
0
3/8
1/8
1/8
2
1/8
1/8
0
1/8
求
(1)X、丫的边缘概率分布;
(2)P{X<1,Y-2};(3)判断X与丫
的独立性;(4)cov(X,Y).
50.二维离散型随机变量「,)的联合概率分布表如下所示,计算的边缘分布,并
判定,是否相互独立。
-1
0
1
-1
1/8
1/8
1/8
0
1/8
0
1/8
1
1/8
1/8
1/8
51.随机的将两封信投入三个邮筒,用\分别表示第一二号邮筒内信的数目,给出
()的联合概率分布表以及的边缘分布。
52.设f(x,y)是连续性随机变量(X,Y)的联合密度函数,则f(x,y)一定满足下面两条性质:
(1),
(2)。
kxy,
其他
求
(1)参数k的值;
(2)X、Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y);(3)期望E(XY)。
k
解:
(1)1=2f(x,y)dxdy二kxydxdy,.k=4
…r■D4
(2)X的边缘密度为X~fX(x)
"bo
同理Y的边缘密度为Y~fY(y)二.「f(x,y)dx二
(3)由随机向量函数期望公式
12124
EXY二R2xyf(x,y)dxdy二Dxy4xydxdy=4°xdx°ydy二一
9
54.设二维随机变量(X,Y)在区域D:
0^x^2,0乞y<2上服从均匀分布,
求
(1)(X,Y)的概率密度;
(2)X的边缘概率密度fX(x);(3)期望E(XY).
55.两个随机变量',相互独立,则联合密度:
(x,y)与边缘密度:
(x),(y)之间的
关系为。
f._3x_4ycc
卫"ke,x>0,y>0
56.设二维随机向量(叨)的密度函数为:
f(x,y)=」卄…
0,其他
求常数k以及边缘密度。
第七章随机变量的函数及其分布
57.若X~N(0,1),Y=2X1,则Y~()
(D)N(1,1)
(A)N(0,1)(B)N(1,4)(C)N(1,3)
2
61.设X~N(巴▽),则y=a+bX〜第八章随机变量的数字特征
62.设X是一随机变量,且EX存在,则E(X-EX)二()
22
(A)EX(B)EX-(EX)(C)0(D)DX
答案:
C
63.■是一个随机变量,则E(-E)二。
64.是一个随机变量,则E「-E)二,E(-E)2=
65.X为随机变量,EX二u,DX=;「2,则E^U)=
CT
x0
0 0 | 67.设E的分布函数为F(x)=^x4 1 1415妊 (B)o4xdx,(C)oxdx1xdx, 答案: B 68.设随机变量 的概率密度函数为 1-x22xj (x)e, 则 E二 ? D二 。 69.设随机变量 ■的概率密度函数为 1-X2-2xd (X)二e, 则 E'二 D二。 70.已知X,Y是两个相互独立的随机变量,已知X在[0,1]服从均匀分布,丫服从参数 为3的指数分布,则E(XY)=,D(2X,3Y)二。 31 答案: E(XY),D(2X3Y)=18-. 23 71.已知X,Y是两个相互独立的随机变量,已知X在[0,2]服从均匀分布,Y服从参数 为0.5的指数分布,则E(XY)二,D(2X,3丫)二。 72.一个袋中装有10个球,3个红球,7个黑球,从中任取2球不放回,用随机变量X 表示取到的红球数,求: (1)X的分布律,EX,DX (2)若从中再任取一球,求取到红球的概率 解: (1)记Ai=“第一次取到红球”,A? 二“第二次取到红球”,X表示取到的红 767 球数,则P(^^0^P(A1)P(aJa]), 110915 ———377 P(X=1)=P(A)P(A2人)十卩(人)卩(心人)=2疋一汇一=一, 10915 321 P(X=2)=P(A1)P(A2A): 10915 X的分布律为 7713277111 EX=0+1+2,EX=0+1+4, 151515515151515 DX=EX2-(EX)2二28 75 (2)第三次取到红球为事件A,所以 22 P(A)=迟P(A(X=i))=迟P(X=i)P(A(X=i)) i=0i=0 7372113 ++ 15815815810 73.设随机变量X具有密度函数 1 |x+—0兰x兰1 f(x)二2 0其他 求 (1)EX; (2)DX;(3)丫二X-1的密度函数fY(y)。 ■beii7 解: (1)EX二.xf(x)dxx(x)dx=02i2 DX=EX2-(EX)211 22i2i5 (2)EXxf(x)dxx(x)dx, 0、2i2 (3)丫二X-1的分布函数 FY(y)二P(YEy)二P(X-仁y)二P(X乞y1) 0,y: -1 y1 =0(x0.5)dx,-1乞y乞0 1,y0 y+i.5,_<^y 所以Y=X-1的密度函数fY(y)二 0,其他 k.7 74.某射手参加一种游戏,他有4次机会射击一个目标•每射击一次须付费10元.若他射 中目标,则得奖金100元,且游戏停止.若4次都未射中目标,则游戏停止且他要付罚款100元.若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望. 75.设X,Y为任意两个随机变量,方差均存在且为正,若EXY二EXEY,则下列结 论不正确的是()。 (A)D(XY)=DXDY(B)X,Y不相关 (C)cov(X,Y)=0(D)X,Y相互独立 76.设随机变量(X,Y)的方差D(X)=4,D(Y)=1,协方差cov(X,Y)=0.6,贝卩 方差D(XY)=() (A)3.8;(B)3;(C)6.2;(D)4.4 77.X为随机变量,EX二u,DX,则由切贝谢夫不等式可知 P{|x-u—。 78.设Sn是n次独立重复试验中事件A出现的次数,p为A在每次试验中出现的概率, S 则对任意的农>o,有limp{』—p启础= n-和n 2 79.设X随机变量,C是常数,证明: E(X-c) 80.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是一个随机变量,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克,若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理 说明每辆车最多可装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977。 (G0 (2)=0.977,其中: •: 」o(x)为标准正态分布的分布函数) 81. '「,)=: 两个随机变量',相互独立,则相关系数 答案: 0;
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