中考数学二次函数专题复习超强整理.docx

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中考数学二次函数专题复习超强整理

初三一一二次函数归类复习

一、二次函数与面积

面积的求法：

①公式法：

S=1/2*底*高②分割法/拼凑法

1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？

C,D为抛物线的顶点,

2、抛物线y=-x2—2x+3与x轴交与AB（点A在B右侧），与y轴交与点连接BD,CD

（1）求四边形BOCD勺面积.

（2）求^BCD的面积.（提示：

本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）

12

3、已知抛物线y=_x—x-4与x轴交与ac两点，与y轴交与点B2

（1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；

（2）求四边形ABMC勺面积.

4、已二次函数y=x2—2x—3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C,顶点为P.

（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；

（2）求A、BC、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；

（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N,使得S&ab=S^BC,

若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

y+

变式一：

在抛物线的对称轴上是否存点N,使得S&ab=S^bc,若存在直接写出N的坐标；若不存在,

请说明理由

变式一图

3.

变式一：

在双曲线y=一上是否存在点N,使得S^ab=S&bc,右存在直接与出N的坐标；右不存在,x

请说明理由.1ytl

变式二图

5、抛物线y=—x2—2x+3与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C,若点E为第二象限抛物

线上一动点，点E运动到什么位置时，AEBC勺面积最大,并求出此时点前坐标和^EBC勺最大面积.

［模拟题训练］看《一

1.（2015?

三亚三模）如图，直线y=-1x+2与x轴交于点B,与y车旅于点C,经过点B、C和点A（-1,0）./

（1）求BC两点坐标；

（2）求该二次函数的关系式；

（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点

为腰的等腰三角形？

如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,

C

已知二家函图象

TL

P,使4PCD是以।

当点E运动到什么位

置时，四边形CDBF勺面积最大？

求出四边形CDBF勺最大面积及此时E点的坐标.

二、二次函数与相似

【相似知识梳理】

二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐

标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。

其实破解难点以后不难发现，若是直角

若是非直角三角形有如图1-2的几种基本型。

角形相似无非是如图1-1的几种基本型。

利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。

【例题点拨】

【例1】如图1-3,二次函数y=ax2+bx+2的图像与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,经过

点A的直线y=kx-2与y轴相交于点D,与直线BC垂直于点E,已知AB=3,求这个二次函数的解析

【例2】如图1-4,直角坐标平面内，二次函数图象的顶点坐标为C（4,-J3）,且在X轴上截得的线段

AB的长为6.

（1）求二次函数解析式；

（2）在X轴上方的抛物线上，是否存在点D,使彳导以A、B、D三点为顶点的三角形与^ABC相似？

若

存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。

【例3】如图1-6,在平面直角坐标系中，二次函数y=—1x2+bx+c-的图像经过点A（4,0）,C（0,2）。

4

（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点B（-2,0）是否在该函数的图像上；

（2）设所求函数图像的对称轴与X轴交于点D,点E在对称轴上，若以点CHE为顶点的三角形与△ABC相似，试求点E的坐标。

【模拟题训练】

2.（2015?

崇明县一模）如图，已知抛物线y=Ex2+bx+c经过直线y=-工+1与坐标轴的两个交点A、B,

82

点C为抛物线上的一点，且/ABC=90.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点C坐标；

（3）直线y=-lx+1上是否存在点P,使得4BCP与△OABf似？

若存在，请直接写出P点的坐标；若

2

三、二次函数与垂直【方法总结】

①应用勾股定理证明或利用垂直②三垂直模型

【例1】：

如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B,A、C两点到直线l的距离分别是2和3,则AB

的长是（）

B1

【例2】：

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-3,0）、B（1,0）,

过顶点C作CHUx轴于点H.

（1）直接填写：

a=,b=,顶点C的坐标为;

（2）在y轴上是否存在点D,使彳ACD是以AC为斜边的直角三角形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

【例3】、（2011山东烟台）如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A

（1,0）,B（0,-3）,与x轴交于另一点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直

角顶点的直角三角形，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q使以P,Q,B,C

为顶点的四边形为直角梯形？

若存在，请求出点Q的坐标；若不

存在，请说明理由.

【模拟题训练】

3.（2015?

普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（n^0）和点B（0,2m（m>0）,点C

在x轴上（不与点A重合）

（1）当△BOCW^AOBf似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）

（2）当△BOCW^AOB^等时，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过AB、C三点，求m的值，并求点C的坐标

33）P是

（2）的二次函数图象上的一点，/APC=90,求点P的坐标及/ACP的度数.

4.如图，已知抛物线y=x2-1的顶点坐标为M与x轴交于A、B两点.

（1）判断4MAB的形状，并说明理由；

（2）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于CD两点，连接MCMD试判断MCM渥否垂直，并说明理由.

四、二次函数与线段

题目类型：

①求解线段长度（定值，最值）：

充分利用勾股定理、全等、相似、特殊角（30°,45°,60°,90°,

120。

等）、特殊三角形（等腰△、等腰直角△、等边△）、特殊线（中位线、中垂线、角平分线、弦等）、对称、函数（一次函数、反比例函数、二次函数等）等知识。

②判断线段长度关系：

a=b,a=V2b,a+b=c,a+b=V2c,a2+b2=c2,a*b=c2

【模拟题训练】

5.（2015?

山西模拟）如图1,P（m,n）是抛物线y」x2-1上任意一点，l是过点（0,-2）且与x

4

轴平行的直线，过点P作直线PHLl,垂足为H.

【特例探究】

（1）填空，当m=0时，OP=,PH=;当m=4时，OP=,PH=

【猜想验证】

（2）对任意m,n,猜想OP与PH大小关系，并证明你的猜想.

【拓展应用】

（3）如图2,如果图1中的抛物线y=lx2-1变成y=x2-4x+3,直线l变成y=m（m<-1）.已知抛物

线y=x2-4x+3的顶点为M交x轴于A、B两点，且B点坐标为（3,0）,N是对称轴上的一点，直线y=m（m<-1）与对称轴于点C,若对于抛物线上每一点都有：

该点到直线y=m的距离等于该点到点N

的距离.

①用含m的代数式表示MCMN^GN的长，并写出相应的解答过程；

②求m的值及点N的坐标.

囹1图」

五、二次函数与角度

结题方法总结

角度相等的利用和证明：

①直接计算②平行线③等腰三角形④全等、相似三角形⑤角平分线

性质⑥倒角（/1=73,/2=/3一/1=/2）

【构造三垂直模型法】例1:

如图，在平面直角坐标系的坐标为（4,2）,若/AOP=45,则点P的坐标为（

行……心『二：

。

-同工-3万）

【直接计算】例2.如图，抛物线3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,

点D是抛物线的对称轴,与x轴的交点，点P是抛物线上一点，且/DCP=30,则符合题意的点P的坐

标为（）

2.

【利用相似】例3、已知抛物线y=ax+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0,3）,过点C作x轴的平行线与抛

物线交于点D,抛物线的顶点为M,直线y=x+5

经过D、M两点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）连接AM、AC、BC,试比较/MAB和ZACB

的大小，并说明你的理由.

【模拟题训练】

6.（2015?

松江区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1,-3）和点（-1,5）;

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C,其纵坐标为m,请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；

（3）在第

（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2,3）,CM平分/PCO求m的值.

4

一>

01工

六、二次函数与平行四边形

②比较一次函数k值③平行四边

解题方法总结：

①平行线的性质（同位角，内错角，同旁内角）形的性质④注意多解性

【模拟题训练】

7..如图，抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），直线l与抛物线交于AC亮点，其中C的横坐标为2.

（1）求AC两点的坐标及直线AC的函数解析式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E,求4ACE面积的最大值；

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使以ACF、G四个点为顶点的四边形是平

行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

七、二次函数与图形转换

常见图像变换：

①平移（上加下减，左加右减）②轴对称（折叠）

【模拟题训练】

8.（2014?

西城区一模）抛物线y=x2-kx-3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中点B的坐标为（1+k,0）.

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）将

（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M落在线段BC上，记该抛物线为G,求抛物线G所对应

的函数表达式；

（3）将线段BC平移得到线段B'C'（B的对应点为B',C的对应点为C'）,使其经过

（2）中所得抛物线G的顶点

M且与抛物线G另有一个交点N,求点B到直线OC勺距离h的取值范围.

V八

V

模拟训练题参考答案

1考点：

二次函数综合题.

分析：

Q1，一，一1t，，一一

（1）分力1J令解析式y=-°x+2中x=0和y=0,求出点B>点C的坐标;

2

（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将点A、B>

求得解析式；

（3）由

（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出对称轴于Pi,以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点角形的性质及勾股定理就可以求出结论；

CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交

P2,P3,作CE垂直于对称轴与点E,由等腰三

（4）设出E点的坐标为（a,-1a+2）,就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF勺面积2

求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论.

解答：

解：

（1）令x=0,可得y=2,令y=0,可得x=4,

即点B（4,0）,C（0,2）;

（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,

将点ABC的坐标代入解析式得，

a-b4-c=0

16aHb+c二0,c二2

a=4b4，c=2

即该二次函数的关系式为y=--1x2+-x+2;

22

（3）.■y=-1x2+-x+2,

22

・•.OD?

.

2

C（0,2）,

OC=2

在RtAOCD^,由勾股定理，得

CD=

2

•・•△CDP^以CD为腰的等腰三角形，CP1=DP2=DP3=CD.

如图1所示，作CHLx对称轴于H,

HP1=HD=2

DP1=4.

••Pl（士4）,P2（士昌，P3（苣，一3）;

22222

,■2二

（4）当y=0时，0=-3x+^x+2

22

•--Xi=-1,X2=4,

B（4,0）.

•••直线BC的解析式为：

y=-2x+2.

2

如图2,过点C作CMLEF于M设E（a,--a+2）,F（a,

2

EF=--a2+-a+2-（--a+2）=--a2+2a（0a9）.

2222

S四边形cdb=SabcD-Sacef+Sabef=Lbd?

oc+ef?

cm+ef?

bn222

J+_!

a（--la2+2a）+—（4-a）（—-a2+2a）,

22222

=-a2+4a+-（0咏0）.

2

=-（a-2）2+里

2

.一必c-13

•a=2时，S四边形cdbf勺面积最大,

2

点评：

2.

考点：

分析：

解答:

E（2,1）.

本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键.

二次函数综合题.

（1）根据直线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）作CDLx轴于D,根据题意求得/OAB=/CBD然后求得^AO⑦△BDC根据相似三角形对应边成比例求得CD=2BD从而设BD=m则C（2+m2m）,代入抛物线的解析式即可求得；

（3）分两种情况分别讨论即可求得.

解：

（1）把x=0代入y=--x+1得，y=1,

2

••A（0,1）,

把y=0代入y=--x+1得，x=2,

2

•••B（2,0）,

把A（0,1）,B（2,0）代入y=Ex2+bx+c得，*

8

l=c

2b+c

，抛物线的解析式y=-x2--x+1,

84

（2）如图，作CC±x轴于D,

•••/ABC=90,

•••/ABOyCBD=90,

/OAB=CBD

•••/AOB=BDQ

.AO中△BDC

...cd=ob=2

BDOA

CD=2BD

设BD=m

C（2+m2m）,

代入y=-5x2-—x+1得，2m至（m+22

S4S

••C（4,4）;

（3）..OA=1,OB=2

•・AB/，

-B（2,_0）,C（4,4）,

BC=2=,

-（m+2）+1,解得,4

m=2或m=0（舍去），

①当^AO⑦△PBCM,则

PBBC

OAOB

-PB.2V5

解得，PB=后

作PHx轴于E,贝UAAOtB^△PEB

费迪,即强芈,OAAB1V5

PE=1,

，P的纵坐标为土，代入y=--lx+1

2

•.P（0,1）或（4,-1）;

②当AAOB^4CBP时，则镁孝,

OBOA

得,

x=0或x=4,

即名=延，解得，PB=4高，21

作PE!

x轴于E,贝UAAOtB^△PEB

••里里即里挈，

OAAB1V5

PE=4,

一.P的纵坐标为d4,代入y=--x+1

2

•.P（-6,4）或（10,-4）;

得,

x=—6或x=10,

点评：

3.

考点：

分析：

解答:

综上，P的坐标为（0,1）或（4,-1）或（-6,4）或（10,-4）.

本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了待定系数法、三角形相似的判定和性质，数形结合运用是

解题的关键.

二次函数综合题.

（1）分类讨论：

△BOSABO/A△BO8△AOtB根据相似三角形的性质，可得答案;

（2）根据全等三角形的性质，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（3）根据相似三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值可得p点坐标，分类讨论:

当点P的坐标为（£,1）时，根据正弦函数据，可得/COP勺度数，根据等腰三角形得到性质，可得答案；当点P的坐标为（-备，1）时，根据正弦函数据，可得/AOP勺度数，根据三角形外角的性质，可得答案.

解：

（1）点C的坐标为（n^0）或（4mx0）.或（-4mi,0）;

（2）当△BOCW^AOB全等时，点C的坐标为（m,0）,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、B>C三点，

fb=O

2

<一m一mb+c=0,解得.c二4.

—m.此+c=0i乐2

X.

二次函数解析式为y=-x2+4,点C的坐标为（2,0）;

（3）作PHLAC于H,设点P的坐标为（a,-a2+4）,

•••/AHPhPHC=90,/APHhPCH=90-/CPH

・.△APHT△PCH空=里

PHCH

即pH=ah?

ch,（-a2+4）2=（a+2）（2-a）.

解得a=，§，或a=-V3,即P（V3,1）或（-m,1）,如图：

当点R的坐标为

（1）时，OP=2=OC

「PiE1一、

sin/PQE=_^=°COP=30,

点评:

4.

考点：

分析：

当点P的坐标为（-73,1）时，sin/P2OFJ-二工，/P2OF=30.

P202

由三角形外角的性质，得/P2OF=2/ACP即/ACP=15.

本题考查了二次函数综合题，

（1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；

（2）利用全等三角

形的性质，解三元一次方程组；（3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰

三角形的性质，三角形外角的性质.

二次函数综合题.

（1）由抛物线的解析式可知OA=OB=OM=1导出/AMO=MAOgBMO二MBO=45R而得出△MA醍等腰直

角三角形.

（2）分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F,过M点作x轴的平行线交EC于G,交DF于H,设D（m,m-1）,C（n,n2-1）,通过EG//DH得出更岂竺，从而求得mn的关系，根据mn的关

DFOF

系，得出△CGW4MHD利用对应角相等得出/CMG+DMH=90,即可求得结论.

解答：

解：

（1）4MA醍等腰直角三角形.理由如下：

由抛物线的解析式为：

y=x2-1可知A（-1,0）,B（1,0）,

OA=OB=OM=1

/AMO=MAO=BMOWMBO=45,

•••/AMBWAMO+BMO=90,AM=BM

・•.△MA醍等腰直角三角形.

（2）MCLMD理由如下：

分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、

设D（mm2-1）,C（n,n2—1）,

OE=-n,CE=1-n2,OF=mDF=rri-1,

•••OM=12_2

•.CG=n,DH=m,

•••EG//DH

•・二I：

一,

DFOF

即-——=：

l,

m2-1m

解得m=-,

n

•.・空=J^=—n,=-^=-=-n,GM-nDH独2n

=

GMDH

•••/CGM=MHD=90,.CGm△MHD

•./CMG=MDH

•••/MDH+DMH=90

•••/CMG+DMH=90,

/CMD=90

即MCLMD

F,过M点作x轴的平行线交EC于G,交DF于H,

5.（2015?

山西模拟）如图1,P（mn）是抛物线y=ix2-1上任意一点，l是过点（0,-2）且与x轴平行的

直线，过点P作直线PHLl,垂足为H.

【特例探究】

（1）填空，当m=0时，OP=1,PH=1;当m=4时，OP=5,PH=5.

I

（2）对任意mn,猜想OP与PH大小关系，并证明你的猜想.

【拓展应用】

（3）如图2,如果图1中的抛物线y=2x2—1变成y=x2—4x+3,直线l变成y=m（m<—1）.已知抛物线y=x2—4

4x+3的顶点为M交x轴于A、B两点，且B点坐标为（3,0）,N是对称轴上的一点，直线y=m（m<-1）与对

称轴于点C,若对于抛物线上每一点都有：

该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离.

①用含m的代数式表示MCMNMGN的长，并写出相应的解答过程；

②求m的值及点N的坐标.

JA

mi图a

考点：

二次函数综合题.

分析：

（1）根据勾股定理，可得OP的长，根据点到直线的距离，可得可得PH的长；

（2）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得PO的长，根据点到直线的

距离，可得PH的长；

（3）①根据该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，可得CM=MN根据线段的和差，可得GN的长；

②对于抛物线上每一点都有：

该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，可得方程，根据解方程，

可得m的值，再根据线段的和差，可得GN的长.

解答：

解：

（1）当m=0时，P（0,—1）,OP=1,PH=-1-（—2）=1;

当m=4时，y=3,P（4,3）,OP=/^I^1=5,PH=3—（—2）=3+2=5,

故答案为：

1,1,5,5；

（2）猜想：

OP=PH

证明：

PH交x轴与点Q,

P在y=L2T上，

4

..设P（m,—m2-1）,PQ=|-x2-1|,OQ=|m|,

44

•••△OPQ^直角三角形，

OP=JpQZ+0Q2=J（,加2—21m2+1,

—/、/-2、/、-2

PH=W-（-2）=（—m-1）-（-2）—m+1

44

OP=PH

（3）①CM=MN=m-1,GN=2+m

理由如下：

对于抛物线上每一点都有：

该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，

M（2,-1）,即CM=MN=m—1.

GN=CGCM-MN=-m—2（m—1）=2+m

②点B的坐标是（3,0）,BG=1,GN=2+m

由勾股定