高考数学一轮复习第三章三角函数33函数yAsinωx+φ的图象和性质讲义.docx
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高考数学一轮复习第三章三角函数33函数yAsinωx+φ的图象和性质讲义
2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数3.3函数y=Asinωx+φ的图象和性质讲义
考点
内容解读
要求
五年高考统计
常考题型
预测热度
xx
xx
xx
xx
xx
1.函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.利用图象求表达式
2.利用图象求参数
A
填空题
解答题
★★☆
2.函数y=Asin(ωx+φ)的性质
1.求单调区间
2.求值域与最值
3.利用单调性、周期性、奇偶性求参数
A
填空题
解答题
★★☆
分析解读 江苏高考对本节内容要求较低,近年没有考查.但是复习时仍要以本部分知识为载体,巩固数形结合思想和函数的相关性质.
五年高考
考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.(xx天津文改编,8,5分)已知函数f(x)=sin2+sinωx-(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是 .
答案 ∪
2.(xx山东理,16,12分)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.
解析 本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.
(1)因为f(x)=sin+sin,
所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx
=sinωx-cosωx=
=sin.
因为f=0,所以-=kπ,k∈Z.
故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.
(2)由
(1)得f(x)=sin,
所以g(x)=sin=sin.
因为x∈,所以x-∈,
当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.
考点二 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
1.(xx陕西改编,2,5分)函数f(x)=cos的最小正周期是 .
答案 π
2.(xx北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为 .
答案 π
3.(xx北京文,16,13分)已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求证:
当x∈时,f(x)≥-.
解析
(1)f(x)=cos2x+sin2x-sin2x
=sin2x+cos2x
=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)证明:
因为-≤x≤,
所以-≤2x+≤.
所以sin≥sin=-.
所以当x∈时,f(x)≥-.
4.(xx山东,17,12分)设f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.
解析
(1)f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2
=2sin2x-(1-2sinxcosx)
=(1-cos2x)+sin2x-1
=sin2x-cos2x+-1
=2sin+-1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由
(1)知f(x)=2sin+-1.
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到y=2sin+-1的图象,
再把得到的图象向左平移个单位,
得到y=2sinx+-1的图象,
即g(x)=2sinx+-1.
所以g=2sin+-1=.
5.(xx北京,16,13分)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解析
(1)因为f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx
=sin,ω>0,(3分)
所以f(x)的最小正周期T==.(4分)
依题意,=π,解得ω=1.(6分)
(2)由
(1)知f(x)=sin.
函数y=sinx的单调递增区间为(k∈Z).(8分)
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).(12分)
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(13分)
教师用书专用(6—9)
6.(xx天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解析
(1)由已知,有
f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin.
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=,所以,f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.
7.(xx湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:
℃)随时间t(单位:
h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差;
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
解析
(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,
又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.
当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
(2)依题意,得当f(t)>11时实验室需要降温.
由
(1)得f(t)=10-2sin,
故有10-2sin>11,
即sin<-.
又0≤t<24,因此 在10时至18时这段时间内实验室需要降温. 8.(xx陕西理,16,12分)已知向量a=,b=(sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=a·b. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在上的最大值和最小值. 解析 f(x)=·(sinx,cos2x) =cosxsinx-cos2x =sin2x-cos2x =cossin2x-sincos2x=sin. (1)f(x)的最小正周期为T===π, 即函数f(x)的最小正周期为π. (2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤. 由正弦函数的性质,知 当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1. 当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-, 因此,f(x)在上的最大值是1,最小值是-. 9.(xx天津理,15,13分)已知函数f(x)=-sin+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 解析 (1)f(x)=-sin2x·cos-cos2x·sin+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2sin, 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)f(x)在区间上是增函数,在区间上是减函数.又f(0)=-2,f=2,f=2,故函数f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-2. 三年模拟 A组 xx模拟·基础题组 考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 1.(xx江苏东台安丰高级中学月考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,所得图象的解析式为y= . 答案 sin 2.(xx江苏扬州中学月考,13)将y=sin2x的图象向右平移φ个单位(φ>0),使得平移后的图象仍过点,则φ的最小值为 . 答案 3.(苏教必4,二,3,变式)已知函数y=3sinωx(ω>0)的周期是π,将函数y=3cos(ω>0)的图象沿x轴向右平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则函数f(x)= . 答案 3sin 4.(xx江苏盐城期中,16)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,且A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示. (1)求A,ω,φ的值; (2)设θ为锐角,且f(θ)=-,求f的值. 解析 (1)由题中图象,得A=, 最小正周期T==π,∴ω==2, ∴f(x)=sin(2x+φ), 由f=-,得2×+φ=-+2kπ,k∈Z, ∴φ=-+2kπ,k∈Z,∵0<φ<π,∴φ=. (2)由f(θ)=sin=-,得sin=-, ∵θ∈,∴2θ+∈, 又sin<0,∴2θ+∈, ∴cos=-=-, ∴f=sin2θ=sin = ==. 考点二 函数y=Asin(ωx+φ)的性质 5.(苏教必4,二,3,变式)已知函数y=,以下说法正确的序号是 . ①函数的周期为;②函数是偶函数;③函数图象的一条对称轴为直线x=;④函数在上为减函数. 答案 ③ 6.(xx南京、盐城第二次模拟考试,7)将函数f(x)=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)+g(x)的最大值为 . 答案 B组 xx模拟·提升题组 (满分: 25分 时间: 10分钟) 一、填空题(每小题5分,共10分) 1.(xx江苏盐城高三(上)期中)设函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示,若f(α)=,则f的值为 . 答案 2.(xx江苏镇江一模,9)函数y=asin(ax+θ)(a>0,θ≠0)的图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为 . 答案 2 二、解答题(共15分) 3.(xx江苏扬州中学质检,15)在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(,1),点N的坐标为(cosωx,sinωx),其中ω>0,设f(x)=·(O为坐标原点). (1)若ω=2,∠A为△ABC的内角,当f(A)=1时,求∠A的大小; (2)记函数y=f(x)(x∈R)的值域为集合G,关于x的不等式x2-mx<0的解集为集合P.当P⊆G时,求实数m的最大值. 解析 (1)当ω=2时,f(x)=·=sin2x+cos2x=2sin. 当f(A)=1时,sin=, ∵∠A为△ABC的内角,
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