六方晶系四指数推导.docx
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六方晶系四指数推导
1.4晶向指数和晶面指数
一晶向和晶面1晶向
晶向:
空间点阵中各阵点列的方向(连接点阵中任意结点列的直线方向)。
晶体中的某些方向,涉及到晶体中原子的位置,原子列方向,表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2晶面
晶面:
通过空间点阵中任意一组阵点的平面(在点阵中由结点构成的平面)。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为(如各种
物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等)都和晶面、晶向有密切的关系。
所以,
为了研究和描述材料的性质和行为,首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶
体中不同方位的晶向和晶面,国际上通用密勒(Miller)指数来统一标定晶向指数与晶面指
数。
二晶向指数和晶面指数的确定1晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a,b,c为坐标轴的坐标系,各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a,b,
c,坐标原点在待标晶向上。
⑵选取该晶向上原点以外的任一点P(xa,yb,zc)。
⑶将xa,yb,zc化成最小的简单整数比u,v,w,且u:
v:
w=xa:
yb:
zc。
⑷将u,v,w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvW。
图1晶向指数的确定方法
[0011C
图2不同的晶向及其指数
当然,在确定晶向指数时,坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向
上,那就需要选取该晶向上两点的坐标F(x1,y1,z"和Qx2,y2,Z2),然后将(X1-X2),(y「y2),
(Z1-Z2)三个数化成最小的简单整数u,v,w,并使之满足u:
v:
w=(xi-X2):
(yi-y2):
(zi-Z2)。
则[uvw]为该晶向的指数。
显然,晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反,则晶向指
数的数字相同,但符号相反,如图3中[010]与[010]。
说明:
a指数意义:
代表相互平行、方向一致的所有晶向。
b负值:
标于数字上方,表示同一晶向的相反方向。
c晶向族:
晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。
用
相同,但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。
晶体结构中那些原子密度相同的等同晶向称为晶向轴,用
<100>:
[100][010][001][100][010][001]
<111>:
[111][111][111][111][111][111][111][111]
图3正交点阵中的几个晶向指数
2晶面指数的确定
国际上通用的是密勒指数,即用三个数字来表示晶面指数(hkl)。
图4中的红色晶
(1)建立一组以晶轴a,b,c为坐标轴的坐标系,令坐标原点不在待标晶面上,各轴上的坐
标长度单位分别是晶胞边长a,b,c。
(2)求出待标晶面在a,b,c轴上的截距xa,yb,zc。
如该晶面与某轴平行,则截距为^。
⑶取截距的倒数1/xa,1/yb,1/zc。
⑷将这些倒数化成最小的简单整数比h,k,l,使h:
k:
l=1/xa:
1/yb:
1/zc。
⑸如有某一数为负值,则将负号标注在该数字的上方,将h,k,l置于圆括号内,写成(hkl),
则(hkl)就是待标晶面的晶面指数。
说明:
晶面指数所代表的不仅是某一晶面,而是代表着一组相互平行的晶面。
a指数意义:
代表一组平行的晶面;
b0的意义:
面与对应的轴平行;
c平行晶面:
指数相同,或数字相同但正负号相反;
d晶面族:
晶体中具有相同条件(原子排列和晶面间距完全相同),空间位向不同的各
组晶面,用{hkl}表示。
在立方系中,{100}:
(100)(010)(001),{110}:
(110)(101)(011)(110)(101)(0刁1),{111}:
(111)(111)(111)(111)
e若晶面与晶向同面,则hu+kv+lw=0;
f若晶面与晶向垂直,则u=h,k=v,w=l。
立方系常用晶面指数图5。
图5立方系常用晶面指数
例子:
请确定图6中的晶面的晶面指数,并在图7中画出这些晶面指数所代表的晶面。
首先选定坐标系,如图所示。
然后求出待标晶面在a,b,c轴上的截距,分别为a/2,
2b/3,C/2。
取倒数后得到2,3/2,2。
再将其化成最小的简单整数比,得到4,3,4
三个数。
于是该面的晶面指数为(434)。
图7晶面指数的标注
所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然不同,但它们是成比例的,其倒数也仍然是成比例的,经简化可以得到相应的最小整数。
因此,所有相互平行的晶面,其晶面指数相
同,或者三个符号均相反。
可见,晶面指数所代表的不仅是某一晶面,而且代表着一组相互平行的晶面。
图8立方晶胞的{110}、{111}晶面族
3关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明:
(1)参考坐标系通常都是右手坐标系。
坐标系可以平移(因而原点可置于任何位置)。
但
不能转动,否则,在不同坐标系下定出的指数就无法相互比较。
(2)晶面指数和晶向指数可为正数,亦可为负数,但负号应写在数字上方,如(123),
[211]等。
(3)若各指数同乘以不等于零的数n,则新晶面的位向与旧晶面的一样,新晶向与旧晶向或是同向(当n>0),或是反向(当n<0)。
但是,晶面距(两个相邻平行晶面间的距离)和晶向长度(两个相邻结点间的距离)一般都会改变,除非
{110}=(110)+(110)+(101)+(101)+(011)+(01J)
(iio)+(lio)4)(ioi)+(ioi)+(oil)+(oii)
=(123)+(123)+(123J
(213)+(213)+(213
(312)+(312)+(312
(123)+(123)+(123
(213)+(213)+(213
(312)+(312)+(312
n=1。
{123}
+(123)+i
)+(213)+
(132)+(132)+^132)j($2)+
4
1)+(231)+(231)+(231)
)+(312)+(3^1)+(321)+(321)+(321)
+
)+
n
(123)+
(213)+
(312)+
(132)+(132)+(132)+(132)
(231)+(231)
(321)+(321)
+(231)+(231)
+(321)+(321)
从以上各例可以看出,立方晶体的等价晶面具有“类似的指数”,即指数的数字相同,只是
符号(正负号)和排列次序不同。
这样,我们只要根据两个(或多个)晶面的指数,就能判断它们是否为等价晶面。
另一方面,给出一个晶面族符号{hki},也很容易写出它所包括的
全部等价晶面。
对于非立方晶系,由于对称性改变,晶面族所包括的晶面数目就不一样。
例如正交晶系,
晶面(100),(010)和(001)并不是等同晶面,不能以{100}族来包括。
与晶面族类似,晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族,用<uvw>表
示。
仿照上例,读者可以写出在立方晶系中的<100>,<110>,<111>,<112>和<123>等晶向
族所包括的等价晶向。
[hkl]丄(hkl)。
以后,在讨论晶体的性质(或行为)时,若遇到晶面族或晶向族符号行为)对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都同样成立,具体的晶面或晶向。
另外,在立方晶系中,具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的,即
4.六方晶系指数表示
上面我们用三个指数表示晶面和晶向。
这种三指数表示方法,原则上适用于任意晶系。
对六方晶系,取a,b,c为晶轴,而a轴与b轴的夹角为120°,c轴与a,b轴相垂直,如图9所示。
图9六方晶体的等价晶面和晶向指数
但是,用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点,即晶体学上等价的晶面
和晶向不具有类似的指数。
这一点可以从图9看出。
图中六棱柱的两个相邻表面(红面和绿
面)是晶体学上等价的晶面,但其密勒指数却分别是(110)和(100)。
图中夹角为60°的
两个密排方向D和D2是晶体学上的等价方向,但其晶向指数却分别是[100]和[110]。
由于等价晶面或晶向不具有类似的指数,人们就无法从指数判断其等价性,也无法由晶面族
或晶向族指数写出它们所包括的各种等价晶面或晶向,这就给晶体研究带来很大的不便。
为
了克服这一缺点,或者说,为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数,对六方晶体
来说,就得放弃三指数表示,而采用四指数表示(密勒-布拉菲指数)。
四指数表示是基于4个坐标轴:
ai,a2,a3和c轴,如图10所示,其中,ai,a2和c轴就是原胞的a,b和c轴,而a3=-(a什a2)。
下面就分别讨论用四指数表示的晶面及晶向指数。
图10六方晶体的四轴系统
(1)六方晶系晶面指数的标定
六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样,从待标晶面在a1,a2,a3
和c轴上的截距可求得相应的指数h,k,i,l,于是晶面指数可写成(hkil)。
根据几何学可知,三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。
应用上述方法标定的晶面指数形式上是4个指数,但是不难看出,前三个指数中只有两个是独立的,它们之间有以下的关系:
i=-(h+k),因此,可以由前两个指数求得第三个指数。
六方晶体中常见晶面及其四指数(亦称六方指数)标于图11中。
从图看出,采用四指
数后,同族晶面(即晶体学上等价的晶面)就具有类似的指数。
例如:
{1010}二(1010)*(1100)+(0110)+(1010)+(ilOQ)+(0110)共6个等价面(I型棱柱面)。
{1120}二(1120)|+(1210)+(2110)屮(1120)|+(1210)卜(可10)共6个等价面(n型棱柱面)。
而{0001}只包括(0001)—个晶面,称为基面。
六方晶体中比较重要的晶面族还有
□M即,请读者写出其全部等价面。
(2)六方晶系晶向指数的标定
采用四轴坐标,六方晶系晶向指数的标定方法如下:
当晶向通过原点时,把晶向沿四个
轴分解成四个分量,晶向OP可表示为:
OP=ua+va2+ta3+wC晶向指数用[uvtw]表示,其中t=-(u+v)。
原子排列相同的晶向为同一晶向族,图12中a1轴为[2刁刁0],a2轴[刁2彳0],
a3轴[1120]均属〈2110>,其缺点是标定较麻烦。
可先用三轴制确定晶向指数[UVW],
再利用公式转换为[uvtw]。
采用三轴坐标系时。
C轴垂直底面,at、a2轴在底面上,其夹角
为120°,如图12,确定晶向指数的方法同前。
采用三轴制虽然指数标定简单,但原子排列相同的晶向本应属于同一晶向族,其晶向指数的数字却不尽相同,例如[100],[010],
[110],见图12。
图12六方晶系的一些晶面与晶向指数
六方晶系按两种晶轴系所得的晶向指数可相互转换如下u=1(2u-V),v=3(2V-U),t=—(uv),w=W。
例如,[1彳0]t[1120],[100]t[21刁0],
[010]t[1210],这样等同晶向的晶向指数的数字都相同。
标定方法通常采用行走法。
用行走法确定六方晶体的四轴晶向指数时,会遇到一个新的
问题,即解是不唯一的。
例如,a1轴的指数可以是L2^"J,也可以是[2000];a2轴的指数可
以是l.[2l"J,也可以是[0200]。
分析各种等价晶向的四指数后发现,要想使等价晶向具有类似的四指数,就需要人为地附加一个条件,即前三个指数之和为零。
若将晶向指数写成
[UVTW,则上述附加条件可写成:
U+V+T=,或T=-(U+V。
按照这个附加条件,上述a1轴的
指数就应该是L2]|L'J,而不是[2000];同样,a2和as轴的指数分别是卩汕和山刈。
图13中标出了六方晶体中各重要晶向的四指数,它们是[0001],dloioS,d11㊁0,等
图13六方晶体中常见的晶向
除上述几个特殊晶向外,对一般的晶向,很难直接求出四指数[UVTW因为很难保证在
沿ai,a2,as和c轴分别走了U,V,T和W步后既要到达晶向上的另一点,又要满足条件T=-(U+V。
比较可靠的标注指数方法是解析法。
该法是先求出待标晶向在ai,a2和c三个轴
下的指数u,v,w(这比较容易求得),然后按以下公式算出四指数U,V,T,W
T=-(U+V)
此公式可证明如下。
由于三指数和四指数均描述同一晶向,故:
Uai+Va2+Ta3+WC=uai+va2+wc
(1-2)
又由几何关系:
ai+a2
(1-3)
再由等价性要求:
T=-(U+V)
(1-4)
解以上三个联立方程,即得到:
u=2l+V,v=2V+Uw=W
(1-5)
面举两个例子。
例1请写出a1轴的晶向指数。
解:
从晶胞图直接得到:
u=1,v=0,w=0,按(1-1)式算得:
例2请写出a2和-a3交角的平分线D的晶向指数。
解:
从晶胞图可看出:
D=a+(-a3)=2a+a2,得u=2,v=1,w=0,代入(1-1)式得到:
U=1,V=0,T=-1,W=0,故[I朮]。
5立方和六方晶体中重要晶向的快速标注
在以后各章将多次遇到立方和六方晶体中的一些低指数重要晶向,需要迅速确定其指数。
根据上述标定指数的方法,我们归纳出一条快速标定晶向指数的口诀,即:
“指数看特征,正负看走向”。
就是说,根据晶向的特征,决定指数的数值;根据晶向是“顺轴”(即与轴的正向成锐角)还是“逆轴”(即与轴的正向成钝角),决定相应于该轴的指数的正负。
下面具体讨论立方和六方晶体中的各重要晶向。
(1)立方晶体
立方晶体中各重要晶向的特征如下:
(1)<100>是晶轴。
若沿着a轴,则第一指数为1,依次类推;如果“逆轴”(如沿
-a轴),则相应指数为1。
(2)<110>是立方体面对角线。
若面对角线在a面(即(100)面)上,则第一指数为
零,其余两个指数为1或(取决于所讨论的对角线是“顺着”还是“逆着”相应的晶轴)。
(3)<111>是体对角线。
三个指数都是1或I,取决于该对角线与相应轴的交角(锐
角为1,钝角为1)。
(4)<112>是顶点到对面(即不通过该顶点的{100}面)面心的连线。
如果对面是a
面,则第一指数为2或2,其余两个指数为1或1。
(2)六方晶体
六方晶体中各重要晶向的特征如下:
(1)[0001]c轴。
a2或a3轴平行的晶向。
和哪个轴正(或反)平行,则相应
的指数就是2(或2),其余三个指数就是1,i,0(或1,1,0)。
I-1lb
-[1010]-[0110]
是+a1轴和-a3轴交角的平分线;是-a2轴和+a3轴交角的平分线等等。
根据以上几类晶向指数,还可以迅速求得某些不平行于基面的重要晶向。
方法是先求该晶向
在基面上的投影线的指数[UVT0],而w可从晶胞图中直观看出。
例如,求图1-19中MN的指
[狂1]
W=,故MN的指数333
6晶带
相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带,此直线称为晶带轴。
设晶带
轴的指数为[uvw],则晶带中任何一个晶面的指数(hkl)都必须满足:
hu+kv+lw=O,满足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带,已知两个非平行的晶面指数为(h1k1l1)和(h2k2l2)
则其父线即为晶带轴的指数[uvw]:
u=&丨2-^2丨1,v=1小2-^2^,w=mk2-。
图14晶带轴7晶面间距
一组平行晶面中,相邻两个平行晶面之间的距离叫晶面间距。
两近邻平行晶面间的垂直
距离,用dhkl表示。
对于不同的晶面族{hkl}其晶面间距也不同。
总的来说,低指数晶面的面间距较大,高指数晶面的面间距较小。
U20)
(nlO)
图15晶面间距
4(h2hkk2)()2
3a2%丿
图16晶面间距公式的推导
由晶面指数的定义,可用数学方法求出晶面间距,
系:
dhkli(h)2.(k)2.
(1)2,立方系:
dhkl■^h2k2’2,八方系:
dhkl式用于复杂点阵(如体心立方,面心立方等)时要考虑晶面层数的增加。
(简单立方):
,六方系:
d
d=a/(h2+k2+|2)1/2,正交
4(h2水卡)十丨)2。
此公例如,咻心立方(001)
面之间还有同一类的晶面,可称为(002)面,故晶面间距应为简单晶胞d001的一半,等于弓。
由公式也可看出低指数晶面的面间距大。
三晶体的极射赤面投影
采用立体图难以做到清晰表达晶体的各种晶向、晶面及它们之间的夹角。
通过投影图可
将立体图表现于平面上。
晶体投影方法很多,广泛应用的是极射赤面投影。
1参考球与极射赤面投影
(1)参考球
设想将一很小的晶体或晶胞置于一个大圆球的中心,由于晶体很小,可认为各晶面均通
过球心,由球心作晶面的法线与球面的交点称为极点,这个球称参考球,如图17。
球面投
影用点表示相应的晶面,两晶面的夹角可在参考球上量出,如图17,(110)与(010)夹角为45°。
但使用上仍不方便。
可在此基础上再作一次极射赤面投影。
图17参考球与立方系球面投影
(2)极射赤面投影
以球的南北极为观测点,赤道面为投影面。
连结南极与北半球的极点,连线与投影面的交点即为晶面的投影,如图18。
投影图的边界大圆与参考球直径相等叫基圆。
位于南半球
的极点应与北极连线,所得投影点可另选符号,使之与北半球的投影点相区分。
也可选与赤道平行的其他平面作投影面,所得投影图形状不变,只改变其比例。
对于立方系,相同指数的晶面和晶向互相垂直、所以立方系标准投影图的极点即代表了晶面又代表了晶向。
若将参
考球比拟为地球,以地球的两极为投影点,将球面投影投射到赤道平面上,就叫极射赤面投
影。
.V
5世漓
图18极射赤面投影
图19立方系(001)标准投影图
3吴氏网
吴氏网是球网坐标的极射平面投影,分度为2°,具有保角度的特性。
其读数由中心向
外读,分东,南,西,北。
吴氏网如图20所示。
100
HO
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IflO
Nl
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.禹
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70
2标准投影图
以晶体的某个晶面平行于投影面,作出全部主要晶面的极射投影图称为标准投影图。
一
般选择一些重要的低指数晶面作投影面,如立方系(001),(011),(111)及六方系(0001)等。
例
如(001)标准投影图是以(001)为投影面,进行极射投影而得到的,如图19。
图20吴氏网(分度为2°)
使用吴氏网时,投影图大小与吴氏网必须一致。
利用吴氏网可方便读出任一极点的方位,
并可测定投影面上任意两极点间的夹角,是研究晶体投影,晶体取向等问题的有力工具。
在
测量时,用透明纸画出直径与吴氏网相等的基圆,并标出晶面的极射赤面投影点。
将透明纸
盖于吴氏网上。
两圆圆心始终重合,转动透明纸、使所测两点落在赤道线上,子午线上,基因上,同一经线上。
两点纬度差(在赤道上为经度差)就等于晶面夹角。
不能转到某一纬线去
测夹角,因为此时所测得的角度不是实际夹角。
例题
1.已知纯钛有两种同素异构体,低温稳定的密排六方结构:
:
/和高温稳定的体心立方结
构孑一巴,其同素异构转变温度为882.5C,计算纯钛在室温(20C)和900C时晶体中(112)
和(001)的晶面间距(已知aa20C=0.2951nm,Ca20<:
=0.4679nm,ab90*=0.3307nm)。
答案
20C时为a-Ti:
hcp结构
当h+2k=3n(n=0,1,2,3…),l=奇数时,有附加面。
0.1248(mw)
900C时为B-Ti:
bcc结构
当1;二奇数时,有附加面。
tool)=*卡=0-165畑)
内容提要
晶胞是能反映点阵对称性、具有代表性的基本单元(最小平行六面体),其不同方向的
晶向和晶面可用密勒指数加以标注,并可采用极射投影方法来分析晶面和晶向的相对位向关
系。
重点与难点
1晶向指数与晶面指数的标注;
2晶面间距的确定与计算;
晶向指数:
[uvw]即为AB晶向的晶向指数。
如u、v、w中某一数为负值,则将负号标注在该数的上方。
[2:
1]和[_r]就是两个相互平
行、方向相反的晶向。
因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族,用
对立方晶系来说,[100]、[010]、[001]和[]00]、[0]0]、
[00」等六个晶向,它们的性质完全相同,用<100>表示
对于正交晶系[100]、[010]、[001]这三个晶向并不是等同晶向,因为以上三个方向上的原子间距分别为a、b、c,沿着这
三个方向,晶体的性质并不相同。
(123)、(13戈)、(23))、(213)、(31,)、(32j)
共24组晶面
晶面指数用来分别表示原子的排列构成的许多不同方位的晶面。
女口(111)
在晶体中有些晶面具有共同的特点,其上原子排列和分布规律是完全相同的,晶面间距也相同,唯一不同的是晶面在空间的位向,一组等同晶面称为一个晶面族,用符号{hkl}表示。
在立方晶系中,具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的,即[hkl]垂直于(hkl)。
例如:
[100]垂直于(100),[110]垂直于(110),[111]垂直于(111),等等。
但是,
左边图,日1、日2、C为晶轴,而a1与a2间的夹角为120度。
六方晶系六个柱面的晶面指数为
(100)、(010)、(110)、(]00)、
(0仏、(1^0)这六个面是同类型晶面,但其晶面指数中的数字却相同。
晶向指数也有类似情况,例如[100]和[110]是等同晶向,但晶向指数却不相同。
为了解决这一问题,可采用专用于六方晶系的指数标定方法。
(右图)
☆晶面指数的确定方法
1°确定平面与晶胞三个坐标轴的交点坐标(平面不能通过原点)2°取在三个坐标轴上截距的倒数。
3°消除分数,把它们化为互质的最小整働•匕Zo负数用上划线表示。
4°用()括起来,记为(hkl)
1°确定交点坐标,1/2、Y轴:
1.Z轴;1
2°取倒数2、1.1
3°消除分数2.K1
4°晶面指数(211)
1A0
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