第22讲 正方形.docx
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第22讲正方形
第22讲正方形
考点·方法·破译
1.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形,即邻边相等的矩形或有一个角为直角的菱形叫正方形.
2.熟练掌握正方形的性质,并能在解决问题时将正方形与等腰直角三角形进行替换思考.
3.掌握正方形的判断方法,并应用它的对称性质解决问题.
经典•考题•赏析
【例1】(上海)如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.
⑴求证:
四边形ABCD是菱形;
⑵若∠AED=2∠EAD,求证:
四边形ABCD是正方形.
【解法指导】根据条件合理选择判断方法是解决问题的关键.本题可选“对角线
垂直的平行四边形是菱形;有一个角为直角的菱形是正方形”.
证明:
⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO
∵△ACE是等边三角形,∴EO⊥AC,即DB⊥AC
∴平行四边形ABCD是菱形
⑵∵△ACE是等边三角形,∴∠ACE=60°,∵EO⊥AC,∴∠AEO=
∠ACE=30°,
∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°,∵∠ADO=∠EAD+∠ADEO=45°
∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADC=2∠ADO=90°
∴四边形ABCD是正方形.
【变式题组】
01.如图,已知正方形ABCD的对角线AC和BD相交于O,点M、N分别在OA、OD上,且MN∥AD.探究:
线段DM和CN之间的数童关系,写出结论并给出证明.
02.如图,点P是正方形ABCD对角线AC上的点,PE⊥AB,PF⊥BC,E、F是垂足,问PD与EF有怎样的关系?
请说明理由.
03.(荆州)如图,将正方形ABCD中的绕对称中心O旋转至△GEF的位置,EF交AB于M,GF交BD于N.请猜想BM与FN有怎样的数量关系?
并证明你的结论.
04.(荆州)把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多,除了可以分成相互全等的四个三角形外,你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗?
请分别画出示意图.
【例2】(扬州)如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG,边EF与CD交于点O.
⑴以图中已标有字母的点为端点连接两条线段(正方形的对角线除外),要求所连接的两条线段相交且互相垂直,并说明这两条线段互相垂直的理由;
⑵若正方形的边长为2cm,重叠部分(四边形AEOD)的面积为
cm2,求旋转的角度.
【解法指导】解⑴AO⊥DE证明:
∵在Rt△ADO与Rt△AEO中,AD=AE,AO=AO,∴△ADO∽△AEO(HL),∴∠DAO=∠OAE(即AO平分∠DAE),AO⊥DE(等腰三角形三线合一)[注:
其他的结论也成立如GD⊥BE]
⑵30°∵四边形AEOD的面积为
cm2,∴△ADO的面积=
,
在Rt△AOD中,AO2=OD2+AD2,
∴AO=
,∴AO=2OD,∴AD=2,OD=
,∠DAO=30°,∴∠DAE=60°,∴∠EAB=30°,
【变式题组】
01.(青岛)如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是 .
02.我们给定两个全等的正方形ABCD、AEFG它们共顶点A(如图1),可以绕顶点A旋转,CD、EF相交于点P.
⑴连接BE、DG(如图2),求证:
BE=DG,BE⊥DG
⑵连接BG、CF(如图),求证:
BG∥CF.
【例3】(临沂)数学课上,张老师提出了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是BC边的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,则似AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.
在此基础上,同学们进一步的研究:
⑴小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B、C外)的任意一点”,其他条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:
如图3,点E是边BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
【解法指导】若证明两个三角形中的线段相等,而这两三角形又不全等时,可通过构造全等三角形证明线段相等.
解:
⑴正确.证明:
在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME.
∴BM=BE,∠BME=45°,∴∠AME=135°
∵∠ECF=∠ECD+∠DCF=135°
∴∠AME=∠ECF,∵∠1+∠AEB=90°,∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2,∴△AME≌△ECF,AE=EF
⑵正确.如图,在BA延长线上取一点N,使AN=CE,连接NE,
∴BN=BE,∴∠N=∠FCE=45°
∠NAE=90°+∠1,∠CEF=45°
∴∠NAE=∠CEF,△ANE≌△ECF
∴AE=EF
【变式题组】
01.(福建省宁德)如图,已知正方形ABCD在直线MN上方,BC在直线MN上;E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.
⑴连接GD,求证:
△ADG≌△ABE;
⑵连接FG,观察并猜测∠FCN的度数,并说明理由.
02.(南宁)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AE丄EF.
⑴延长EF交正方形外角平分线CP于点P,试判断AE与EP的大小关系,并说明理由;
⑵在AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?
若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
【例4】(荆州市竞赛题)已知:
正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别CB、DC(或它们的延长线)点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BN=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.
⑴当∠MAN绕点A旋转到BN≠DN时(如图2),线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?
写出猜想,并加以证明;
⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?
写出猜想并明.
图1 图2 图3
【解法指导】欲证两条线段之和等于第三条线段,可通过截长补短,构造全等三角形解决.
解:
⑴MN=BM+DN.
证明:
延长CB到E,使BE=DN,连接AE.
∵AB=AD,BE=DN,∠ABE=∠ADN,△ABE≌△ADN.
∴∠1=∠2,AE=AN,∵∠MAN=45°,∠1+∠3=45°
∴∠1+∠2=45°,∴∠EAM=∠NAM,AM=AM
∴△AEM≌△ANM,∴MN=ME,∴MN=BM+DN
⑵MN=DN-BM.
证明:
在DN上截取DF=BM,连接AF.
∵AB=AD,∠D=∠ABM,BM=DF,∴△ABM≌△ADF.
∴∠4=∠5,AF=AM,∵∠4+∠6=45°,∴∠5+∠6=45°,∴∠FAN=45°
∴∠FAN=∴∠MAN,AF=AM,AN=AN,∴△AFN≌△AMN.
∴MN=FN,MN=DN-BM.
【变式題组】
01.(衡阳)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中:
⑴∠EAF的大小是否有变化?
请说明理由;
⑵△ECF的周长是否有变化?
请说明理由.
02.如图,有四个动点P、Q、E、F分别从边长为1的正方形ABCD的四个顶点出发,沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动
⑴试判断四边形PQEF的形状,并证明;
⑵PE是否总过某一定点,并说明理由;
⑶四边形PQEF的顶点位于何处时,其面积最小和最大?
各是多少?
03.(济宁)在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕点O顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N(如图).
⑴旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形OABC旋转的度数;
⑵设△MBN的周长为p,在正方形OABC旋转的过程中,p值是否有变化?
请证明你的结论.
【例5】小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组,有一次,他们碰到了这样一道题:
“已知正方形ABCD,点E、F、G、H只分别在AB、BC、CD、DA上,若EG丄FH,则GE=FH”经过思考,大家给出了以下两个方案:
(甲)过点A做AM∥HF交BC于点M,过点B作BN∥EG交CD于点N;
(乙)过点A做AM∥HF交BC于点M,作AN∥EG交CD的延长线于点N;
小杰和他的同学顺利的解决了该题后,人家琢磨着想改变问题的条件,作更多的探索.
⑴对小杰遇到的问题,请在甲、乙两个方案中任选一个,加以证明(如图1);
⑵如果把条件中的“EG丄HF”改为“EG与HF的夹角为45°”,并假设正方形ABCD的边长为1,FH的长为
(如图2),试求EG的长度.
【解】⑴证明:
如图3过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EG交CD的延长线于点N
∴AM=HF,AN=EG,∵正方形ABCD,∴AB=AD,∠BAD=∠AND=90°
∵EG⊥FH,∴∠NAM=90°,∴∠BAM=∴∠DAN
在△ABM和△ADN中
∴△ABM≌△ADN,∴AM=AN,即EG=FH
⑵解:
如图4过点A作AM∥HF交BC于点M,过点A作AN∥EG交于点N,
∵AB=1,AM=FH=
,∴在Rt△ABM中,BM=
将△ADN绕点A旋转到△APB,∵EG与FH的夹角为45°
∴∠MAN=45°,∴∠DAN+∠MAB=45°即∠PAM=∠MAN=45°
从而,△APM≌△ANM,∴PM=NM
设DN=x,则NC=1-x,MN=PM=
+x
在Rt△ABM中,(
+x)2=
+(1-x)2解得x=
,∴EG=AN=
=
.
【变式题组】
01.(哈尔滨)若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM的长为.
02.(天孝)如图,已知正方形ABCD的边长为3,E为BC边上一点,BE=1.以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,得△ADE',连接EE',则EE'的长等于.
03.(上海)已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1(如图所示)把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为.
04.(盐城)小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图①,AD>CD)沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,折痕为(如图②);再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG(如图③).如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,矩形ABCD长与宽的比值为.
05.(黑龙江鸡西)平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线MN.过点C作以CE丄MN于点E,过点B作BF丄MN于点F.当点E与A重合时(如图1),易证:
AF+BF=2CE.当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时,上述结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,清直接写出你的猜想,并证明.
演练巩固·反馈提高
01.(江苏常州)顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是()
A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形
02.(烟台)如图,将n个边长为1cm瓜的正方形按如图所示的方法摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形的中心,则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积为()
A.
cm2B.
cm2C.
cm2D.
cm2
03.(山西省)如图⑴,把一个长为m、宽为n的长方形(m>n)沿虚线剪开,并拼成图⑵,成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形,则去掉的小正方形的边长为()
A.
B.m-n C.
D.
04.(白银)如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE丄AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=()
A.2 B.
C.3 D.
05.(抚顺)如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()
A.
B.
C.3 D.
06.(贺州)如图,正方形ABCD的边长为1cm,E、F分别是BC、CD的中点,连接BF、DE,则图中阴影部分的面积是cm2.
07.如图,四边形ABCD是正方形,直线l1、l2、l3分别经过A、B、C三点,且l1∥l2∥l3,若l1与l2的距离为a,l2与l3的距离为b,则正方形ABCD的面积是.
08.(重庆)如图,在正方形纸片ABCD中,对角线八AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合.展开后,折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论:
①∠ADG=112.5°;②AD=2AE;③S△ACG=S△OCD;④四边形AEFG是菱形;⑤BE=2OG,其中正确的结论序号是.
09.(北京)如图,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使A落在MN上,落点记为A′,折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点,则A′N=,若M、N分别是AD、BC边上的距DC最近的n等分点(n≥2,且n为整数),则A′N=(用含有n的式子表示).
10.(威海)如图1,在正方形ABCD中,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点,HA=EB=FC=GD,连接EG、FH,交点为O.
⑴如图2,连接EF、FG、HE,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论;
⑵将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开,再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形,若正方形ABCD的边长为3cm,HA=EB=FC=GD=1cm,则图3中阴影部分的面积为cm2.
11.(黄石)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于F.
⑴探究线段OE与OF的数量关系并证明;
⑵当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?
若是,请证明,若不是,则说明理由;
⑶当点O运动到何处时,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
12.(常德)如图1,若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE.
⑴当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时,AG=CE是否成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
⑵当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时,延长CE交AG于H交,于AD于M.①求证:
AG丄CH;②当AD=4,DG=
时,求CH的长.
13.如图,在△AEC中,以∠AEC为锐角,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGF和CDHN都是正方形.AH的中点是M.
求证:
△FMH是等腰直角三角形.
培优升级·奥赛检测
01.(南昌市八年级竞赛试题)P为正方形ABCD内一点,若PA﹕PB﹕PC=1﹕2﹕3,则∠APB的度数为()
A.120°B.135°C.150°D.以上都不对
02.(四川省初二联赛试题)如图,边长为1的正方形ABCD绕A逆时针旋转
30°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为()
A.
B.
C.
D.
03.在正方形所在的平面内有一点P,便△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是
等腰三角形,那么具有这样性质的P点共有()
A.9个B.7个C.5个D.1个
04.如图,G是边长为4的正方形ABCD的边长BC上一点,矩形DEFG的边EF过点A,GD=5,则EG的长为.
05.(第十九届江苏省初二竞赛试題)如图,四边形ABCD为正方形,AB为边向正方形外作等边三角形ABE.CE与DB相交于点F,则∠AFD=度.
06.(荆州市八年级联赛试题)如图,已知:
△AEC是以正方形ABCD的对角线为边的等边三角形,EF丄AB,交AB延长线于F,则∠BEF的度数为.
07.按如图所示,把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分,则中间的小正方形(阴影部分)的周长为.
08.如图,正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示,点B坐标为(4,4),当三角板直角顶点P坐标为(3,3)时,设一直角边与x轴交于点E,另一直角边与y轴交点于F.在三角板绕点P旋转的过程中,使得△POE成为等腰三角形.有满足条件的点F的坐标为.
09.(湖州市竞赛试题)在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)、A(100,0)、B(100,100)、C(0,100).若正方形OABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足;S△POA×S△PAC=S△PAB×S△POC就称格点P为“好点”,则正方形OABC内部“好点”的个数为个.
10.如图,已知正方形ABEF和正方形ACGH在△ABC的外部.若M是BC的中点,求证FH=2AM
11.如图,把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M.探究:
线段MD、MF的关系,并加以证明.
12.(宁德)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将服BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
⑴求证:
△AMB≌△ENB;
⑵①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
⑶当AM+BM+CM的最小值为
时,求正方形的边长.
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