高中数学常用公式及定理.docx
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高中数学常用公式及定理
高中数学常用公式及定理
1.熟悉这些解题小结论,启迪解题思路、探求解题佳径,防止解题易误点的产生,对提升数学成绩将会起到很大的作用。
2.所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记,且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。
1.元素与集合的关系:
.
2.德摩根公式:
.
3.包含关系
4.容斥原理
.
5.集合的子集个数共有个;真子集有-1个;非空子集有-1个;非空的真子集有-2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)两根式.
7.解连不等式常有以下转化形式:
;
8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在内,等价于“”或“且”或“且”
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下:
(1)当a>0时,若,则;
若,,.
(2)当a<0时,若,则;
若,则,.
10.一元二次方程的实根分布
依据:
若,则方程在区间内至少有一个实根.
设,则
(1)方程在区间内有根的充要条件为或.
(2)方程在区间内有根的充要条件为或或或.
(3)方程在区间内有根的充要条件为或.
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据:
(1)在给定区间的子区间(形如,,不同)上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(3)恒成立的充要条件是或.
12.真值表
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13.常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有个
至多有()个
小于
不小于
至多有个
至少有()个
对所有,成立
存在某,不成立
或
且
对任何,不成立
存在某,成立
且
或
14.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p
15.充要条件
(1)充分条件:
若,则是充分条件.
(2)必要条件:
若,则是必要条件.
(3)充要条件:
若,且,则是充要条件.
注:
如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数.
17.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
18.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
19.若函数是偶函数,则;
若函数是偶函数,则,并且关于对称.
20.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与的图象关于直线对称.
21.若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.
22.多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线对称
(2)函数的图象关于直线对称
24.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数的图象右移、上移个单位,得到函数的图象;
若将曲线的图象右移、上移个单位,得到曲线的图象.
26.互为反函数的两个函数的关系:
.
27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数,具有性质:
.
(2)指数函数,具有性质:
.
(3)对数函数,具有性质:
.
(4)幂函数,具有性质:
.
(5)余弦函数,正弦函数,具有性质:
,
.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
(1),则的周期;
(2)或或,则的周期;
(3),则的周期;
(4)且,
则的周期;
(5),则的周期.
30.分数指数幂
(1)(,且);
(2)(,且).
31.根式的性质
(1).
(2)当为奇数时,;当为偶数时,.
32.有理指数幂的运算性质
(1);
(2);(3)
33.指数式与对数式的互化式
.
34.对数的换底公式
(,且,,且,).
推论(,且,,且,,).
35.对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1);
(2);(3).
36.设函数,记.若的定义域为,则,且;若的值域为,则,且.【对于的情形,需要单独检验.】
37.平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,有.
38.数列的通项公式与前n项的和的关系.
39.等差数列的通项公式:
;
其前n项和公式为:
.
40.等比数列的通项公式:
;
其前n项的和公式为:
或.
41.等比差数列:
的通项公式为
【用待定系数法来求】;
42.常见三角不等式
(1)若,则;
(2)若,则.
(3).
43.同角三角函数的基本关系式:
,=,.
44.正弦、余弦的诱导公式:
奇变偶不变,符号看象限。
,
45.和角与差角公式
;;
.
=(辅助角所在象限由点的象限决定,).
46.二倍角公式
;;
.
47.三倍角公式
;
;.
48.三角函数的周期公式
函数及函数的周期;
函数的周期.
49.正弦定理:
(为的外接圆半径).
50.余弦定理
;;.
51.面积定理
(1)(分别表示a、b、c边上的高).
(2);(3).
52.三角形内角和定理
在△ABC中,有.
53.简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.
54.实数与向量的积的运算律:
设λ、μ为实数,那么
(1)结合律:
λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:
(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律:
λ(a+b)=λa+λb.
55.向量的数量积的运算律:
(三个向量的数量积不满足结合律)
(1)a·b=b·a(交换律);
(2)(a)·b=(a·b)=a·b=a·(b);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
56.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
57.向量平行的坐标表示
设a=,b=,则a∥b.
53.a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ.
58.a·b的几何意义:
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
59.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=,则a+b=.
(2)设a=,b=,则a-b=.
(3)设A,B,则.
(4)设a=,则a=.
(5)设a=,b=,则a·b=.
60.两向量的夹角公式
(a=,b=).
61.平面两点间的距离公式
=(A,B).
62.向量的平行与垂直
设a=,b=,则
a∥bb=λa;aba·b=0.
63.线段的定比分公式
设,,是线段的分点,是实数,且,则
().
64.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
65.点的平移公式
.
注:
图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形上的对应点为,且的坐标为.
66.“按向量平移”的几个结论
(1)点按向量a=平移后得到点.
(2)函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.
(3)图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.
(4)曲线:
按向量a=平移后得到图象,则的方程为.
(5)向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.
67.三角形四“心”向量形式的充要条件,设为所在平面上一点,则
(1)为的外心.
(2)为的重心.
(3)为的垂心.
(4)为的内心.(为角所对边长)
68.常用不等式:
(1)(当且仅当a=b时取“=”号).
(2)(当且仅当a=b时取“=”号).
(3)
(4)柯西不等式
(5).
69.已知都是正数,则有
(1)若积是定值,则当时和有最小值;
(2)若和是定值,则当时积有最大值.
70.一元二次不等式,如果与同号,则其解集在两根之外;如果与异号,则其解集在两根之间.简言之:
同号两根之外,异号两根之间.
;.
71.含有绝对值的不等式
当a>0时,有;或.
72.无理不等式
(1);
(2);
(3).
73.指数不等式与对数不等式
(1)当时,;;
(2)当时,;
74.斜率公式:
(、).
75.直线的五种方程
(1)点斜式(直线过点,且斜率为).
(2)斜截式(b为直线在y轴上的截距).
(3)两点式()(、()).
(4)截距式(分别为直线的横、纵截距,)
(5)一般式(其中A、B不同时为0).
76.两条直线的平行和垂直
(1)若,
①;②.
(2)若,,且A2、B2、C2都不为零,
①;②;
77.夹角公式:
.(,,)
直线时,直线l1与l2的夹角是.
78.到的角公式:
.(,,)
直线时,直线l1到l2的角是.
79.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:
经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数;经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数.
(2)共点直线系方程:
经过两直线,的交点的直线系方程为(除),其中λ是待定的系数.
(3)平行直线系方程:
直线中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线平行的直线系方程是(),λ是参变量.
(4)垂直直线系方程:
与直线(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量.
80.点到直线的距离:
(点,直线:
).
81.或所表示的平面区域
设直线,则或所表示的平面区域是:
若,当与同号时,表示直线的上方的区域;
当与异号时,表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若,当与同号时,表示直线的右方的区域;
当与异号时,表示直线的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.
82.圆的四种方程
(1)圆的标准方程.
(2)圆的一般方程(>0).
(3)圆的参数方程.
(4)圆的直径式方程【圆的直径的端点是、】.
83.圆系方程
(1)过直线:
与圆:
的交点的圆系方程是,λ是待定的系数.
(2)过圆:
与圆:
的交点的圆系方程是,λ是待定的系数.
84.点与圆的位置关系,点与圆的位置关系有三种:
若,则
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