圆切线证明的方法.docx

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圆切线证明的方法

.

切线证明法

切线的性质定理:

圆的切线垂直于经过切点的半径

切线的性质定理的推论１:

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

切线的性质定理的推论２:

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线的判定定理:

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线长定理:

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和

圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

ABODABBD＝的直径，点的延长线上，】如图【例11，已知在为⊙OBCCABDCO的切线．是⊙＝30o．求证：

，点在圆上，∠DCOOCOCD＝90o，证明∠的切线，思路：

要想证明只要我们连接是⊙即可．

OCBC．证明：

连接，

C

ACBOAB的直径，∴∠∵＝90o．为⊙A

B

OD

1OBABCABBC∵∠＝＝30o，∴＝．

21

图1OCDBDOBBCOD，∴＝＝90o．∵．∴∠＝

2DCO的切线．∴是⊙【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．

ABOBO的的直径，过点2【例】如图2，已知为⊙作⊙C

D

2可编辑范本4

1

3

A

B

O

2

图

.

BCOCADOCCDO的切线．，连接．求证：

，弦∥切线是⊙思路：

本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CDOODC＝90o即可．的切线，只要证明∠是⊙

OD．证明：

连接OCAD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4∵．∥

OAOD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠∵4＝．

OBODOCOC，＝＝，又∵

OBCODCOBCODC．≌△＝∠．∴∠∴△

BCOOBCODC＝90o．＝90o．∴∠的切线，∴∠∵是⊙DCO的切线．∴是⊙ABOCOADC点为⊙上一点，的直径，和过，已知【例3】如图2为⊙DACDAB．的切线互相垂直，垂足为平分∠．求证：

思路：

利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点D

C

的半径．1

23

A

B

OOC．证明：

连接3

图CDOCCDO是⊙的切线，∴∵．⊥ADCDADOC＝∠12∵⊥，∴∥．．∴∠OAOC．＝∠．∴∠＝∠∵＝，∴∠1323DABAC平分∠．∴在解决【评析】切线的位置一般是确定的．已知一条直线是某圆的切线时，可编辑范本

.

有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．

BCOABOAC、1，上的点，线段、，连接是⊙经过圆心【例4】如图BCCCDABDACDBACO的切线吗？

为什么？

．，∠，过点作=2⊥∠于是⊙ACO的切线．解：

是⊙

OC，理由：

连接OCOB，=∵

BOCB∠∴∠．=BOCCOD是△∵∠的外角，BOCBCODB∠．=2∴∠∠=∠+BACD∵∠，=2∠

CODACD．=∠∴∠DCDAB于∵，⊥CODDCO+∠∴∠=90°．ACDDCO∠∴∠=90°．+ACOC⊥即．OC上的点，为⊙∵OAC∴的切线．是⊙ABDABCAB是如图2的外接圆，，已知⊙Ｏ是△是⊙Ｏ的直径，【例5】

EABEACAEDCDC．求的延长线上的一点，，且⊥交平分∠的延长线于点ODE是⊙证：

的切线．

OCOCOA证明：

连接，则=，可编辑范本

.

CAOACO，∠∴∠=

ACEAB，平分∠∵

EACCAOACＯ，=∴∠∠=∠AECO，∴∥

AEDE，又⊥

CODE，∴⊥

DEO的切线．是⊙∴二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径

OB=OCOABD．边相切于点，⊙与6】如图3，AB=AC，【例

EOEACOD⊥．证明:

连接，垂足为，作OCOBAB=AC,．=∵EAODAO=BAC角平分线，∠∠∴AO为∠DABO相切于点∵⊙，与CEOBDO∠AO=AO∴∠=90°．∵=ODOEADOAEO≌△=，所以．∴△OOOEOD的半径，∴的半径．∵是⊙是⊙ACO与边相切．∴⊙，交于DOAB为直径的⊙交BCAB=AC【例7】如图，在△ABC中，，以

延长线于F.ODEAC于，B为切点的切线交相切EF与⊙O.求证：

，连结证明：

OEAD.可编辑范本

.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=BC，

∴∠3=∠4.

⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.

又∵OB=OE，OF=OF，

∴△BOF≌△EOF（SAS）.

∴∠OBF=∠OEF.

∵BF与⊙O相切，

∴OB⊥BF.

∴∠OEF=90.0∴EF与⊙O相切.

说明：

此题是通过证明三角形全等证明垂直的

【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：

PA与⊙O相切.

证明一：

作直径AE，连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=90.0

可编辑范本

.

∴∠1+∠EAC=90.即OA⊥PA.0∴PA与⊙O相切.

证明二延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.：

∵ADBAC的平分线，是∠⌒⌒

∴BE=CE，

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=90.0∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：

此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.

【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：

DM与⊙O相切.

证明一：

连结OD.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵OB=OD，

可编辑范本

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B.∴∠1=∠

1=∠C.∴∠

OD∥AC.∴

D

，DM∵⊥AC

OD.∴DM⊥

相切∴DM与⊙O，AD.证明二：

连结OD

AB是⊙O的直径，∵∴AD⊥BC.又∵AB=AC,1=∠2.∴∠

AC，∵DM⊥

4=90∠∴∠2+0

，∵OA=OC

3.1=∠∴∠

4=90.3+∴∠∠0DM.⊥即OD的切线∴DM是⊙O

证明二是通过证两角互余证明垂直.说明：

证明一是通过证平行来证明垂直的.的，解题中注意充分利用已知及图上已知，且∠C点在⊙O上，CAB=30的直径，是⊙已知：

10【例】如图，ABO0ABDBD=OB，在的延长线上.可编辑范本

.

求证：

DC是⊙O的切线证明：

连结、BC.OCOA=OC，∵

.1=∠30∴∠A=∠0∠1=60.∴∠BOC=∠A+0OC=OB，又∵.是等边三角形∴△OBCOB=BC.∴D

∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴⊥CD.OC的切线.∴DC是⊙O

说明：

此题解法颇多，但这种方法较好.=ODOA·OP.是⊙12】如图，ABO的直径，CD⊥AB，且【例2的切线.O求证：

PC是⊙连结OC证明：

∵OA=OD·OPOA=OC，，2，=ODOC·OP∴2OPOC?

.OCOD又∵∠1=∠1，

∴△OCP∽△ODC.

∴∠OCP=∠ODC.

可编辑范本

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∵CD⊥AB，

∴∠OCP=90.0∴PC是⊙O的切线.

说明：

此题是通过证三角形相似证明垂直的

【例13】如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：

CE与△CFG的外接圆相切.

分析：

此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.

OC.O，连结证明：

取FG中点是正方形，∵ABCD

Rt△CD，△CFG是∴BC⊥FG的中点，∵O是

.△CFG的外心∴O是Rt

，∵OC=OG

，∠G∴∠3=

BC，∵AD∥

4.∴∠G=∠

，，DE=DE∵AD=CD，ADE=∠CDE=45∠0）（≌△∴△ADECDESAS可编辑范本

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∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=90,0∴∠1+∠2=90.0即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：

“作垂直；证半径”

【例14】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：

AC与⊙D相切.

.，F是垂足DE，作DF⊥AC证明一：

连结的切线，是⊙D∵AB

⊥AB.∴DE

AC，∵DF⊥

DFC=90.∴∠DEB=∠0AB=AC，∵

C.∴∠B=∠

，又∵BD=CD

AAS）BDE∴△≌△CDF（

∴DF=DE.

.D上∴F在⊙

是⊙D的切线∴AC是垂足，⊥，作，连结证明二：

DEADDFACF.可编辑范本

.

∵AB与⊙D相切，

∴DE⊥AB.

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠1=∠2.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF.

∴F在⊙D上.

∴AC与⊙D相切.

说明：

证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.

【例15】已知：

如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=90.0求证：

CD是⊙O的切线.

证明：

连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.

∵AC，BD与⊙O相切，

OB.BD⊥⊥∴ACOA，BD，AC∵∥∠BDO.∴∠F=，又∵OA=OB

AAS）≌△∴△AOFBOD（OF=OD.∴，COD=90∵∠0可编辑范本

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∴CF=CD，∠1=∠2.

又∵OA⊥AC，OE⊥CD，

∴OE=OA.

∴E点在⊙O上.

∴CD是⊙O的切线.

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