高中数学新学案同步 必修3北师大版 第三章 概率11.docx

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高中数学新学案同步必修3北师大版第三章概率11

§1　随机事件的概率

1.1　频率与概率

学习目标

　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.3.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题．

知识点一　随机事件

思考　抛掷一粒骰子，下列事件，在发生与否上有什么特点？

（1）向上一面的点数小于7；

（2）向上一面的点数为7；

（3）向上一面的点数为6.

答案　

（1）必然发生；

（2）必然不发生；（3）可能发生也可能不发生．

梳理　事件的概念及分类

事件

确定事件

不可能事件

在某条件下，一定不会发生的事件，叫作相对于此条件的不可能事件

必然事件

在某条件下，一定会发生的事件，叫作相对于此条件的必然事件

随机事件

在某条件下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于此条件的随机事件

知识点二　频数与频率

思考　抛掷一枚硬币10次，正面向上出现了3次，则在这10次试验中，正面向上的频数与频率分别是多少？

答案　频数为3，频率为

.

梳理　

（1）频率是一个变化的量，但在大量重复试验时，它又具有“稳定性”，在一个“常数”附近摆动．

（2）随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势．

（3）有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情形，但是随着试验次数的增大，频率偏离“常数”的可能性会减小．

知识点三　概率

思考　一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，100次，1000次，正面向上的频率与0.5相比，有什么变化？

答案　随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近0.5.

梳理　在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P（A）．P（A）的范围是0≤P（A）≤1.

1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.（　√　）

2．小概率事件就是不可能发生的事件．（　×　）

3．某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．（　×　）

4．在一定条件下，频率就是概率．（　×　）

类型一　事件类型的判断

例1　在下列事件中，哪些是必然事件？

哪些是不可能事件？

哪些是随机事件？

（1）如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；

（2）从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；

（3）铁球浮在水中；

（4）某电话总机在60秒内接到至少15次传呼；

（5）同性电荷相互排斥．

解　由实数运算性质知

（1）恒成立是必然事件；（5）由物理知识知同性电荷相斥是必然事件，所以

（1）（5）是必然事件．铁球会沉入水中，（3）是不可能事件．由于

（2）（4）中的事件有可能发生，也有可能不发生，所以

（2）（4）是随机事件．

反思与感悟　要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．

跟踪训练1　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．

（1）中国体操运动员将在下次奥运会上获得全能冠军；

（2）出租车司机小李驾车通过6个十字路口都将遇到绿灯；

（3）若x∈R，则x2＋1≥1；

（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和大于12.

解　由题意知，

（1）

（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；（3）中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最大是6，两次朝上面的数字之和最大是12，不可能大于12，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件．

类型二　列举试验结果

例2　某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对（x，y）．

（1）写出这个试验的所有结果；

（2）写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．

解　

（1）当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3）．

（2）记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{（2,1），（2,3），（2,4）}．

反思与感悟　在写出试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．

跟踪训练2　袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．

（1）从中任取1球；

（2）从中任取2球．

解　

（1）条件为：

从袋中任取1球．结果为：

红、白、黄、黑4种．

（2）条件为：

从袋中任取2球．若记（红，白）表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：

（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）6种．

类型三　频率与概率的关系

例3　

（1）下列说法一定正确的是（　　）

A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况

B．一个骰子掷一次得到2的概率是

，则掷6次一定会出现一次2

C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元

D．随机事件发生的概率与试验次数无关

答案　D

解析　A错误，会有意外；B错误，可能6次都不是2；C错误，概率是预测，不一定一定出现．随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关．

（2）对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：

抽取台数

50

100

200

300

500

1000

优等品数

40

92

192

285

478

954

①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；

②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？

解　①抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.

②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.

反思与感悟　

（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；

（2）频率本身是随机的，在试验前不能确定；

（3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关．

跟踪训练3　一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：

时间范围

1年内

2年内

3年内

4年内

新生婴儿数n

5544

9607

13520

17190

男婴数m

2883

4970

6994

8892

（1）计算男婴出生的频率（保留4位小数）；

（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？

考点　概率与频率

题点　利用频率估计概率

解　

（1）计算

即得男婴出生的频率依次约是0.5200，0.5173,0.5173,0.5173.

（2）由于这些频率非常接近0.5173，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.5173.

1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（　　）

A．必然事件B．随机事件

C．不可能事件D．无法确定

答案　B

解析　正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件．

2．下列说法正确的是（　　）

A．任一事件的概率总在（0,1）内

B．不可能事件的概率不一定为0

C．必然事件的概率一定为1

D．以上均不对

答案　C

解析　任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.

3．给出关于满足AB的非空集合A，B的四个命题：

①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；

②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；

③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；

④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．

其中正确的命题是（　　）

A．①③B．①③④

C．①②④D．①④

答案　B

4．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为________．

答案　0.52

解析　

＝0.52.

5．从100个同类产品（其中有2个次品）中任取3个．

①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．

其中必然事件是________，不可能事件是________，

随机事件是________．

答案　⑥　④　①②③⑤

解析　从100个产品（其中2个次品）中任取3个可能结果是：

“三个全是正品”，“两个正品、一个次品”，“一个正品、两个次品”．

1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生（必然事件），还是不一定发生（随机事件），还是一定不发生（不可能事件）．

2．在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．

3.写出试验结果时，要按顺序，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．

一、选择题

1．下列事件中，不可能事件为（　　）

A．三角形内角和为180°

B．三角形中大边对大角，大角对大边

C．锐角三角形中两个内角和小于90°

D．三角形中任意两边的和大于第三边

答案　C

解析　若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，故C为不可能事件，而A，B，D均为必然事件．

2．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（　　）

A．本市明天将有90%的地区降雨

B．本市明天将有90%的时间降雨

C．明天出行不带雨具肯定会淋雨

D．明天出行不带雨具可能会淋雨

答案　D

解析　降雨概率为90%是指明天降雨这个随机事件发生的可能性为90%，明天也可能不下雨，故选D.

3．下列事件中的随机事件为（　　）

A．若a，b，c都是实数，则a（bc）＝（ab）c

B．没有水和空气，人也可以生存下去

C．抛掷一枚硬币，反面向上

D．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾

答案　C

解析　等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件；在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件；抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件；在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．

4．从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是（　　）

A．次品率小于10%B．次品率大于10%

C．次品率等于10%D．次品率接近10%

答案　D

解析　抽出的样本中次品的频率为

，即10%，所以样本中次品率大约为10%，所以总体中次品率大约为10%.

5．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵出8513尾鱼苗，根据概率的统计定义，这种鱼卵的孵化概率（　　）

A．约为0.8513

B．必为0.8513

C．再孵一次仍为0.8513

D．不确定

答案　A

解析　这种鱼卵的孵化频率为

＝0.8513，

它近似的为孵化的概率．

6．从1,3,6,10四个数中任取两个数（不重复）作差，共有不同结果的个数为（　　）

A．4B．6

C．8D．12

答案　D

解析　结果：

1－3＝－2,1－6＝－5,1