最新九年级数学上册 第二十二章一元二次方程讲义教案 人教新课标版.docx

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最新九年级数学上册第二十二章一元二次方程讲义教案人教新课标版

九年级数学第23章一元二次方程复习讲义

一、一元二次方程的定义

方程中只含有一个未知数，•并且未知数的最高次数是2，•这样的整式的方程叫

做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：

ax2

+bx+c=0（a≠0）其中二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c．

例1

2

的二次项系数，一次项系数及常数项的积．

例2．若关于x的方程（m+3）xm27

+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，

•并计算这个方程的各项系数之和．

例3．若关于x的方程（k2

-4）x2

是一元二次方程，求k的取值范围．

例4．若α是方程x2

-5x+1=0的一个根，求α2

+1

2

的值．

1．关于x的一元二次方程x25xp2

2p50的一个根为1，则实数p的值是

（）A．4

B．0或2

C．1

D．1

2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x2）（x4）0的根，则这个三角形的周长是（）

Ａ．11Ｂ．11或13Ｃ．13Ｄ．11和133．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．（部分参考数据：

3221024，5222704，4822304）

二、一元二次方程的一般解法基本方法有：

（1）配方法；

（2）公式法；（3）因式分解法。

联系：

①降次，即它的解题的基本思想是：

将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．

③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：

①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．

例1、用三种方法解下列一元二次方程

1、x2

+8x+12=02、3x2

-1-

用适当的方法解一元二次方程

1、x2

-2x-2=02、2x2

3、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2

+6x+9

5、（x-1）2-2（x2

-1）=0

注意：

选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法

三、判定一元二次方程的根的情况？

一元二次方程ax2

+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2

-4ac，

1．△=b2

-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；

2．△=b2

-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；

3．△=b2

-4ac<0一元二次方程没有实根．

例1、不解方程判断下列方程根的情况

1、x2

-（

、x2

-2kx+（2k-1）=0

例2、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2

＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为

例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2

）=0的两根相等，•则△ABC为

例5、已知关于x的一元二次方程ax2

+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求

ab2

（a2）2b24

的值

例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2

，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2

吗?

若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

四、一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程ax2

+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1x2x1+x2=-

bacx1x2=a

例1.方程的x2

-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2,则（x1-1）（x2-1）=

例2．设x2

1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根，

（1）试推导x1+xb2=-a，xc1²x2=a

；

（2）•求代数式a（x3

3

）+b（x2

2

1+x21+x2）+c（x1+x2）的值．

-2-

五、一元二次方程与实际问题的应用步骤:

①审②设③列④解⑤答应用题常见的几种类型：

1.增长率问题[增长率公式：

a（1x）2＝b]

例1：

某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?

例2：

某种产品的成本在两年万元。

2、某商品连续两次降价10%后的价格为a元，该商品的原价应为3、某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?

2.面积问题[提示：

面积问题一定要画图分析]例：

一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为

4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小盒子。

已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽。

1、要给一幅长30cm，宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm，•则依据题意列出的方程是_________．

2、要建成一面积为130㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16m），并在与墙平行的一边开一个宽1m的门，现有能围成32m的木板。

求仓库的长与宽各是多少？

3.定价问题［提示：

单位利润³销量＝总利润］

例1：

某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400

元。

为了扩大销售,增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。

经调查发现，如果每台电视机每降价10元，平均每天可多售出5台。

专卖店降价第一天，获利30000?

120件，每件盈利40元.为了迎接“十²一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：

如果每件童装降价4元，那平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？

-3-

2、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？

每件商品应定价？

4.球赛问题（注：

单循环必须除2）

例：

某校初二年级组织象棋比赛，每两个参赛选手之间都必须赛一场，全年级共进

行了28场比赛，问这次参赛的选手有几位？

1、新年到了，初三

（2）班同学每人都互发贺卡祝福对方，共发了132张贺卡，问全班多少人？

2、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？

5.倍增问题

例1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个

人传染了几人？

例2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分干总数是91，每个支干长出多少小分支？

6.数位问题[123=1³100+2³10+3³1;十位数字是a，个数字是b，则这个两位数可表示为：

10a+b]

例：

有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上

的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

1、一个两位数，它的数字和为9，如果十位数字是a，那么这个两位数可表示为，若这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，这个新数可表示为。

2、一个两位数，十位数字比个位数字小2，如果把这个数的十位数字和个位数字对调，那么得到的新两位数与原来两位数的积为1855，若设十位为数字为X，则可列方程为：

3、一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位是。

-4-

，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、

点Q以2cm/s的速度向点D移动．当

问几秒后，点P和点Q的距离是10cm？

Q

C

-5-

7.中考题选讲

1、如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cmC同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动。

2、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3

的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

3、云南省2006年至2007年茶叶种植面积．．．．．．与产茶面积．．．．情况如表所示，表格中的x、y分别为2006年和2007年全省茶叶种植面积：

（1）请求出表格中x、y的值；

（2）在2006年全省种植的产茶面积中，若平均每亩产茶52千克，为使我省2008年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨，求2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率（精确到0.01）．（说明：

茶叶种植面积产茶面积未产茶面积）

4、2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行

驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．

（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．

-6-

（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？

（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与

（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：

一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？

第22章一元二次方程复习题

一、选择题

1．下面关于x的方程中①ax2

+bx+c=0；②3（x-9）2

-（x+1）2

=1；③x+3=

1x

；-7-

④（a2

+a+1）x2

-a=0

．一元二次方程的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

2．要使方程（a-3）x2

+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（）A．a≠0B．a≠3

C．a≠1且b≠-1D．a≠3且b≠-1且c≠03．若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（）A．2B．3C．-2或3D．2或-3

4．若关于x的一元二次方程3x2

+k=0有实数根，则（）A．k>0B．k<0C．k≥0D．k≤0

5．下面对于二次三项式-x2

+4x-5的值的判断正确的是（）

A．恒大于0B．恒小于0C．不小于0D．可能为0

6．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：

（1）若x2=a2

，则x=a；

（2）方程2x（x-1）=x-1的根是x=0；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为5．•其中答案完全正确的题目个数为（）A．0B．1C．2D．3

7．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，•而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（）A．500元B．400元C．300元D．200元

8．利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，•则第二季度共生产零件（）

A．100万个B．160万个C．180万个D．182万个二、填空题

9．若ax2

+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是________．

10．已知关于x的方程x2+3x+k2

=0的一个根是-1，则k=_______．11．若

x2

-4x+8=________．

12．若（m+1）x

m（m2）1

+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．

13．若a+b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2

+bx+c=0必有一个定根，它是_______．

14．若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．

15．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．三、计算题（每题9分，共18分）16．按要求解方程：

（1）4x2

-3x-1=0（用配方法）；

（2）5x2

（精确到0．1）

17．用适当的方法解方程：

（1）（2x-1）2

-7=3（x+1）；

（2）（2x+1）（x-4）=5；

（3）（x2-3）2-3（3-x2

）+2=0．

18．若方程x2

=0的两根是a和b（a>b），方程x-4=0的正根是c，

试判断以a、b、c为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．

19．已知关于x的方程（a+c）x2

+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，•其中a，b，c是△ABC的三边长．

（1）求方程的根；

（2）试判断△ABC的形状．

20．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市

-8-

场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？

21．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11•公里，应收29.10元”．出租车司机说：

“请付29.10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N<12

【中考真题】

22.（2008广州）方程x（x2）0的根是（）

Ax2Bx0Cx10,x22Dx10,x22

23.（2008襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81

％，则平均每次降价（）A．10％

B．19％

C．9.5％

D．20％

24.（2008威海）关于x的一元二次方程x2mxm20的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

25．（2008四川省资阳）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2

+2cx

+（a+b）＝0的根的情况是（）

A．没有实数根

B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根

D．有两个不相等的实数根

26．（200年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于x的一元二次方程x2

mx2m0的一个根为1，则方程的另一根为.

27.（2008江苏省淮安市）小华在解一元二次方程x2

-4x=0时．只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____．

28．（2008东莞市）在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上

截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

29．（2008年湘潭

）阅读材料：

如果x1，x2是一元二次方程ax2

bx0c的两根，那么有

xbc

1x2a,xx1a

.

-9-

这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:

2

设x1,x2是方程x26x30的两根，求x12x2的值.

解法可以这样：

x1x26,x1x23,则

2x12x2（x1x2）22x1x2（6）22（3）42.请你根据以上解法解答下题：

已知x1,x2是方程x24x20的两根，求：

（1）1x1

的值；

（2）（x1x2）2的值.1x2

顶尖教育一元二次方程单元测试卷（考试时间：

120分，满分：

150分）

姓名成绩评定

一、选一选（每小题3分，共36分）

1．方程x2

+4x=2的正根为（）

A．2-6B．2+6C．-2-6D．-2+

-10-

2．已知关于x的一元二次方程的两个根是1和-2，则这个方程是（）A.x2x20B.x2x20C.x22x10D.x22x103.某商品两次价格上调后，单价价格从4.05元变为5元,则平均每次调价的百分率约为（）

A．9%B．10%C．11%D．12%

4.若使分式x22x3

x21

的值为零，则x的取值为（）

A．1或-1B.-3或1C.-3D.-3或1

5．将方程3（2x2

－1）=（

x

+3x+5化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为。

（）

A．5，3，5B．5，－3，－5C．7

2D．8，6，1

6．某商店卖出A、B两种价格不同的商品，商品A连续两次提价20%，同时商品B•连续两次降价20%，结果都以a元出售，则两种商品的原价分别是（）A.（1+20%）2

；a（1－20%）2

B．

a（120%）2;a

（120%）2

；

C.a（120%）2;

a

（120%）2

D.a（120%）2;a（1－20%）

2

7．已知一个三角形的两边长是方程x2

8x15的根，则第三边长y的取值范围是（）

A．y<8B.2<y<8C.3<y<8D.无法确定

8．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，•那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这两位数是（）

A．16B．25C．52D．619．若n是x2

mxn0的根（n0），则m+n等于（）A．

12

B.-1C.1

2D.1

10．直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为（）A

B.5C．7

11．如果关于x的一元二次方程ax2

+2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的最大整数值（）

（A）1.（B）2.（C）0.（D）－1

12．已知一直角三角形的三边长为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2

－1）

•－2x+b（x2

+1）=0的根的情况为（）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二、填一填（每小题3分，共30分）

13．方程（x-2）（x-3）=6的解为____________．14．若

x2

-4x+4=________．

15.若关于x的方程x2

mx60有一根是2，则另一根为___________16．已知一元二次方程有一个根为2，那么这个方程可以是____________（只需写一个）

17．某种型号的微机，原售价为7200元/台，经过连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次的百分率为____________________.

18.要给一副长30cm,宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占的面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm,则根据题意，列出方程是

___________________________

19.代数式x2

2x3的最小值是____________20．已知x2

xy6y2

0,则

x

y

的值是____________；21．已知关于x的二次方程（12k）x22kx10有实数根，则k的取值范围

-11-

______________

22．若x2y21x2y235，则x2y2=_____________

三、解答题（仔细是我们要培养的良好习惯）

23．（5分）x2x1200（用配方法）24.（52

1

x2227

3

25．（5分）5x2x6026.

（5分）x2

8x480

27.（5分）x124x2228.（5分）2x12412x0

29．（10分）已知关于x的方程（m+1）xm21

+（m－2）x－1=0，问：

（1）m取何值

时，它是一元二次方程？

并求方程的解；

30.（10分）如图，在长为32m，宽为20m的矩形地面上修建同样宽度的道路（图

中阴影部分），余下的部分种植草坪，要使草坪的面积为540m2

求道路的宽？

31．（10分）某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不

变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。

-12-

32．（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，•如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；

（1）若商场平均每天要赢利1200元，•每件衬衫应降价多少元？

温馨提示：

恭喜你完成了这份试卷，请仔细再检查一遍，考试高分的技巧在于把会

做的题目做对。

、一、

1．B点拨：

方程①与a的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，•是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为（a+

12

）2

+

3

4

．不论a取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程．也可排除，•故一元二次方程仅有2个．2．B点拨：

由a-3≠0，得a≠3．

-13-

3．C点拨：

用换元法求值，可设x+y=a，原式可化为a（1-a）+6=0，解得a1=3，15．30或-30点拨：

设其中的一个偶数为x，则x（x+2）=224．解得x1=14，x2=-16，

a2=-2．

4．D点拨：

把原方程移项，变形为：

x2

=-kk3．由于实数的平方均为非负数，故-3

≥0，•则k≤0．

5．B点拨：

-x2+4x-5=-（x2-4x+5）=-（x2-4x+4+1）=-（x-2）2

=-1．

由于不论x取何值，-（x-2）2≤0，所以-x2

+4x-5<0．

6．A点拨：

第

（1）题的正确答案应是x=±a；第

（2）题的正确答案应是x1

1=1，x2=2

．第（3）题的正确答案是5

7．C点拨：

设商品的原价是x元．则0.75x+25=0.9x-20．解之得x=300．8．D点拨：

五月份生产零件：

50（1+20%）=60（万个）

六月份生产零件50（1+20%）2

=72（万个）

所以第二季度共生产零件50+60+72=182（万个），故选D．二、

9．a>-2且a≠0点拨