高考数学一轮总复习第7章立体几何73空间点直线平面之间的位置关系模拟演练理.docx
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高考数学一轮总复习第7章立体几何73空间点直线平面之间的位置关系模拟演练理
2019-2020年高考数学一轮总复习第7章立体几何7.3空间点直线平面之
间的位置关系模拟演练理
1.[xx•福州质检]已知命题p:
a,b为异面直线,命题q:
直线a,b不相交,则p是q
)
A.充分不必要条件
C.充分必要条件
答案
解析
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
A
若直线a,b不相交,则a,b平行或异面,所以p是q的充分不必要条件,故选
A.
2.设
若
若
若
若
A.
B.
C.
D.
答案
解析
A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是(
AC与BD共面,贝UAD与BC共面
AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
AB=ACDB=DC贝UAD£BC
AB=ACDB=DC贝UAD-BC
D
ABC[可能为平面四边形,也可能为空间四边形,故
3.[xx•泉州模拟
A.存在唯一直线
B.存在唯一直线
C.存在唯一平面
D.存在唯一平面
答案
解析
//a,
D不成立.
]设a,b是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是I,使得I丄a,且I丄b
I,使得I//a,且I丄b
a,使得a?
a,且b//
a,使得a?
a,且b丄
a,b是互不垂直的两条异面直线,把它放入正方体中如图,且I丄b,可得a丄b,与题设矛盾,故B不正确;由a?
由I
与题设矛盾,故D不正确,故选C.
4.[xx•温州模拟]如图所示的是正方体或四面体,P,QR,
这四个点不共面的是()
由图可知
a,且b丄a
A不正确;
,可得a丄b,
S分别是所在棱的中点,
s
li
Q
D
答案
解析
A中PS//QR故共面;B中PS与QR相交,故共面;形,故共面.
5.[xx•全国卷I]平面a过正方体ABCDABCD的顶点
a门平面ABEAi=n,贝Umn所成角的正弦值为(
'2:
31
B.TC.T°3
C中四边形
PQR是平行四边
ABC』m
A摻
Aa//平面CBD,a
)
门平面
答案
解析如图,延长BA至A,使AA=B1A1,延长DAi至A,使AA=DAi,连接AA,AA,A2A3,AiB,AD.易证AA//AB//DCAA//AD//BC.二平面AAA//平面CBD,即平面AAA为平面a.于是ni/AA,直线AA即为直线n.显然有AA=AA=AA,于是mn所成的角为60°,其正弦值为扌.选A.
6.[xx•福建六校联考]设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:
1若a//b,b//c,贝Ua//c;
2若a丄b,b±c,贝Ua//c;
3若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
4若a?
平面a,b?
平面卩,则a,b一定是异面直线.
上述命题中正确的命题是(写出所有正确命题的序号).
答案①
解析由公理4知①正确;当a丄b,b±c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错;
当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错;a?
a,b?
卩,
并不能说明a与b“不在任何一个平面内”,故④错.
7.
如图,在三棱锥C-ABD中,EF分别是AC和BD的中点,若CD=2AB=4,EF丄AB,则
EF与CD所成的角是.
答案30°
解析取CB的中点G,连接EGFG
•「EG//ABFG//CD
•••EF与CD所成的角为/EFG
又•••EF±AB•EF±EG
111
在Rt△EFGEd2AB=1,Fd2CD=2,•sin/EFG-,
•••/EFG30°,•EF与CD所成的角为30°
&如图所示,是正方体的平面展开图,在这个正方体中,
1BM与ECTO;
2CN与BE是异面直线;
3CN与BM成60°角;
4DM与BN垂直.
BM与ED为异面直
解析如图所示,把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,显然线,故命题①不成立;而CN与BE平行,故命题②不成立.
•••BE//CN二CN与BM所成角为/MBE
•••/MBE=60°,故③正确;TBCL面CDNM
•••BC±DM又TDMLNC二DML面BCN
•••DMLBN故④正确,故填③④.
n
如图,在三棱锥P—ABC中,P从底面ABCD是PC的中点.已知/BAG/,AB=2,AC=2'3,PA=2.求:
⑴三棱锥P-ABC的体积;
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.
111
解⑴abc=2^2X23=2:
3,三棱锥P—ABC的体积为V=abc-PA=3X2,'3X2
233
=班
=3.
(2)如图,取PB的中点E,连接DEAE贝UED//BC所以/ADE或其补角)是异面直线
BC与AD所成的角.
在厶ADE中,DE=2,AE=2,AD=2,
亠2亠2小
cos/ADE=
2+2—2
2X2X2
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为|.
4
10.如图所示,正方体ABCBABCD中,E、F分别是AB和AA的中点.
求证:
(1)ECD、F四点共面;
⑵CEDF、DA三线共点.
证明⑴如图所示,连接CDEF、AB,
•••E、F分别是AB和AA的中点,
1
•••FE//AB且EF=gAB
•/AD綊BC
•四边形ABCD是平行四边形,
•-AiB/DC,「.FE//DC,
•EF与CD可确定一个平面,
即ECD、F四点共面.
1
(2)由
(1)知EF/CD,且EF=?
CD,
•四边形CDFE是梯形,
•直线CE与DF必相交,设交点为P,
则P€CE?
平面ABCD且P€DF?
平面AiADD,
•P€平面ABCD!
P€平面AiADD
又平面ABCD平面AAD—AD,
•••P€AD二CEDF、DA三线共点.
[B级知能提升](时间:
20分钟)
11.[xx•大连模拟]已知a,b,c为三条不同的直线,且a?
平面a,b?
平面卩,aQ卩=c.
1若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;
2若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;
3若a//b,则必有a//c;
4若a丄b,a丄c,则必有a丄卩.
其中正确的命题的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
C
解析
①中若a与b是异面直线,
则c至少与a,b中的一条相交,故①正确;
②中平面
a丄平面
3时,若b丄c,贝Ub丄平面
a,此时不论a,c是否垂直,均有a丄b,
故②错误;
3中当a/b时,则a//平面3,由线面平行的性质定理可得a/c,故③正确;④中若b/c,
则a丄b,a丄c时,a与平面3不一定垂直,此时平面a与平面3也不一定垂直,故④错误,所以正确命题的个数是2.
A.5
B.5
3
C.5
4
答案D
解析
连接BG,易证BG//AD,则/ABG即为异面直线AiB与AD所成的角.连接AC,由AB
=1,AA=2,贝UAG^/2,AiB=BG=^/5,故cos/ABG=5+;_2=£.则异面直线AiB
772Xyj5“55
4
与AD所成角的余弦值为5.
GHMN
13.如下图,GH、MN分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线是异面直线的图形有.
答案②④
解析①中HG/MN③中GMHN且GMhHN所以直线HG与MN必相交.
14.如图所示,三棱锥P—ABG中,PA!
平面ABG/BAG=60°,PA=AB=AG=2,E是PC的中点.
求证:
AE与PB是异面直线;
求异面直线AE和PB所成角的余弦值;求三棱锥A-EBC的体积.
(1)证明:
假设AE与PB共面,设平面为a,
TA€a,B€a,E€a,••平面a即为平面ABE
•P€平面ABE这与P?
平面ABE矛盾,
C
•••AE与PB是异面直线.
(2)取BC的中点F,连接EFAF,
PB所成角.
则EF//PB所以/AEF或其补角就是异面直线
AE和
•••/BAC=60°,PA=AB=AC=2,
•AF=.3,AE=2,EF=.2,
2+2-31
cos/AEF=.-一■=:
2xp2Xp24
PAL平面ABC
•••异面直线AE和PB所成角的余弦值为4.
1
⑶因为E是PC的中点,所以E到平面ABC的距离为2PA=1,
2X3
1
VA-EBC=VE_ABC=_X
3
2019-2020年高考数学一轮总复习第7章立体几何7.4直线平面平行的判
定及性质模拟演练文
1.[xx•北京咼考]设a,卩是两个不同的平面,m是直线且m?
a,“m//卩”是"a
//卩”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案B
?
解析当m//卩时,过m的平面a与卩可能平行也可能相交,因而m//卩?
a//卩;当a/3时,a内任一直线与卩平行,因为R?
a,所以n/卩.综上知,“m//卩”是"a//3”的必要而不充分条件.
2.[xx•福建联考]设I,mn表示不同的直线,a,3,丫表示不同的平面,给出下列四个命题:
1若m//l,且mla,贝yl±a;
2若m//l,且m//a,贝yl//a;
3若an3=l,3门丫=myQa=n,贝yl//m//n;
4若an3=m3门丫=I,yna=n,且门〃3,贝卩l//m
其中正确命题的个数是()
A.1B.2
C.3D.4
答案B
解析对①,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故①正确;对②,直线l可能在平面a内,故②错误;对③,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故③错误;对④,结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上,①④正确,故选B.
3.[xx•南开模拟]下列命题正确的是()
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
答案C
解析若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面内不共线且在另一个平面同侧的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面,两平面可以平行,也可以相交,故D错;故选项C正确.
4.若平面a//平面卩,直线a//平面a,点,则在平面卩内且过B点的所有
直线中()
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一与a平行的直线
答案A
解析当直线a在平面卩内且过B点时,不存在与a平行的直线,故选A.
5.在正方体ABCDABCD中,棱长为a,MN分别为AB和AC上的点,若AMAN=皐
则MN与平面BBCC的位置关系是()
A.相交B.平行
C.垂直D.不能确定
答案
解析连接CD,在CD上取点P,使DP=§,
•••MP//BCPN//AD.
•/AD//BC,「.PN//BC.
•MP//面BBCC,PN//面BBCQ
•••面MN/面BBCC,•MIN/面BBCC.
6.设a,3,y为三个不同的平面,mn是两条不同的直线,在命题"aQ卩=m
n?
丫,且,则m//n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
可以填入的条件有()
①a//Y,n?
卩;②m//Y,n//卩;③n//卩,n?
y.
A.①②B.②③
C.①③D.①②③
答案C
解析由面面平行的性质定理可知①正确;当n//卩,n?
丫时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.
7.[xx•云南统考]设a,b为不重合的两条直线,a,卩为不重合的两个平面,给出下
列命题:
1若a?
a,b?
a,a,b是异面直线,那么b/a;
2若a//a且b//a,贝Ua//b;
3若a?
a,b/a,a,b共面,那么a//b;
4若a/3,a?
a,则a/3.
上面命题中,所有真命题的序号是.
答案③④
解析①中的直线b与平面a也可能相交,故不正确;②中的直线a,b可能平行、相
交或异面,故不正确;由线面平行的性质得③正确;由面面平行的性质可得④正确.
&如图所示,在四面体ABCD中,MN分别是△ACD△BCD勺重心,则四面体的四个面中与MN平行的是.
答案平面ABC平面ABD
解析
连接AM并延长,交CD于E,连接BN并延长交CD于F,由重心性质可知E,F重合为
EMEN1
一点,且该点为CD的中点E,连接MN由ma=NB=2,得MMAB因此,MIN/平面ABC且MN
//平面ABD
如图,在多面体ABCDE中,DEL平面ABCDAD//BC平面BCEfR平面ADEF=EF,/BAD
=60°,AB=2,DE=EF=1.
⑴求证:
BC/EF;
(2)求三棱锥B-DEF勺体积.
解⑴证明:
TAD/BCAt?
平面ADEFBQ平面ADEFBC//平面ADEF
又BC?
平面BCEF平面BCEF平面ADEF=EF,
•••BC//EF
E
⑵过点B作BHLAD于点H
•/DEI平面ABCD
BF?
平面ABCD
•••DE!
BH
•/AD平面ADEF
DE?
平面ADEF
ADADE=D
•BH丄平面ADEF
•BH是三棱锥B-DEF的高.
在Rt△ABH中,ZBAD=60°,AB=2,故BH=:
'3.
•••DEI平面ABCDAD?
平面ABCD
•DEIAD
由⑴知BC/EF,且AD//BC
•AD//EF,•DELEF
•三棱锥B-DEF的体积
111
V=3x&defXbh=3x2x1X1X
D是BC的中点.
10.如图,在底面是正三角形的直三棱柱ABC-ABG中,AA=AB=2,
(1)求证:
AC//平面ABD;
⑵求点A到平面ABD的距离.
解⑴证明:
连接AB,交AB于点O连接OD
•/ABC-A1B1C是直三棱柱,
•••四边形ABBA1是平行四边形,二0是AB的中点.
BDC
又D是BC的中点,
•OD//AC,
•/0D?
平面ABD,AC?
平面ABD,
•AQ//平面ABD.
(2)由
(1)知0是AB的中点,
•••点A到平面ABD的距离等于点
•/ABC-A1B1C1是直三棱柱,
•BB丄平面ABC
•平面BCCi丄平面ABC
B到平面ABD的距离.
•••△ABC是正三角形,D是BC的中点,
•AD丄BC•ADL平面BCCBi,...ADLBD.
设点B到平面ABD的距离为d,
•••VB—ABD=VB-ABD,
•SaABD•BB=SAABD•d,
Saabd-BB
SAABD
AD・BD・BB=BD・BB
AD-BDBD
2*5
•点A到平面ABD的距离为
[B级知能提升](时间:
20分钟)
11.[xx•兰州调研]设a,卩是两个不同的平面,
mn是平面a内的两条不同的直线,
11,12是平面卩内的两条相交直线,则a//卩的一个充分而不必要条件是()
A.m//卩且l1//a
B.I1//a且l2//a
C.m//B且n//卩D.m//11且n//12
答案D
?
解析m//11,且n//12?
a/卩,但a/卩/m/Ii且n//12,二"m/11,且n//12”是“a//卩”的一个充分不必要条件.
12.[xx•安徽高考]已知mn是两条不同直线,a,卩是两个不同平面,则下列命题正确的是()
A.若a,卩垂直于同一平面,则a与卩平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若a,卩不平行,则在a内不存在与卩平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
答案D
解析A中,垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行,故A错误;B中,平行
于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,故B错误;C中,若两个平面相交,则一
个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行,故C错误;D中,若两条直线垂直于同
一个平面,则这两条直线平行,所以若两条直线不平行,则它们不可能垂直于同一个平面,故D正确.
13.正方体ABCD-ABCD的棱长为1cm,过AC作平行于对角线BD的截面,则截面面积为cm2.
答案X
AC/BD,平面BDEP平面ACE=EF,其中F为AC与BD的交点,
解析如图所示,截面
•••E为DD的中点,
二ace=—X2X
2¥2
n
14.如图,四棱锥P—ABC[中,PDL底面ABCDAB//CD,/BAD=—,AB=1,CD=3,M
3
为PC上一点,且MC=2PM
⑴证明:
BM/平面PAD
(2)若AD=2,PD=3,求点D到平面PBC勺距离.
1li
解
⑴证明:
如上图,过点M作ME/CD交PD于点E,连接AE
因为AB//CD故AB//EM
又因为MC=2PMCD=3,且厶PEIVb^PDC
—EMPM1
故DM=pct3解得EMk1-
由已知AB=1,得EM綊AB故四边形ABM为平行四边形,因此BM/AE
又AE?
平面PADBM平面PAD
所以BM/平面PAD
n
⑵连接BD由已知AD=2,AB=1,/BAD=§,
可得DB=AD+Ab—2AD-AB-cos/BAD=3,
即DB=3.
因为DB+AB=AD,故△ABD为直角三角形,
n
且/ABD^—.
2
因为AB//CD故/BD(=z
n
【ABD=g.
又DG=3,故BC=”...jDC+DB=23.
由PDL底面ABCD得PDLDBPDLDC
故PB=PD+DB=23,PC=PD+DC=32,
则BC=PB故厶PBC为等腰三角形,
其面积为&pb=2•pc・bC—qPC$=2x3212—"2=迅卩^.
设点D到平面PBC勺距离为h,则三棱锥D-PBC勺体积为V三棱锥d—pbc=3•&PBC・h=「^
32
h.
而直角三角形BDC勺面积为
三棱锥P-BDC勺体积为
113\[33\[3
V三棱锥P—BDC=3•SaBCD-PD=§x—x3=—^.
因为V三棱锥D-PBC=V三棱锥P—BDC
即护=攀故h=3/
所以点D到平面PBC勺距离为
3;5
5
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