届云南省曲靖市高三第一次教学质量检测数学文试题解析版.docx
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届云南省曲靖市高三第一次教学质量检测数学文试题解析版
2020届云南省曲靖市
高三第一次教学质量检测数学(文)试题
x|x2
x20,则AIB=(
、单选题
A.{x|x
1}
B.{x|1x1
C.{x|
1x1}
D.{x|1x2}
【答案】
D
【解析】
求出集合
B,直接进行交集运算.
【详解】
由题意得
B{x|
1x2},所以AIB
{x|1x
2},
1•设A{x|x1},B
)
故选:
D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算,属于基础题
2•已知复数z满足1izIV3i,
A.1iB.1i
【答案】A
【解析】因为z旦2(1°
1i(1i)(1i)
(
)
A.
1
1
—
B.-
2
2
3.已知平面向量a,b满足|a|1,b
【答案】C
为虚数单位,则
z等于(
)
厂11■
11.
C.i
D.
i
22
22
1i,所以应选
答案Ao
(—,m),右(a
2
rr
b)(a
r
b),
则实数m等于
C.3
D.
2
2
【解析】由向量垂直推出数量积关系,列出方程代入靑|1即可得解.
【详解】
因为(ab)
(sib),所以(ab)
(a
b)0,得|a|2
|b^
0,又
2
|b|22
m2,而|a|1,代入|
a|2
r22
|b|0,得m
3
所以m
2
4
2
【点睛】
本题考查由向量的垂直关系求参数,属于基础题.
06
4.设alog1.10.5,blog1.10.6,c1.1.,则()
A.abcB.bcac.cabD.bac
【答案】A
【解析】先利用函数的单调性比较a与b的大小,再利用中间量比较c与a、b大小.
【详解】
解:
因为对数函数ylogi.ix在区间0,上单调递增,且0.50.61,
所以ab0,
又1.10.61.10即c1,
所以abc,
故选:
A
【点睛】
本题考察比较大小,属基础题,比较三者的大小时常用中间量(0、1)法,属于基础题.
5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:
“今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.”意思是:
“现有一根金锤,长5尺,头部1尺,重4斤,
尾部1尺,重2斤”,若该金锤从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,该金锤共重多少斤?
()
A.6斤B.7斤C.9斤D.15斤
【答案】D
【解析】直接利用等差数列的求和公式求解即可•
【详解】
因为每一尺的重量构成等差数列an,a14,a2,
a1a56,
数列的前5项和为S55引一a55315.
2
即金锤共重15斤,
故选D.
【点睛】
本题主要考查等差数列求和公式的应用,意在考查运用所学知识解答实际问题的能力,
属于基础题.
6•设光线通过一块玻璃,强度损失10%如果光线原来的强度为kk0,通过x块
这样的玻璃以后强度为y,则y
0.9x
xN,那么光线强度减弱到原来的
时,至少通过这样的玻璃块数为(
(参考数据:
1g3
0.477)
A.9
B.10
C.11
D.12
【答案】C
【解析】根据题意列出不等式,得
x
0.9
转化为
輕,代入题目所给数值
2lg31
即可求出范围.
【详解】
由题意得k0.9xk(k
3
0),化得0.9x
,两边同时取常用对数,
1
可得xlg0.9lg,因为
3
lg0.90,
所以x
ig0.9
ig3
2lg31
0.4771037,则至少通过11块玻璃,
0.046.
故选:
C.
【点睛】
本题考查实际问题中的指数函数模型y
意结合已知条件中给定的值对应求解.
7.已知F为抛物线y2=4x的焦点,过点
则||FA|-|FB||的值等于()
A.8.2B-8
N(1p)x,解题时常常用到对数运算,要注
F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,
C.4、2D.4
【答案】C
【解析】将直线方程yx1代入抛物线方程,根据根与系数的关系和抛物线的定义即
可得出IIFAFB||的值.
【详解】
y24x
F(1,0),故直线AB的方程为y=x-1,联立方程组『,可得x2-6x+1=0,
yx1
设A(X1,yj,B(X2,y2),由根与系数的关系可知X1+X2=6,X1X2=1.
由抛物线的定义可知:
|FA|=xi+1,|FB|=X2+I,
-|FB||=|x1-X2|=:
X1X224X\X23644,2.
故选c.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.
8•图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1号到16号的同学的成绩依次为A,
A2,,A16,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图,那么该
1
6
9
8
1
376
?
2
95176
10
P
12
11
4
A.10
B.6
程序框图输出的结果是()
【答案】A
90分的学生人数,然后从茎叶图中将
【解析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于
不低于90分的个数数出来,即为输出的结果.
【详解】
A
76,i
1,i
16成立,
A1
90不成立,i
112;
A2
79,i
2,i
16成立,
A2
90不成立,i
i112;
LL
L
A7
92,i
7,i
16成立,
A
90成立,n
011,i718;
依此类推,上述程序框图是统计成绩不低于90分的学生人数,从茎叶图中可知,不低
于90分的学生数为10,故选A.
【点睛】
本题考查茎叶图与程序框图的综合应用,理解程序框图的意义,是解本题的关键,考查理解能力,属于中等题.
Inx4
9.函数f(x)的大致图象是(
【答案】A
【解析】先判断函数奇偶性,再结合零点排除选项
【详解】
函数f(x)
吐为奇函数,
x
排除B,C;
又函数
f(x)—的零点为-1和1,
x
故选:
A.
【点睛】
本题考查具体函数图像的判别,
属于基础题
10.已知函数
f(x)
13
ax
3
-bx2x(a
2
0,b
0)在x1处取得极小值,则27ab2的
最大值为(
A.27
B.9
C.
D.1
【答案】C
【解析】由极值点处导数为零求得a
1,从而将ab2表示为关于b的三次函数,再
次利用导数求出函数的最值,即可得解
【详解】
由f(x)
131.2
-ax-bxx可得f
32'
2
ax
bx1,则f1a
1,所以ab2(1b)b2
b3
232
b,记g(b)bb,0
则g(b)
3b22b,令g(b)0,
解得
2
b,所以gb在区间
3
2
0,上单调
3
递增,
2
在区间J上单调递减,9%
4
27,此时27ab24,
故选:
C.
【点睛】
本题考查利用导数判断函数的单调性及求解函数最值,属于中档题
22
11.已知双曲线M:
冷笃
ab
1(a0,b0)的渐近线均和圆
N:
x2
y26x
0相切,
且双曲线M的右焦点为圆N的圆心,则双曲线M的离心
率为(
c.3
D.、,2
【答案】
【解析】
由题意因为圆N:
x2
2
y6x50把它变成圆的标准方程知其圆心为
(3,0),
利用双曲线的右焦点为圆
N的圆心及双曲线的标准方程建立a,b的方程•再
利用双曲线
2
b1(a0,b
0)的两条渐近线均和圆N:
x2
y26x50相切,
建立另一个
b的方程.
【详解】
N的圆心N3,0,半径r=2
•••双曲线M的右焦点坐标为3,0,
即c3,则a2b29①
又•••双曲线M的一条渐近线方程为
bxay0,
•••点N到渐近线的距离等于半径,即
3b
扁2匕22,化得4a
5b2②
联立①②解得:
a'一5,b
•••该双曲线M的离心率为e
35
5
故选:
A
【点睛】
此题重点考查了直线与圆相切的等价条件,
还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程
的思想进行解题,属于中档题.
12.在四面体ABCD中,ABBD
ADCD
3,ACBC4,用平行于AB,
CD的平面截此四面体,得到截面四边形
EFGH
,则四边形EFGH面积的最大值为
A.-
B.
C.
D.3
【答案】B
【解析】根据线面平行的性质可知
GH//AB,EF//AB,GF//CD,EH//CD,
因为ADCD3,AC
BC4,故ABCD,所以四边形为矩形,设
BF:
BDBG:
BCFG:
CD
x,0x1,建立二次函数关系求解四边形面积的
最大值.
【详解】设截面分别与棱AD,BD,BC,AC交于点E,F,G,H.由直线AB//平面EFGH,
且平面ABCI平面EFGHGH,平面ABD平面EFGHEF
得GH//AB,EF//AB,所以GH//EF,
同理可证EH//FG,所以四边形EFGH为平行四边形,
又AB
BD
AD
CD
3,
AC
BC
4,
可证得
AB
CD,
四边形
EFGH为矩形.
设BF
:
BD
BG:
BCFG:
CD
x,0
x1,
则FG
3x,
HG
31
x,
于是
SEFGH
FG
HG
9x(1
x)
9
1x-
2
-,0x1
2
4
1
当x时,四边形EFGH的面积有最大值
2
故选:
B.
【点睛】
线面平行的性质,二次函数求
本题考查了运用四面体中的对称性来证明四边形是矩形,
最值,属于较难题•
二、填空题
13.等比数列an的前n项和为Sn,且4a,,2a2,a3成等差数列,若a,1,则
S4
【答案】15.
【解析】由题意得4a24印a34q4q2
q2S4
124
12
15
x2y50
14.设变量
x,y满足约束条件xy10,贝U2xy的最小值为
y1
【解析】由约束条件作出可行域,当直线
z2xy过点A0,1时,相应坐标值代入
【答案】1
2xy求得最小值
【详解】
x
2y50
由约束条件
x
y10作出可行域如图
y
1
r
■
尉
\1
~M
A
JL
■^*1"0
\
xy10小小
联立,解得A0,1.令z2xy,由图可知,当直线z2xy过点
y1
A0,1时,
z有最小值为1,即2xy的最小值为1,
故答案为:
1.
【点睛】本题考查线性规划,根据约束条件求最值,属于基础题
15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,M是AB的中点,在几何体ADFBCE
内任取一点,则该点在几何体FAMCD内的概率为.
1
【答案】丄
2
【解析】分别计算几何体ADF
BCE与几何体FAMCD的体积,代入几何概型中
的体积概率公式即可得解
【详解】
因为VfAMCD
1S
AMCD
3
DF
13V
49,VADFbCE
1a3,所以该点在几何体
2
FAMCD内的概率为P
故答案为:
【点睛】
本题考查几何概型及柱体、椎体体积,属于基础题
16.已知函数f(x)
xsinx,0x
、x,x
fxx.则方程gx0有
个实数根•
【答案】1
【解析】分类讨论分段函数在每一段上的根的个数
【详解】
当0xn时,g(x)
f(x)x
xsinxx0,得sinx1,解得x
当x时,g(x)f(x)x二x0,此时无解
综上:
方程gx0有1个实数根,且x.
2
故答案为:
1.
【点睛】
本题考查函数与方程的综合应用,属于基础题
三、解答题
17•某市在开展创建“全国文明城市”活动中,工作有序扎实,成效显著,尤其是城市
环境卫生大为改观,深得市民好评.“创文”过程中,某网站推出了关于环境治理和保
护问题情况的问卷调查,现从参与问卷调查的人群中随机选出200人,并将这200人按
年龄分组:
第1组15,25,第2组25,35,第3组35,45,第4组45,55,第5
组55,65,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求出a的值;
(2)若已从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人,现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查,求第2组恰好抽到2人的概率.
3
【答案】
(1)a0.035;
(2)P3
5
【解析】
(1)由频率之和为1列方程求解即可;
(2)列举法确定基本事件即可求出概率.
【详解】
(1)由10(0.0100.015a0.0300.010)1,解得a0.035.
(2)第1,2组的人数分别为20人,30人,从第1,2组中用分层抽样的方法共抽取5
人,则第1,2组抽取的人数依次为2人,3人,分别记为a1,a2,b],b2,b3
设从5人中随机抽取3人,则有a1,a2,b1,c,a2,b2,a1,a2,b^,a1,b),b2,
a1,b,b3,a1,b2,b3,a2,b,b2,a2,b,b3,a2.b2.b3,b,b2,b3共10个基
本事件;
其中第2组恰好抽到2人包含a1.b1.b2,ai,b,b3,a1.b2.b3,a2.b1.b2,
&2山4,a2.b2.b3共6个基本事件,
所以第2组抽到2人的概率P—3
105
【点睛】
本题考查了频率分布直方图及样本的数字特征,条件概率与独立事件以及组合,属于基
础题.
18.已知函数f(x)2sinxcosxt的最大值为1.
3
(1)求t的值;
(2)设锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a22,△ABC
的面积为..3,且f(A)3,求bc的值.
2
由正弦函数的值域列出方程求得t;
(2)由f(A)
乜求得锐角A-,代入三角形
3
面积公式求得
be
4,再利用余弦定理即可求出b
e.
【答案】
(1)t3;
(2)bc2.5
2
【解析】
(1)首先利用两角差的余弦公式化简f(x)得到f(x)=sin2xt3,
32
【详解】
(1)f(x)
2sin
xcosxtsinxcosx
3
.3cosx
2sin2x
cos2x
2
tsin2x3t
•••fx的最大值为
(2「f(A)彳
•••sin
2A-
3
3
,又△ABC是锐角三角形,
2
2A
•2A3
~,由三角形面积公式得,
3
£bcsinA、、3,可得bc4,
由余弦定理
a2b2
c2
2beeosA,
可得8(b
c)23bc,
2
(bc)20,而bc
【点睛】
本题考查了利用两角差的余弦公式化简函数解析式,
运用余弦定理及三角形面积公式解
二角形,属于基础题.
2,它们所在平面互相垂直,FD
19•如图,菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为
平面ABCD,EF//平面ABCD.
(1)求证:
平面ACF平面BDF;
(2)若CBA60,求多面体ADFBCE的体积.
【答案】
(1)见解析;
(2)3
【解析】⑴首先证明ACBD及FDAC,从而证明AC平面BDF,最后推出平面ACF平面BDF;
(2)将空间几何体分解为一个三棱锥和一个四棱锥,分别根据已知条件找出两个空间几何体的高,然后求得体积
【详解】
(1):
ABCD是菱形,•••ACBD,
•••FD平面ABCD,•FDAC,
•••BDFDD,•AC平面BDF,
•/AC平面ACF,•平面ACF平面BDF
(2)多面体ADFBCE由四棱锥FABCD和三棱锥FBCE组合而成,
在四棱锥FABCD中,•••FD平面ABCD,•高为DF.
取BC中点G,连接GE,GD,GA(如图),则EG平面ABCD,
又EF//平面ABCD,•DFEG是矩形,DFGE,3.
•••菱形ABCD的边长为2,CBA60,
…S菱形abcdBABCsinABC
VFABCD
1
3S菱形ABCDDF
3
1
3
2.3
.32.
SBCE
11
丄BCEG-
22
2
3
,三棱锥FBCE的高即AG-3,
VFBCE
1
—SvbCEAG
1
3
3
1,所以多面体ADFBCE的体积为3
3
3
【点睛】
本题考查面面垂直的证明,锥体体积的计算,找准底面与高是关键,属于中档题•
20•已知函数f(x)aex,g(x)lnxIna,其中a为常数,e是自然对数的底数,
曲线yfx在其与y轴的交点处的切线记作Il,曲线ygX在其与x轴的交点处
的切线记作l2,且l1//l2.
(1)求Ii,l2之间的距离;
xm
(2)若存在x使不等式帀
、、x成立,求实数m的取值范围•
【答案】
(Dd2;
(2)
0
【解析】
(1)由导数的几何意义求出f0
1
a,ga,因为I1//I2,所以切线斜率
a
相等求出
a,求得两直线的方程,
代入两平行直线间的距离公式即可得解;
(2)不等式
化简为
•、、xex,令h(x)x
代ex,利用导数求出h(x)的最大值,根据不等式有
解即可求出
m的取值范围•
【详解】
(1)函数
f(x)
aex的图像与
y轴的交点为0,a,函数y=g(x)的图像与x轴的交
点为a,0
x
ae,
g(x)
••T1//I2,•f0g
a,得a-,又•••a0,•a1.
a
二f(x)ex,g(x)lnx,.•.切线h过点(巧,斜率为k1f(0)e'
切线l2过点1,0,斜率为k2g
(1)1,
l1:
xy10,l2:
xy1
.•两平行切线h,l2间的距离d
|1
(1)1
12
(1)2
"2)由f(x)
xmG,得—m
x
e
xixex在x0时有解,令
h(x)
x,xex,则只需m
h(x)max,
0时,m0;
0时,可求得h(x)1
2—x2J—x
2,当且仅当x
-时取等号
2
,而ex1,
1_
e.2,故h(x)1J20,
2.x
即h(x)
•函数hx在区间0,上单调递减,故h(x)maxh(0)
•••实数m的取值范围为(-?
0).
【点睛】
本题考查导数的几何意义,函数的极值与最值以及均值不等式,属于中档题
22
xy
21•已知椭圆21(ab0)的长轴是短轴的两倍,以短轴一个顶点和长轴
ab
一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于,5,直线i与椭圆c交于
AXi,yi,BX2,科2两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点O作直线I的垂线,垂足为
D若OAOB,求动点D的轨迹方程.
2
【答案】
(1)—y21;
(2)x2
【解析】⑴由题意知a2b,、.、a
4
2b25,即可求得椭圆方程;
(2)先考虑直线斜
率存在时,设直线的方程为ykx
m,与椭圆方程联立,结合向量的垂直关系即可求
得mk的关系式,
从而求得|0D|
亠5,再验证斜率不存在时也满足,则可求得点D
5
的轨迹方程•
【详解】
(1)由题意知,
a2b
■a~b2
解得
22
,所以椭圆C的方程为—y21
14
(2)当直线I
的斜率存在时,
设直线
的方程为ykxm,
ykxm
由x2
消去y整理得1
1
4k2x28kmx4m21
0,根据题设有:
2
2
8km
4m21
1614k
m
0且
x
X2
2,
14k2
14k2
uun
uuu
OAOB,•‘
OA
OB
0,
即
X1X2y°2
0,
将y1kx1m,y2
kx2m代入,化得km禺x?
1k2x1x2m20,
把x1x2
8km
2?
14k
4m21
14k2
代入整理得:
5m2
4k21,
x1x2
-5-5
当直线
的斜率不存在时,设l:
x
x
t'由x2
1得心
1:
),B(t,
•••OA
OB,二|0A|2|OB|2
2^/5
|AB|2,解得|t|,•••|OD||t|
5
2_5
5
所以动点
D的轨迹是以原点O为圆心,半径为2卫的圆,方程为x2y2
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