1 第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图.docx
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1第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图
第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面互相平行,其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行
棱锥
有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做棱台
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
矩形一边所在的直线
或对边中点连线所在直线
圆锥
直角三角形或
等腰三角形
一直角边所在的直线或等腰
三角形底边上的高所在直线
圆台
直角梯形或
等腰梯形
直角腰所在的直线或
等腰梯形上下底中点
连线所在直线
球
半圆或圆
直径所在的直线
2.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
(2)三视图的画法
①基本要求:
长对正,高平齐,宽相等.
②画法规则:
正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽;看不到的线画虚线.
3.直观图
(1)画法:
常用斜二测画法.
(2)规则:
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴,y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直;
②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
导师提醒
1.记准一组关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:
S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.
2.记住旋转体的一些常见结论
(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.
3.会作正方体的截面
正方体的截面情况:
三角形、四边形(有菱形、矩形、梯形等)、五边形、六边形.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )
(3)夹在两个平行的平面之间,其余的面都是梯形,这样的几何体一定是棱台.( )
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.( )
(5)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.( )
(6)菱形的直观图仍是菱形.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
如图,长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分,其中EH∥A′D′,则剩下的几何体是( )
A.棱台 B.四棱柱
C.五棱柱D.简单组合体
答案:
C
某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )
A.圆柱B.圆锥
C.四面体D.三棱柱
解析:
选A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形,而圆柱的正视图不可能为三角形,故选A.
(教材习题改编)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )
解析:
选B.该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等,因此选B.
若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )
解析:
选B.根据选项A,B,C,D中的直观图,画出其三视图,只有B项正确.
在直观图(如图所示)中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm,则在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCO为________,面积为________cm2.
解析:
由斜二测画法的特点,知该平面图形的直观图的原图,即在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCO是一个长为4cm,宽为2cm的矩形,所以四边形ABCO的面积为8cm2.
答案:
矩形 8
空间几何体的几何特征(自主练透)
1.下列说法正确的是( )
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析:
选D.由图知,A不正确.两个平行平面与底面不平行时,截得的几何体不是旋转体,则B不正确.侧棱长与底面多边形的边长相等的棱锥一定不是六棱锥,故C错误.由定义知,D正确.
2.给出下列几个命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;
③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2D.3
解析:
选B.①不一定,只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线;②正确;③错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.
3.给出以下命题:
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;
③一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
其中正确命题的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
解析:
选B.由圆台的定义可知①错误.②正确.对于命题③,只有平行于圆锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,③不正确.
4.给出下列命题:
①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;
②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;
③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
④存在每个面都是直角三角形的四面体.
其中正确命题的序号是________.
解析:
①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角;③正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如图,正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC,四个面都是直角三角形.
答案:
②③④
空间几何体概念辨析问题的常用方法
空间几何体的三视图(多维探究)
角度一 已知几何体,识别三视图
(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
【解析】 由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以是虚线,结合榫头的位置知选A.
【答案】 A
角度二 已知三视图,判断几何体
(1)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )
A.三棱锥B.三棱柱
C.四棱锥D.四棱柱
(2)(2018·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
【解析】
(1)由题三视图得直观图如图所示,为三棱柱,故选B.
(2)将三视图还原为直观图,几何体是底面为直角梯形,且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,如图所示.
易知,BC∥AD,BC=1,AD=AB=PA=2,
AB⊥AD,PA⊥平面ABCD,故△PAD,△PAB为直角三角形,
因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
所以PA⊥BC,又BC⊥AB,且PA∩AB=A,
所以BC⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以BC⊥PB,
所以△PBC为直角三角形,容易求得PC=3,CD=,PD=2,
故△PCD不是直角三角形,故选C.
【答案】
(1)B
(2)C
[迁移探究1] (变问法)在本例
(2)条件下,求该四棱锥的所有棱中,最长棱的棱长是多少?
解:
由三视图可知,PA=AB=AD=2,BC=1,经计算可知,PB=PD=2,PC=3,CD=,故最长棱为PC,且|PC|=3.
[迁移探究2] (变问法)在本例
(2)条件下,求该四棱锥的五个面中,最小面的面积.
解:
面积最小的面为PBC,且S△PBC=BC·PB
=×1×2=,
即最小面的面积为.
角度三 已知几何体的某些视图,判断其他视图
(1)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( )
(2)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为( )
【解析】
(1)由几何体的直观图(如图)知选B.
(2)
由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD⊥平面BCD,故选D.
【答案】
(1)B
(2)D
三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.
(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图.先根据已知的一部分视图,还原、推测其直观图的可能形式,然后再找其剩下部分视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为直观图.
1.将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到如图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为( )
解析:
选B.侧视图中能够看到线段AD1,应画为实线,而看不到B1C,应画为虚线.由于AD1与B1C不平行,投影为相交线,故应选B.
2.(2019·唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图,则它的侧视图为( )
解析:
选A.由正视图和俯视图可知,该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的,结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A,故选A.
3.(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( )
A.2B.2
C.3D.2
解析:
选B.由三视图可知,该几何体为如图①所示的圆柱,该圆柱的高为2,底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图,如图②所示,连接MN,则MS=2,SN=4,则从M到N的路径中,最短路径的长度为==2.故选B.
空间几何体的直观图(自主练透)
1.如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形ABCD为( )
A.平行四边形B.梯形
C.菱形D.矩形
解析:
选D.由斜二测画法可知在原四边形ABCD中DA⊥AB,并且AD∥BC,AB∥CD,故四边形ABCD为矩形.
2.
一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示,其中O′C′⊥x′,A′B′⊥x′,B′C′∥y′,则四边形OABC的面积为 ( )
A.B.3
C.3D.
解析:
选B.平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′是直角梯形,其面积为×(1+2)×1=;
根据平面图形与它的直观图面积比为1∶,
计算四边形OABC的面积为=3.故选B.
3.已知等边三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.a2B.a2
C.a2D.a2
解析:
选D.如图①②所示的实际图形和直观图,
由②可知,A′B′=AB=a,O′C′=OC=a,在图②中作C′D′⊥A′B′于D′,则C′D′=O′C′=a.所以S△A′B′C′=A′B′·C′D′=×a×a=a2.故选D.
4.在等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.
解析:
因为OE==1,
所以O′E′=,E′F′=.
所以直观图A′B′C′D′的面积为
S′=×(1+3)×=.
答案:
(1)斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
(2)平面图形直观图与原图形面积间的关系
对于几何体的直观图,除掌握斜二测画法外,记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′=S,能更快捷地进行相关问题的计算.
三视图的识别
已知以下三视图中有三个同时表示某一个棱锥,则下列不是该三棱锥的三视图的是( )
【解析】 四个选项中,因为观察的位置不同,得到的三个视图也不同.可从俯视图入手,以A选项中的正方向作为标准.
则A中的方向如图所示
B中的方向
C中的方向
【答案】 D
直观想象即通过几何直观和空间想象感知几何体的形状与变化.本例通过几何体的三视图直观感知几何体的形状与相关度量,想象几何体的结构特征.
1.(2019·河南开封一模)如图,
在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1,O2,这两个球外切,且球O1与正方体共顶点A的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是( )
解析:
选B.由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切,排除C,D.由于两球不等,把其中一个球扩大为与正方体相切,则另一个球被挡住一部分,所以排除A.B正确.
2.一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到顶点C1的位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )
A.①② B.①③
C.③④D.②④
解析:
选D.由点A经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1的位置,共有6种路线(对应6种不同的展开方式),若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内,连接AC1,则AC1是最短路线,且AC1会经过BB1的中点,此时对应的正视图为②;若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内,连接AC1,则AC1是最短路线,且AC1会经过CD的中点,此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现.故选D.
[基础题组练]
1.
如图所示是水平放置的三角形的直观图,点D是△ABC的BC边的中点,AB,BC分别与y′轴,x′轴平行,则在原图中三条线段AB,AD,AC中( )
A.最长的是AB,最短的是AC
B.最长的是AC,最短的是AB
C.最长的是AB,最短的是AD
D.最长的是AC,最短的是AD
解析:
选B.由条件知,原平面图形中AB⊥BC,从而AB 2.如图所示,上面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得,现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是( ) A.①② B.②③ C.③④D.①⑤ 解析: 选D.圆锥的轴截面为等腰三角形,此时①符合条件; 当截面不过旋转轴时, 圆锥的轴截面为双曲线的一支,此时⑤符合条件; 故截面图形可能是①⑤. 3.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一条直角边长为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为( ) 解析: 选C.当正视图为等腰三角形时,则高应为2,且应为虚线,排除A,D;当正视图是直角三角形,由条件得一个直观图如图所示,中间的线是看不见的线PA形成的投影,应为虚线,故答案为C. 4.如图,一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形,则这个三棱柱的俯视图为( ) 解析: 选D.由正视图和侧视图可知,这是一个水平放置的正三棱柱.故选D. 5.(2019·福建漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长度为( ) A.B.2 C.3D.2 解析: 选C.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,M为AD的中点,该几何体的直观图如图中三棱锥D1MB1C.故通过计算可得D1C=D1B1=B1C=2,D1M=MC=,MB1=3,故最长棱的长度为3,故选C. 6. 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为________. 解析: 由三视图可知该多面体是一个组合体,下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,等腰直角三角形的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯形,这些梯形的面积之和为×2=12. 答案: 12 7.一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线长为12cm,则这个圆台的母线长为______cm. 解析: 如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C. 在Rt△ABC中,AC=12(cm),BC=8-3=5(cm). 所以AB==13(cm). 答案: 13 8.已知正四棱锥VABCD中,底面面积为16,一条侧棱的长为2,则该棱锥的高为________. 解析: 如图,取正方形ABCD的中心O,连接VO,AO,则VO就是正四棱锥VABCD的高.因为底面面积为16,所以AO=2. 因为一条侧棱长为2, 所以VO===6. 所以正四棱锥VABCD的高为6. 答案: 6 9.如图所示的三个图中,上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图如图所示(单位: cm). (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积. 解: (1)如图. (2)所求多面体的体积V=V长方体-V正三棱锥 =4×4×6-×(×2×2)×2=(cm3). 10.已知正三棱锥VABC的正视图和俯视图如图所示. (1)画出该三棱锥的直观图和侧视图. (2)求出侧视图的面积. 解: (1)如图. (2)侧视图中VA===2. 则S△VBC=×2×2=6. [综合题组练] 1.(创新型)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧视图中的虚线部分是( ) A.圆弧B.抛物线的一部分 C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分 解析: 选D.根据几何体的三视图可得,侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得,故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分,故选D. 2.(创新型)某几何体的正视图和侧视图如图 (1),它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1,如图 (2),其中O1A1=6,O1C1=2,则该几何体的侧面积为( ) A.48B.64 C.96D.128 解析: 选C.由题图 (2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC,设CB与y轴的交点为D,则易知CD=2,OD=2×2=4,所以CO==6=OA,所以俯视图是以6为边长的菱形,由三视图知几何体为一个直四棱柱,其高为4,所以该几何体的侧面积为4×6×4=96.故选C. 3. 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P是线段A1C1上的动点,则三棱锥PBCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为( ) A.1B. C.D.2 解析: 选D.正视图,底面B,C,D三点,其中D与C重合,随着点P的变化,其正视图均是三角形且点P在正视图中的位置在边B1C1上移动,由此可知,设正方体的棱长为a,则S正视图=×a2;设A1C1的中点为O,随着点P的移动,在俯视图中,易知当点P在OC1上移动时,S俯视图就是底面三角形BCD的面积,当点P在OA1上移动时,点P越靠近A1,俯视图的面积越大,当到达A1的位置时,俯视图为正方形,此时俯视图的面积最大,S俯视图=a2,所以的最大值为=2,故选D. 4.(应用型)已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于B,C两点),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM的取值范围为( ) A.B. C.D. 解析: 选B.由题意, 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,如图所示,当点M为线段BC的中点时,截面为四边形AMND1,当0<BM≤时,截面为四边形,当BM>时,截面为五边形,故选B. 5.(2019·株洲模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为6,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱,与侧棱AA1,BB1,CC1,分别交于三点M,N,Q,若△MNQ为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为( ) A.2B.3 C.2D.4 解析: 选C.如图,不妨设N在B处,AM=h,CQ=m,则MB2=h2+4,BQ2=m2+4,MQ2=(h-m)2+4,由MB2=BQ2+MQ2,得m2-hm+2=0.Δ=h2-8≥0即h2≥8,该直角三角形斜边MB=≥2.故选C. 6.如图,一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4m,则圆锥底面圆的半径等于________m. 解析: 把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形, 由题意OP=4,PP′=4, 则cos∠POP′==-, 所以∠POP′=. 设底面圆的半径为r,则2πr=×4, 所以r=. 答案:
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