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极限思想的产生与发展

极限思想的产生与发展

内容摘要：

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，合理应用极限思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究。

关键词：

极限思想产生发展概念

目录

第一章极限思想的产生与发展1

1.1极限思想的产生1

1.2极限思想的发展1

1.3极限思想的完善4

1.4极限的概念4

1.5极限思想的思维功能5

结论19

参考文献

致谢21

极限思想的产生与发展

1、极限思想的产生

极限思想的产生，是社会发展，科学进步的客观需求。

是人在探索改造自然过程中逐渐形成的一新的思想方法。

极限的思想可以追溯到古代，在《庄子·天下篇》中有：

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是:

长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。

这样一直进行下去,留下来的木棒越来越短,可以再分的部分越来越小,一直到无穷小不可以再切割,但永远不会消失。

公元前5世纪，有关无穷小的概念就已经作为希腊人关于什么是世界的设想而进入了数学思潮，而希腊数学家所普遍接受的观点则是阿拿萨哥拉提出的：

“在小的当中不存在最小的，但总有更小的”。

对于以严密著称的古希腊来说，古希腊学者观念上不能摆脱对无限的恐惧，而是借助于其它的方法来完成有关的证明。

刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：

“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

”意思是说：

把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：

1，这个比率是不变的。

（如图1）

图1

刘徽对此的证明运用了出入相补原理和无穷分割求和原理，具体如下：

把阳马和鳖臑沿各边的中点做进一步的分割（如图2），这样就把阳马分成了2个小阳马，1个小立方体和2个小堑堵；把鳖臑分成了2个小鳖臑和2个小堑堵。

先把2个小阳马和2个小鳖臑放一边，则各自剩下的部分体积比显然为2：

1。

再将放一边的小阳马和小鳖臑做同样的分割，则可得到更小的阳马、立方体、堑堵和鳖臑，把4个小小阳马和4个小小鳖臑放一边，各自剩下的部分体积比仍然为2：

1。

此过程可以无限的做下去，直到剩余部分体积为0。

而整个过程中各自剩下部分体积比总为2：

1。

这样刘徽就证明了“不易之率”。

图2

到了16世纪，通过对三角形重心问题的深入研究荷兰数学家斯泰文，借助更为直观的几何问题，放弃了古希腊人的证明方法，通过极限的思想及其方法，解决了问题。

从而他提出要把极限思想方法发展成为一门可以在社会各个领域中应用的思想方法。

数学家拉夫纶捷夫曾说：

“数学极限方法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。

”

提到极限思想，就不得不提到著名的芝诺悖论。

他提出著名四个悖论：

（1）一个从

点出发要到

点去的人，首先要到达的地方是

，接下来要到达的地方是

，接下来要到达的地方是

……如此循环下去，这个人永远不能走到终点。

（2）设想有一支飞行的箭矢，在每一瞬时的时间点，它位于空间中的一个特定位置。

由于时间是瞬时的，不连续的时间点，箭在每个时刻都没有运动而只能是静止的。

由于整个运动的时间是有无限个时间点组成的，而在每个时间点箭又只能静止，所以芝诺断定，飞行的箭在每一个时间点上是静止不动的。

（3）游行队伍问题，首先假设在操场上，有三列观众（图2.3.1），在一瞬间（一个极短的时间里）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位（图2.3.2）。

而此时，对队列B来说队列C向左移动了两个距离单位。

也就是，队列既可以在一瞬间（一个极短的时间里）里移动一个距离单位，也可以在半个极短时间里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。

因此他得出队列是不可能移动的。

（4）著名的阿基里斯悖论:

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。

在他和乌龟的竞赛中，乌龟的速度为他的十分之一，他在乌龟后面100米处追乌龟，但他永远也追不上乌龟。

在比赛中，阿基里斯必须先达到乌龟的起点100米处，当阿基里斯到达乌龟的起点处，乌龟又已经向前方前进了10米，于是，对于阿基里斯来说又产生了一个新的需要到达的起点；阿基里斯若要追赶上乌龟就必须再一次到达乌龟的新起点，而当他再一次追乌龟到达乌龟新的起点处，乌龟又已经向前方前进了1米，阿基里斯只能在次到大乌龟的新起点才能追上乌龟。

就这样一直下去，只要乌龟在前进，就会有新的起点产生，阿基里斯总是有新的起点需要到达，这样，不管阿基里斯如何努力，只要乌龟不停的前进，阿基里斯就不会追上乌龟。

芝诺悖论的错误在于:

（1）对于时间做了限定，在速度不能改变的情况下，路程就不可以改变。

（2）对于时间与空间的分割，无论你能分的多么小，但其大小仍然存在，不能变成无（第二次数学危机）：

无限小是没有还是一个非常非常小的数，结果证明无限小是大于0的。

芝诺悖论的顺利解决对于极限思想的发展和普及起了至关重要的作用，为微积分的出现提供了条件。

在我国古代，刘徽和祖冲之计采用“割圆术”来计算圆周率的过程中，也应用了极限的思想。

所谓“割圆术”，就是用半径为

的圆的内接边数为

的正多边形，而正多边形的边数一倍一倍地增多时，正多边形的面积

就越来越接近于圆的面积

。

在可以控制的范围内，把圆的面积用正多边形的面积来计算，只能得到与圆面积相似的结果，却不能得到精确的结果。

但是如果可以无限制的一直继续下去的话，正多边形的面积越来越接近圆的面积，就可以精确的等到圆的面积。

2、极限思想的发展

16世纪，欧洲开始出现资本主义萌芽，生产力得到进一步的解放，生活中出现了大量不能用以前的数学方法解决的新问题，例如怎么得到曲线的切线，如何求解最大值与最小值问题，物理学发展中所遇到的一些问题等，这就要求数学家突破传统的观念，而找到一种更为先进的思想方法和一套能用于解决这些问题的理论体系，数学家们开始进入极限思想的领域深入研究。

这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

17世纪上半叶，随着数学家们深入的研究，他们用不同的方式接近了微积分的大门，从这一时期开始，极限开始与微积分形成了难以割舍的关系，并且最终成为微积分的直接基础。

尽管极限的概念已经被明确的提出来，可是它是建立在在直观几何的基础上的极限，用直观的表述来定义的极限，与用严谨的数学语言所定义的极限相比还有不足。

众多数学家为解决上述问题做了不懈的努力，十七世纪下半叶，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别建立了自己的微积分学说。

在微积分中充满了极限的思想方法与计算过程。

而微分学和积分学是数学分析的基本内容，微积分的概念是通过极限来定义的，但在当时，这些概念还没有明确的，统一的，严谨的数学定义，他们的理论常常会遇到无法解决自己所提出的问题的尴尬情况。

起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。

在牛顿的《流数简论》中，他把曲线

定义为欲动的点的轨迹，动点

是随着时间变化的量，而动点的切向速度和法向速度分别用x和y来表示，牛顿称之为流数，也就是x和

对时间

的导数。

牛顿用路程的改变量

与时间的改变量

之比

表示运动物体的平均速度，当

无限接近为

时，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。

他说：

“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。

但牛顿的极限观念也是建立在直观几何基础上的，因此他不能通过具有严谨性的，逻辑性的数学语言来定义。

牛顿所提出的极限理论，更为接近以下定义：

“如果当变量趋近于无穷时，所得到的函数值无限地接近固定常数

，那么就说函数以

为极限”。

牛顿所定义的极限与现代精确的极限定义相比，更容易被人们所接受，现代的一些初等的著作中还在沿用牛顿所定义的极限定义。

但是，这种由直观的几何学所得来的极限定义，缺乏数学应具备的严谨性，逻辑性，不能够满足数学所要求的严密性，但是牛顿和莱布尼茨所作的贡献为微积分和极限思想的完善创造了良好条件。

由于16到17世纪初期，极限理论仍没有严格的定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟

是否等于零?

如果等于零，如何用它去作除法?

如果不等于零，怎么才能把包含着它的那些项去掉呢?

这就是数学史上所说的无穷小悖论。

3、极限思想的完善

随着微积分定义与理论的严格化，极限思想的理论也变得完善起来。

在很长一段时间里，很多人都尝试解决微积分中所遇到的各种问题，但是都没有成功。

这是因为所要研究的对象发生了改变，由以前的常数量变为现在的非常量，但当时人们对变量的数学还没有有基本的理论研究基础，一切都在探索中进行，没有掌握其中的规律；这样，在变量数学中，人们还在沿用解决常量数学的基本思想方法，不能与时俱进适应新的数学领域的思维方式，不能改变传统的守旧思想，沿用常量数学的基本理论说明不了这种无和非无的辩证关系。

到了18世纪，达朗贝尔、罗宾斯、罗依里埃等人都明确地表示微积分的基础是极限理论，每个人都给出了自己对于极限的定义。

其中达朗贝尔的定义是：

“若有一个量比所有的量都更为接近所给定的量，那么就说这个量是所给定量的极限”，这个定义更为接近极限的严谨性，逻辑性定义；但是，由于当时对极限的认识还是基于直观的几何，所以不能得到正确的，更有数学严谨性的定义。

捷克数学家波尔查诺最先用极限的理论给出了倒数的明却定义，他把差商

的极限定义为函数

的导数，表示为

，他指出

不是

。

他所提出的理论对于极限思想理论和微积分的发展做出了重大贡献，但是，他仅仅是指出极限的形式是什么样的，没有给出什么是极限。

到了19世纪，法国数学家柯西通过总结以前的极限和微积分理论，给出了相对完整的极限定义，他在《分析教程》中指出：

“对于一个所给定的定值，有一个变量无限的趋近于这个定值，最终这个变与所给定的定值无限的相近时，这个定值就叫做所给定的所有趋近这个定值的变量的极限，特别地，当一个变量的值无限趋近于0时我们就说这个变量是无穷小”。

柯西认为，无穷小就是变量无限的趋近于0，柯西所给出的极限的定义是比较明确的。

可是柯西的定义中仍然存在直观性的表达词语，如“无限趋近”等，因此柯西所给出的极限定义仍然跟随着牛顿等人所用的描述性定义的脚步，没有数学理论所应该具有的严谨性，逻辑性，客观性，一般性的特点。

为了给出极限更为精确，一般性的定义，刨除前人所用的描述性定义所具有的直观性效果，维尔斯特拉斯给出了极限的数学语言精确的定义，为微积分的严格化提供了先行条件。

就是指：

“如果对

，总存在自然数

，使得当

时，不等式

恒成立，我们就说

以

为极限”。

这个定义，用严谨的数学语言，以

和

之间相互联系，定量地、具体地描述了极限的正确定义。

这样的定义是具有严谨性，和逻辑性的，符合数学定义的基本要求，保证了定义的正确性，一般性，逻辑性。

能够用它来作为科学的基本理论依据，维尔斯特拉斯所给出的极限定义至今仍在各种书籍中被应用。

在这个极限的定义里，给出的只有数字和各种数学符号所串联起来的精确性、逻辑性的语句，已经不再沿用前人所定义时应用的描述性词语，不再借助直观几何来进行定义。

众所周知，以前的数学是研究常量的数学，自从微积分的出现，物理学开始与数学密不可分，人们开始对物理学进行数学方式的研究。

当维尔斯特拉斯提出了极限的

，定义后，开创了用静态的数学语言去解释变化的过程。

这种“由静到动再到静”循序渐进式的发展方式，体现了数学思想产生到完善过程的唯物辩证关系。

在此之后，维尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过独立深入的研究，沿柯西开辟的道路，建立起来了严谨的极限理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。

数学分析基础从此逐渐变得完善起来，从而使微积分这门学科成为人类历史发展过程中的一座伟大的里程碑。

4、极限的概念

极限是指无限趋近于一个固定的数值。

极限可分为数列极限和函数极限。

定义1设

为数列，

为定数，若对任给的正数

，总存在正整数

，使得当

时有

则称数列

收敛于

，定数

称为数列

的极限，并记作

或

。

定义2设函数

在点

的某个空心邻域内有定义，

为定数，若对任给

，存在正数

，使得当

时有，

则称函数

当

趋于

时以

为极限，记作

5、极限思想的思维功能

极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。

无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。

无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。

“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。

例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。

为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。

曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：

“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。

善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。

直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。

刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。

量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。

量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。

对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。

这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。

近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。

前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。

这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。

结论

从微积分的产生到极限理论的建立，这个历史过程生动地表明:

任何科学的发展都不是一帆风顺的，要经过长时间不间断的探索，科学的发展是随着社会生产的发展一同进步，但科学的发展同时也制约着生产的发展，当科学的发展不再适应社会的进步，不能满足社会发展的需要，就必须进行创新，每一次创新都将为科学的发展以及社会的发展开创一个崭新的时代，科学的发展是建立在人认识改造自然的基础上的，随着时间的发展，科学技术已经越来越在社会进步的过程中起中流砥柱的作用，科学的发展一定要经过由定性认识转化为定量认识，形成概念和理论的系统，否则，就不可能成为严谨的科学体系，也不能满足生产发展的需要与社会进步的脚步.数学方法只有在发展到概念和理论的系统以后，才能成为生产和科学技术的有力工真.极限理论的建立还给我们以重要的启示，对数和形的概念及其相互繁衍关系的认识，是逐步深化的，只要勇于探索，人们才能更加充分的利用数学为社会带来财富，为生活带来便利。

参考文献

[1]梁宗巨.世界数学通史[M].沈阳:

辽宁教育出版社，1996.

[2]华东师范大学数学系:

数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社.2009.

[3]华东师范大学数学系:

数学分析[M].高等教育出版社.2007.

[4]FinneyWeirGiordano.Thomas’CA

致  谢

此次论文是在老师的悉心指导下完成的。

在导师的耐心的指导下让我本次设计少走了很多弯路，能够按时的完成各项任务。

同时老师的严谨治学、不断探索的科研作风，敏锐深邃的学术洞察力，孜孜不倦的敬业精神，给我留下了深刻的印象，使我受益良多。

生活中老师就是我的朋友，她的态度让我对生活有了新的认识。

特向我敬爱的老师致以最崇高的敬意和深深的感谢！

通过此次设计，一方面让我认识到自己的不足，发现了学习中的错误之处；另一方面又让我积累丰富的知识，更好的学习了他人的方法和经验，大大增强对复杂问题的自主解决能力，摸索出一套解决问题的方法，为将来的工作和学习打下坚实的基础。

再一方面也加强了我和老师的交流，认识到知识的渊博度。

经过这次的努力，使我顺利的完成了毕业设计