圆形镜共焦腔及高斯光束.docx
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圆形镜共焦腔及高斯光束.docx
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圆形镜共焦腔及高斯光束
激光大作业
一.圆形镜共焦腔
1.圆形镜共焦腔镜面波场分布
振幅分布:
相位分布:
其中,
为镜面上的基模光斑半径,
=
称为缔合拉盖尔多项式,
基模与若干高阶模的振幅分布如下:
下面是基模的振幅分布与相位分布和若干高阶模的振幅分布图:
(用matlab编程)
基模的振幅分布
程序一:
>>h=polar([02*pi],[02]);
>>delete(h);
>>holdon
>>contour(xx,yy,zz,50);
>>surf(xx,yy,zz);
>>holdoff
>>view(-19,22);
>>t=linspace(0,2*pi,100);
>>r=0:
0.05:
2;
>>[tt,rr]=meshgrid(t,r);
>>[xx,yy]=pol2cart(tt,rr);
>>c=30;
>>w=2;
>>zz=2*exp(-(xx.^2+yy.^2)/w^2);
所画图形如下所示:
振幅分布在极坐标中的表示程序二:
>>t=linspace(0,2*pi,100);>>surf(xx,yy,zz);
>>r=0:
0.05:
5;
>>[tt,rr]=meshgrid(t,r);
>>[xx,yy]=pol2cart(tt,rr);
>>c=2;
>>w=2;
>>zz=c*exp(-(xx.^2+yy.^2)/w^2);
振幅分布在直角坐标中的表示
基模的相位分布:
程序:
>>t=linspace(0,2*pi,1000);
>>rh=0:
0.001:
4;
>>[tt,rr]=meshgrid(t,rh);
>>[x,y]=pol2cart(tt,rr);
>>r=4;
>>z=real(sqrt(r^2-(x.^2+y.^2))-r/2);
>>mesh(x,y,z);%曲面圖
相位分布在直角坐标中的表示
振幅分布
程序:
>>t=linspace(0,2*pi,100);
>>r=0:
0.1:
5;
>>[tt,rr]=meshgrid(t,r);
>>[xx,yy]=pol2cart(tt,rr);
>>c=2;
>>w=2;
>>zz=c*(1-2*(xx.^2+yy.^2)/w^2).*exp(-(xx.^2+yy.^2)/w^2);
>>surf(xx,yy,zz);
振幅分
振幅分布
程序:
>>t=linspace(0,2*pi,60);
>>r=0:
0.1:
4;
>>[tt,rr]=meshgrid(t,r);
>>[xx,yy]=pol2cart(tt,rr);
>>c=2;
>>w=2;
>>zz=c*sqrt
(2)/w*exp(-(xx.^2+yy.^2)/w^2).*xx;
>>surf(xx,yy,zz);
所画图形如下所示:
振幅分布
2.圆形镜共焦腔行波场分布
行波场为
L:
共焦腔腔长
f=L/2:
镜的焦距
1
:
振幅衰减因子
2
:
横向振幅分布因子
3
:
位相因子,决定了共焦腔的位相分布
kz:
传播因子
:
位相弯曲因子
:
附加相移因子
等相位面分布
与腔的轴线交于
点的等相位面方程可以写成:
忽略由于z的微小变化引起的附加相移因子,知
处等相位面方程为
上式为抛物面方程,顶点在z=
处,焦距的大小是
=z+
为等相位面曲率半径
程序:
clear
clc
ezplot('y-x-4/x',[-16,16]);
xlabel('z值');
ylabel('R(z)值');
title('R(z)=z+f^2/z');
R(z)随z的变化
共焦腔等相位面
振幅分布
因基模光斑半径
故
为一双曲线
对于基模
,基模共焦场在任一z坐标处的横截面内都是高斯分布。
对于确定的z值,光场随r的变化如下
程序:
>>t=linspace(0,2*pi,100);
>>r=0:
0.05:
2;
>>[tt,rr]=meshgrid(t,r);
>>[xx,yy]=pol2cart(tt,rr);
>>c=30;
>>w=2;
>>zz=c*exp(-(xx.^2+yy.^2)/w^2);
>>h=polar([02*pi],[02]);
>>delete(h);
>>holdon
>>contour(xx,yy,zz,50);
>>surf(xx,yy,zz);
>>holdoff
>>view(-19,22);
光场在腔中的基模传播
模体积
基模
高阶模
基模远场发散角
二.高斯光束的传播
1.高斯光束在介质中的传播
由前面知,如果腔内无任何介质(除空气外),即无源腔,高斯光束将以弧形等相位面向两边传播,若以腔中心为z坐标原点,则等相位面的曲率半径为
=z+
对于确定的z,光束在横截面内呈高斯分布,即
如果腔中存在一定厚度的介质,那么,高斯光束将如何传播
如图
设高斯光束在束腰(z=0)处,开始穿过厚度为L,折射率为n的介质,
在z=0处,基模高斯光束满足
————
(1)
首先,讨论场函数为
的光束自z=0处垂直入射到传输矩阵为T=
的介质中,其场函数如何分布。
由于
,且
,
,
,
,则利用费涅耳衍射积分公式,易知
————
(2)
上图中,传输矩阵为T=
,则由
(1)式和
(2)式,知
其中,
为波数,
如果考虑相弯曲因子和附加相移因子,
其中
由此可见,高斯光束传播的等相位面和无介质时相同,即介质不影响等相位面的传播。
即介质不改变高斯光束的等相位面曲率半径和光斑半径。
对于介质中光强
=
而自由空间中P(r,z)=
取
=1,
m,n=1..2,
。
当L=1000mm,,5000mm,10000mm时光强分布曲线
a=1;b=1;n=1.2;m=133/125000*0.001;
L=1000;
k=2*pi/m;
A=a^2*b^4*k^2*n^2/(b^4*k^2*n^2+4*L^2);
r=0:
0.01:
8;
t=0:
0.01:
2*pi;
[rrtt]=meshgrid(r,t);
[x,y]=pol2cart(rr,tt);
z=A*exp(-2*A^2/b^2*(x.^2+y.^2));
mesh(x,y,z)
程序:
L=1000mm
而对于自由空间
a=1;b=1;c=3;
r=0:
0.01:
8;t=0:
0.01:
2*pi;
[rrtt]=meshgrid(r,t);
[x,y]=pol2cart(rr,tt);
z=a^2*b^2/c^2*exp(-2*(x.^2+y.^2)/c^2);
mesh(x,y,z)
程序:
由以上分析知,
1)介质中高斯光束的传播与自由空间高斯光束的传播的等相位面相同,曲率半径相同,光斑半径相同。
2)介质中高斯光束的强度分布不同于自由空间的强度分布,介质中,横截面的强度主要以中心处分布,随着L的增大,强度分布宽度增加,强度减小,但强度分布宽度随L变化较慢。
而自由空间中,随z值的增加,强度分布宽度增加,强度减小。
变化速度比较快。
3)介质中高斯光束的强度分布随介质长度L的变化而变化,由强度表达式也可知高斯光束的强度分布也随折射率的变化而变化。
虽然上述结论是以高斯光束在束腰处进入介质为前提的,但它们是普遍使用的。
2.光束在环形谐振腔中的传播(以三个反射镜组成的谐振腔为例),如图
光束传播途径为M2M3M1M2
图中M2`为M2关于M3的对称反射镜,则从M2经M3到M1的光线等效为从M2’到M1的光线,相关参数如下所示,R1=R2=2L,图中所画光线组成等边三角形,边长为L,则
M2’与M1组成对称共焦腔,如图所示
图二
因此,M1与M3之间仍为高斯光束,只是趋近于M3处上半部分部分的消失,同理,M2与M3之间仍为高斯光束,且情形与M1与M3之间相同,切关于M3的法线对称。
对于M1与M2之间的光束,由费涅耳衍射积分知,此时,
角不再是趋于0,而是
,故1+
而是
,故所得积分结果只是差一个
倍,故仍为高斯分布。
故分布图如下
M1和M2镜之间,取两镜中心处为z原点,取基模高斯光束场振幅表达式为:
,只是,
,则横截面内振幅分布曲线如图所示
程序:
>>c=2;
>>w=2;
>>zz=c*exp(-(xx.^2+yy.^2)/w^2);
>>surf(xx,yy,zz);
>>t=linspace(0,pi,100);
>>r=0:
0.05:
5;
>>[tt,rr]=meshgrid(t,r);
>>[xx,yy]=pol2cart(tt,rr);
横截面内相位分布:
程序:
>>t=linspace(0,2*pi,1000);
>>rh=0:
0.001:
4;
>>[tt,rr]=meshgrid(t,rh);
>>[x,y]=pol2cart(tt,rr);
>>r=4;
>>z=real(sqrt(r^2-(x.^2+y.^2))-r/2);
>>mesh(x,y,z);%曲面圖
M1与M3之间,取M3与轴线交点为z原点,如图二,由分析知对轴线上半部分在
,在 >w(z)时光斑半径取w(z)。 而下半部分正常。 所以在 基模的振幅分布为 程序: t1=linspace(0,pi,100); t2=linspace(pi,2*pi,100) r=0: 0.05: 2; [tt,rr]=meshgrid(t1,r); [th,rh]=meshgrid(t2,r); [xx,yy]=pol2cart(tt,rr);上半部分 [x,y]=pol2cart(th,rh); c=30; w1=2; w2=4; zz=c*exp(-(xx.^2+yy.^2)/w1^2); z=c*exp(-(x.^2+y.^2)/w2^2); surf(x,y,z); surf(xx,yy,zz); 下半部分 在 振幅分布为 >>c=2; >>w=2; >>zz=c*exp(-(xx.^2+yy.^2)/w^2); >>surf(xx,yy,zz); 程序: >>t=linspace(0,2*pi,100); >>r=0: 0.05: 5; >>[tt,rr]=meshgrid(t,r); >>[xx,yy]=pol2cart(tt,rr); 在M2和M3之间,光束传播规律与M1和M3之间相同
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