陕西省宝鸡市届高三下学期二模理科数学试题.docx
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陕西省宝鸡市届高三下学期二模理科数学试题.docx
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陕西省宝鸡市届高三下学期二模理科数学试题
陕西省宝鸡市2022届高三下学期二模理科数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.若复数z满足
,其中i为虚数单位,
为z的共轭复数,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.已知全集为U,集合A,B为U的子集,若
,则A∩B=( )
A.
B.
C.BD.A
3.“
”是“方程
表示焦点在x轴上椭圆”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4.平面内有
个点
等分圆周,从
个点中任取3个,可构成直角三角形的概率为
,连接这
个点可构成正多边形,则此正多边形的边数为( )
A.6B.8C.12D.16
5.在等差数列
中,
,
.记
,则数列
( ).
A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项
6.设
、
是两条不同的直线,
、
是两个不重合的平面,给出下列四个命题:
①若
,
,则
;
②若
,
,则
;
③若
,
,
,则
;
④若
,
,
,
,
,则
.
其中真命题的个数是
A.1B.2C.3D.4
7.已知随机变量X,Y满足
,Y的期望
,X的分布列为:
X
0
1
P
a
b
则a,b的值分别为( )A.
B.
C.
D.
8.已知直线
与曲线
的两个不同的交点,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知
,
,
,则
的最小值是
A.4B.3C.2D.1
10.在
中,
则
是( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
11.椭圆
中以点
为中点的弦所在直线方程为( )
A.
B.
C.
D.
12.已知函数
与
的图像上存在关于
轴的对称点,则实数
的取值范围为
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.已知平面向量
、
满足
,
,若
,则
与
夹角的余弦值为__.
14.已知数列
中,
,
,前n项和为
.若
,则数列
的前15项和为______.
15.对于
,
,关于下列结论正确的序号有__________.
(1)
,
(2)
,(3)
,(4)
16.已知双曲线C:
的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若
,
,则C的离心率为____________.
三、解答题
17.函数
图像过点
,且相邻对称轴间的距离为
.
(1)求
的值;
(2)已知
的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若
,且
,求
面积的最大值.
18.近年来,随着物质生活水平的提高以及中国社会人口老龄化加速,家政服务市场规模逐年增长,下表为2017~2021中国家政服务市场规模及2022年家政服务规模预测数据(单位:
百亿元).
年份
2017
2018
2019
2020
2121
2022
市场规模
35
44
58
70
88
100
(1)若2017~2021年对应的代码依次为1~5,根据2017~2021年的数据,求用户规模y关于年度代码x的线性回归方程
;
(2)把2022年的年份代码6代入
(1)中求得的回归方程,若求出的用户规模与预测的用户规模误差不超过
,则认为预测数据符合模型,试问预测数据是否符合回归模型?
参考数据:
,
,参考公式:
,
.
19.如图所示,平面
平面
,底面
是边长为8的正方形,
,点E,F别是
的中点
(1)证明:
平面
;
(2)若
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
20.已知曲线C上任一点到点
的距离比它到直线
的距离小2.经过点
的直线l与曲线C交于A,B两点.
(1)求曲线C的方程;
(2)若曲线C在点A,B处的切线交于点P,求
面积的最小值.
21.已知函数
,
是其导函数,其中
.
(1)若
在
上单调递减,求a的取值范围;
(2)若不等式
对
恒成立,求a的取值范围.
22.在直角坐标系
中,曲线C的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的方程为
.
(1)求曲线C的普通方程;
(2)若曲线C与直线l交于A,B两点,且
,求直线l的斜率.
23.已知函数
.
(1)当
时,求函数
的定义域;
(2)若不等式
对于
恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
1.B
【解析】
【分析】
设
,则
,利用复数相等的条件列方程组即可求解.
【详解】
设
,则
.
所以
,
所以
,解得:
,所以
.
故选:
B
2.C
【解析】
【分析】
由条件
可得
,从而可得答案.
【详解】
解:
因为
,所以
,
所以
故选:
C.
3.C
【解析】
【分析】
先根据方程
表示焦点在x轴上的椭圆求出
的取值范围,再根据充分必要条件的定义即可求解.
【详解】
解:
∵方程
表示焦点在x轴上的椭圆,
,
解得:
,
“
”是“方程
表示焦点在x轴上椭圆”的必要不充分条件.
故选:
C.
4.C
【解析】
【分析】
先求出从
个点中任取3个点的种数,再根据三个点要构成直角三角形,则有两个点为直径的端点,求得可构成直角三角形的种数,利用古典概型求得
,进而确定正多边形的边数.
【详解】
解:
从
个点中任取3个点,共有
种,
三个点要构成直角三角形,则有两个点为直径的端点,共有
条直径,
还剩
个点,从
个点中取一个点即可,
则可构成直角三角形有
,
所以可构成直角三角形的概率为
,
解得
,
所以共有
个等分点,
所以正多边形的边数为12.
故选:
C.
5.B
【解析】
【分析】
首先求得数列的通项公式,然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】
由题意可知,等差数列的公差
,
则其通项公式为:
,
注意到
,
且由
可知
,
由
可知数列
不存在最小项,
由于
,
故数列
中的正项只有有限项:
,
.
故数列
中存在最大项,且最大项为
.
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式,等差数列中项的符号问题,分类讨论的数学思想等知识,属于中等题.
6.C
【解析】
【详解】
对于命题①,直线
可以相交和异面成
角,故是正确的;对于命题②,直线
也有可能,故是错误的;对于命题③,由面面垂直的定义可知
,故是正确的;对于命题④,面面垂直的定义可知
,故是正确的,应选答案C.
7.C
【解析】
【分析】
根据期望的性质可求得
,再根据期望公式及概率之和为1,列出方程组,解之即可得解.
【详解】
解:
因为
,
所以
,
则有
,
解得
.
故选:
C.
8.D
【解析】
【分析】
根据直线与圆的位置关系即可得到结论,利用特殊位置进行研究即可
【详解】
由曲线
是以(0,0)为圆心,
为半径位于x轴上方的半圆,
当直线
过点A(-
,0)时,直线l与曲线有两个不同的交点,即a=
;
当直线与曲线相切时,直线与圆有一个交点,圆心到直线的距离等于半径,解得a=2或-2(舍),由于直线与曲线有且仅有两个交点,故:
,
故选:
D
【点睛】
考查直线与半圆的交点个数,求参数取值范围
9.A
【解析】
【详解】
试题分析:
由
,可得
,所以
,则
,因为
,
,则
,当且仅当
即
时,取得等号,所以
,即
的最小值是
,故选A.
考点:
1、对数运算性质;2、基本不等式.
10.C
【解析】
由二倍角公式可得,
,再根据诱导公式可得
,然后利用两角和与差的余弦公式,即可将
化简成
,所以
,即可求得答案.
【详解】
因为
,
,
所以,
,即
,
.
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查利用二倍角公式,两角和与差的余弦公式进行三角恒等变换,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.
11.A
【解析】
【分析】
利用点差法求出斜率,即可求出直线方程.
【详解】
设点
为中点的弦的端点
,
则有:
,两式相减得:
,
因为
为中点,所以
,
所以斜率
,
所以所求直线方程为:
,即
.
故选:
A
12.B
【解析】
【分析】
由题中对称知f(x)=﹣g(x)有解,即
在(0,+∞)有解,令
,求函数导数,分析单调性可得值域,进而可得解.
【详解】
函数f(x)=lnx﹣x3与g(x)=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点,
∴f(x)=﹣g(x)有解,
∴lnx﹣x3=﹣x3+ax,
∴lnx=ax,即
在(0,+∞)有解,
令
,则
.
当
单调递增;
单调递减.
,且
,
所以
.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究方程的根,涉及函数对称的处理,考查了计算能力,属于中档题.
13.
【解析】
【分析】
可求出
,从而根据
得出
,然后进行数量积的运算即可.
【详解】
由已知可得:
,
;
;
,
;
,
.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件,向量数量积的运算及计算公式,根据向量的坐标可求向量的长度,属于中档题.
14.
【解析】
【分析】
首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求出数列的和.
【详解】
解:
数列
中,
,
,前
项和为
.若
,则
,
整理得
,所以数列
是以1为首项,1位公差的等差数列,
则
,所以
.
所以
.
所以
.
故答案为:
.
15.
(1)
(2)(3)
【解析】
【分析】
根据排列数和组合数性质判断.
【详解】
由组合数性质知
(1)
(2)正确;
又
,所以
,(3)正确;
,(4)错误.
故答案为:
(1)
(2)(3).
16.2.
【解析】
【分析】
通过向量关系得到
和
,得到
,结合双曲线的渐近线可得
从而由
可求离心率.
【详解】
如图,
由
得
又
得OA是三角形
的中位线,即
由
,得
则
有
,
又OA与OB都是渐近线,得
又
,得
.又渐近线OB的斜率为
,所以该双曲线的离心率为
.
【点睛】
本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取几何法,利用数形结合思想解题.
17.
(1)
,
;
(2)
【解析】
【分析】
(1)由题干条件得到最小正周期,进而求出
,待定系数法求出
;
(2)先由
求出
,利用余弦定理,基本不等式求出
,进而求出面积的最大值.
(1)
由题意得:
的最小正周期
,由于
,故
,解得:
,又
,所以
,即
,又
,所以
,解得:
,
,故
,此时
,综上:
,
;
(2)
,所以
,因为
,所以
,则
,解得:
,又
,所以由余弦定理得:
,则
,由基本不等式得:
,即
,解得:
,当且仅当
时等号成立,故
面积最大值为
.
18.
(1)
(2)认为预测数据符合回归模型
【解析】
【分析】
(1)根据题中数据以及公式代入即可求解;
(2)将
代入,再根据表中数据计算误差即可.
(1)
解:
根据题意得:
,
,
,
故
,
,
故
.
(2)
解:
当
时,
,
∵
,
故认为预测数据符合回归模型.
19.
(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)取
的中点
,连接
,证明四边形
为平行四边形,可得
,再根据线面平行的判定定理即可得证;
(2)以点
为原点,建立空间直角坐标系,作
于点
,求出
,利用向量法即可得出答案.
(1)
证明:
取
的中点
,连接
,
因为
为
的中点,所以
且
,
又在正方形
中,
为
的中点,
所以
且
,
所以
且
,
所以四边形
为平行四边形,
所以
,
又
平面
,
平面
,
所以
平面
;
(2)
解:
如图以点
为原点,建立空间直角坐标系,
作
于点
,
在
中,因为
,
所以
,
所以
,
,
则
,
则
,
设平面
的法向量为
,
则有
,可取
,
则
,
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
20.
(1)
(2)36
【解析】
【分析】
(1)已知条件变形可得曲线
是抛物线,由此可昨其方程;
(2)设
,
,求出切线
的方程,联立求得
点坐标,
斜率存在时,设直线
的方程是
,显然
,与抛物线方程联立,消元后应用韦达定理得
,由焦点弦长公式得
,与点到直线距离公式得
到直线
的距离,从而可得
面积(用
表示)后得其取值范围,再求出直线
斜率不存在时
面积,即可得最小值.
(1)
因为曲线C上任一点到点
的距离比它到直线
的距离小2.
所以曲线C上任一点到点
的距离与它到直线
的距离相等.
是抛物线,
且
,
,所以
的方程是
;
(2)
设
,
,
设过
点的切线方程是
,
由
得
,
,又
,所以
,
,
切线方程为
,
,
,
即
,同理过
点的切线方程是
,
由
得
,即
,
斜率存在时,设直线
的方程是
,显然
,
由
得
,所以
,
,
,
,
点到直线
的距离为
,
,
当
斜率不存在时,易得
(不妨设
在第一象限),
方程是
,即
,
方程是
,即
,
由
,得
,即
,此时
到
的距离为6,
,
,
综上,
的最小值是36.
21.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)求出导函数
,根据
在
上单调递减,可得
在
上恒成立,分类参数可得
在
上恒成立,令
,利用导数求出函数
的最大值即可得解;
(2)将已知不等式转化为
对
恒成立,令
,在对
分类讨论,求出
的最大值小于等于0,即可求出答案.
(1)
解:
,
因为
在
上单调递减,
所以
在
上恒成立,
即
在
上恒成立,
令
,
则
,
当
时,
,当
时,
,
所以函数
在
上递增,在
上递减,
所以
,
所以a的取值范围为
;
(2)
解:
由
得
,
即
对
恒成立,
令
,
,
当
时,
,不满足
;
当
时,
时,
,
时,
,
所以函数
在
上递减,在
上递增,
所以
,不符合题意;
当
时,
时,
,
时,
,
所以函数
在
上递增,在
上递减,
所以
,解得
,
综上所述,a的取值范围
.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值,考查了不等式恒成立问题,考查了转化思想和分类讨论思想,考查了学生的计算能力.
22.
(1)
;
(2)
【解析】
【分析】
(1)消元,得到普通方程;
(2)先求出直线l的参数方程,再联立曲线方程,利用韦达定理及直线参数方程中
的几何意义求解.
(1)
由
得:
,由
得:
,则曲线C的普通方程为
.
(2)
由
可得,直线l的参数方程为
,将其代入
中得:
,由韦达定理得:
,
,由
可得:
,所以
,则
,
,直线l的斜率为
.
23.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)将
代入,再根据对数函数的定义即可求解.
(2)根据对数函数的图象以及
得出
,解不等式即可.
(1)
解:
当
时,
,
即
,
即等价于
或
或
,
解得:
或
或
,
故函数
的定义域为
;
(2)
解:
由
对于
恒成立得:
,
即
,
又∵
,
即
,
解得:
或
,
故实数m的取值范围为:
.
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