第4讲 正比例与反比例教师版知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升北师大版.docx

第4讲 正比例与反比例教师版知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升北师大版.docx

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第4讲正比例与反比例教师版知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升北师大版

第4讲正比例与反比例

知识点一：

变化的量

认识变化的量，根据变量图象解答问题步骤：

①弄清图象横轴、纵轴分别表示哪个量，

②弄清横轴、纵轴每个单位长度表示多少，

③根据图象回答问题。

知识点二：

正比例

1.正比例的意义

像这样，路程和时间两个量，时间变化，所行驶的路程也随着变化，而且路程与时间的比值（也就是速度）一定，我们就说路程和时间成正比例。

2.判断两个量是否成正比例的方法

（1）判断两种相关联的量是否成正比例的方法：

一找（变量），二看（定量），三判断。

（2）判断两个量是否成正比例，关键是看两个相关联的量相对应的两个数的比值是否一定。

知识点三：

画一画

正比例图象:

正比例关系图象是一条经过原点的直线。

从图象中可以直观看到两种量的变化情况。

知识点四：

反比例

1.反比例的意义

反比例中两个量变化方向相反，一种量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大若干倍。

2.判断两个量是否成反比例的方法

判断两个相关联的量是否成反比例，关键是看这两个量相对应的两个数的乘积（不为0）是否一定。

考点一：

变化的量

例1．（2021•宁波模拟）甲、乙两工人上班，甲比乙多走

的路程，而乙比甲走的时间少，求甲、乙两人的速度比是多少？

【分析】根据题意，把乙走的路程看作单位“1”，则甲走的路程是乙走的1+

＝；把甲用的时间看作单位“1”，则乙用的时间是甲的1﹣

＝，也就是甲用的时间是乙用的时间的

；所以甲的速度是乙的速度的÷

＝，即甲、乙的速度比是12：

11．

【解答】解：

甲走的路程是乙路程的：

1+

＝；

乙用的时间是甲用的：

1﹣

＝，即甲用的时间是乙用的时间的

，

甲的速度是乙的速度的÷

＝，即甲、乙的速度比是12：

11．

答：

求甲、乙两人的速度比是12：

11．

【点评】解决此题关键是甲走的路程是乙路程的分率，以及甲用的时间是乙用的时间的分率，进而用除法计算得解．

1．（2020秋•磐石市期末）花篮里玫瑰花和百合花枝数的比是4：

5，玫瑰花比百合花少

，百合花比玫瑰花多　25　%．

【分析】花篮里玫瑰花和百合花枝数的比是4：

5，即将总数量当作单位“1”，其中玫瑰花有4份，百合花有5份，所以玫瑰花比百合花少5﹣4份，根据求一个数是另一个数的百分之几得出：

玫瑰花比百合花少（5﹣4）÷5；百合花比玫瑰花多（5﹣4）÷4．

【解答】解：

（5﹣4）÷5；

＝1÷5

＝

（5﹣4）÷4

＝1÷4

＝25%

答：

玫瑰花比百合花少

，百合花比玫瑰花多25%．

故答案为：

，25．

【点评】求一个数是另一个数的几分之几，用除法．

2．（2020秋•苍溪县期中）甲、乙两数的比是4：

5，乙数是甲数的

，乙数比甲数多。

【分析】根据题意，把甲数看作4，则乙数就是5；求乙数是甲数的几分之几，用乙数除以甲数；求乙数比甲数多几分之几，用乙数减去甲数求出乙数比甲数多多少，然后再除以甲数即可。

【解答】解：

把甲数看作4，则乙数就是5

5÷4＝

（5﹣4）÷4

＝1÷4

＝

答：

甲、乙两数的比是4：

5，乙数是甲数的

，乙数比甲数多。

【点评】此题是考查比的意义和应用，根据求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数计算。

3．（2020秋•简阳市期中）鸡的数量与鸭的数量比是3：

7，鸡的数量是鸭的

；鸭的数量占鸡和鸭总数量的。

【分析】鸡的数量与鸭的数量比是3：

7，把鸡的只数看作3，则鸭的只数就是7；总只数是3+7＝10（只），求鸡是鸭的几分之几，用鸡的只数除以鸭的只数；求鸭的数量占鸡和鸭总数量的几分之几，用鸭的数量除以鸡和鸭的总数量即可。

【解答】解：

把鸡的只数看作3，则鸭的只数就是7；总只数是3+7＝10（只）

3÷7＝

7÷（3+7）＝

答：

鸡的数量与鸭的数量比是3：

7，鸡的数量是鸭的

；鸭的数量占鸡和鸭总数量的。

【点评】此题是考查比的意义和应用，根据求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数计算。

考点二：

正比例

例2．（2020•清丰县）已知x与y成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。

x

1

2

4

5

20

y

2.5

7.5

20

【分析】已知x与y成正比例关系，即x：

y的比值一定，根据x：

y＝1：

2.5＝0.4逐项解答即可。

【解答】解：

因为x：

y＝1：

2.5＝0.4

2：

y＝0.4

y＝2÷0.4

y＝5

x：

7.5＝0.4

x＝7.5×0.4

x＝3

4：

y＝0.4

y＝4÷0.4

y＝10

5：

y＝0.4

y＝5÷0.4

y＝12.5

x：

20＝0.4

x＝20×0.4

x＝8

20：

y＝0.4

y＝20÷0.4

y＝50

故答案为：

3，8，5，10，12.5，50。

【点评】此题考查了正比例关系的运用，也可运用比的性质解答．

1．（2020•清丰县）已知x与y成反比例关系，在下表的空格中填写合适的数。

x

2

0.2

12

y

6

4

【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．用字母表示x×y＝k（一定）．

由x与y成反比例关系，根据已知的x＝2，y＝6求出乘积（定值）12，再利用“积÷一个因数＝另一个因数”计算填表即可．

【解答】解：

（1）2×6÷0.2＝24

（2）2×6÷4＝3

（3）2×6÷12＝1

（4）2×6÷

＝16

x

2

0.2

3

12

16

y

6

24

4

1

故答案为：

24，3，1，16.

【点评】知道成反比例关系的两个量的乘积一定，求出定值12，利用“积÷一个因数＝另一个因数”计算是解题的关键．

2．（2020•中原区）某口罩生产厂要完成一批任务，每天生产的数量与需要生产的天数如下表：

每天生产的数量/万只

500

600

800

1000

1200

时间/天

24

20

15

12

10

（1）如果每天生产的数量用m表示，需要的天数用t表示．用式子表示出m、t和生产口罩总数之间的关系是　生产口罩的总数＝mt　，m和t成　反　比例关系，判断的理由是　两个相关联的量m和t，一个发生变化，另一个随着变化，积一定，所以是反比例关系　．

（2）如果这批生产任务需要8天完成，每天需要生产多少万只？

（用比例解答）

【分析】

（1）观察表格中的数据可得每一列的两个数的乘积相同，即生产口罩的总数＝每天生产的数量×时间，从而可以得出m、t和生产口罩总数之间的关系．判断两个相关联的量成什么比例，就要看它们对应的比值一定还是对应的乘积一致．如果对应的比值一定，就成正比例，如果对应的乘积一定，就成反比例．因为m和t的乘积一定，所以它们成反比例关系．

（2）将8代入mt＝24×500就可以知道，每天需要生产多少万只了．

【解答】解：

（1）如果每天生产的数量用m表示，需要的天数用t表示．用式子表示出m、t和生产口罩总数之间的关系是生产口罩的总数＝mt，m和t成反比例关系，判断的理由是两个相关联的量m和t，一个发生变化，另一个随着变化，积一定，所以是反比例关系．

（2）解：

设每天需要生产x万只．、

8x＝500×24

8x÷8＝12000÷8

x＝1500

答：

每天需要生产1500万只．

【点评】本题考查了反比例的辨识和应用．

3．（2020•顺德区）乘船的人数与所付船费如表所示．

人数

1

2

3

4

5

6

…

船费/元

5

10

20

30

…

（1）把上表填写完整．

（2）所付船费与乘船人数成　正比　比例．

（3）画一画，再顺次连接各点．

【分析】

（1）根据费用＝人数×每人付的费用，求出各个数据：

（2）再根据费用与人数的比值是不是一定，来判断是否成正比例，如果比值一定，就成正比例，根据此来解答；

（3）根据表中数据进行描点．

【解答】解：

（1）3×5＝15（元）

5×5＝25（元）

船的人数与所付船费如表所示．

人数

1

2

3

4

5

6

…

船费/元

5

10

15

20

25

30

…

（2）费用÷人数＝每人付的费用（一定），所以费用与人数成正比例；

（3）

故答案为：

正比．

【点评】关键是根据表中的数据和正、反比例的意义解决问题．

考点三：

画一画

例3．（2020•荥阳市）同一时间，同一地点测得不同树的高度及其影长如图．

（1）请根据图中的数据判断，树高与影长成　正　比例．

（2）根据图象判断，树高6m时它的影长是　4.8　m．

（3）请你算一算，如果一棵树的影长为6.4m，这棵树高是多少？

（用比例解答）

【分析】

（1）在同一时间、同一地点的影长和树高对应的比值一定，根据正比例的意义，成正比例关系；

（2）根据题意知道在同时、同地影长与树高的比值一定，所以影长与树高成正比例，由此列出比例解答即可．

【解答】解：

（1）因为0.8：

1＝1.6：

2＝2.4：

3＝3.2：

4＝0.8（一定）

是比值一定，所以树高与影长是否成正比例；

（2）根据图象判断，树高6m时它的影长是4.8m．

（3）设这棵树高x米，由题意得：

6.4：

x＝0.8：

1

0.8x＝6.4

x＝8

答：

这棵树高8米．

故答案为：

正，4.8．

【点评】解答此题的关键是根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例，再列出比例解答即可．

1．（2020•太原）一个环保节能型造纸厂生产情况如下表：

时间/天

1

2

5

8

10

生产总量/吨

80

160

400

640

800

（1）生产总量和时间成什么比例关系？

为什么？

（2）在下图中用点表示出相对应的生产总量和时间，再把它们按顺序连起来．

【分析】

（1）因为生产总量÷生产的天数＝每天的工作效率（一定），所以生产总量和生产的时间成正比例．

（2）首先根据统计表中的数据在图中描出各点，然后顺次连接各点即可．

【解答】解：

（1）80÷1＝80（吨/天）

160÷2＝80（吨/天）

400÷5＝80（吨/天）

…

生产总量和时间成正比例关系，因为

＝每天的工作效率（一定），所以生产总量和时间成正比例关系．

（2）作图如下：

【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义及应用．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（即两个数的商）一定，这两种就叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系．

2．（2020春•汉寿县期中）已知x与y成反比例关系，在下表的空格中填写合适的数．

x

2

3

y

4

0.6

12

【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．用字母表示x×y＝k（一定）．

由x与y成反比例关系，根据已知的x＝3，y＝4求出乘积（定值）12，再利用“积÷一个因数＝另一个因数”计算填表即可．

【解答】解：

3×4＝12

12÷2＝6

12÷0.6＝20

12÷12＝1

x

2

3

20

1

y

6

4

0.6

12

故答案为：

20，1，6．

【点评】知道成反比例关系的两个量的乘积一定，求出定值12，利用“积÷一个因数＝另一个因数”计算是解题的关键．

3．（2020春•汉寿县期中）一种笔记本每本售价2元，回答下面问题．

数量/本

0

1

2

3

4

5

6

…

总价/元

0

2

4

6

8

10

12

…

（1）把笔记本的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线．

（2）买7本笔记本要多少钱？

【分析】

（1）根据表中给出的数据描点、连线即可．

（2）通过计算它们的比值（一定），可以看出总价与数量成正比例关系，然后求出买7本笔记本要多少钱即可．

【解答】解：

（1）根据表中给出的数据描点、连线得：

（2）因为＝＝…＝＝2，

所以7×2＝14（元）．

答：

买7本笔记本要14元．

【点评】此题考查了正比例关系的意义及图象，图象描点连线即可，然后根据总价＝单价×数量求得买7本的总价即可．

考点四：

反比例

例4．（2020春•高邑县期中）用一辆汽车运送一批货物，请完成下表．

载重（吨）

4

6

10

12

15

20

运送次数（次）

30

20

（1）运送货物的质量一定，运送的次数与汽车载重的吨数成什么比例？

（2）如果载重为30吨的大货车运送这批货物，几次可以运完？

【分析】这批货物的总质量一定，根据除法的意义，用这批货物的总质量除以汽车的载重量就是运的次数，据此完成统计表．

（1）因为汽车的载重量×运送的次数═这批货物的总质量（一定），所以运送的次数与汽车载重的吨数成反比例．

（2）设x次可以运完，据此列方程解答．

【解答】解：

4×30＝120（吨）

120÷10＝12（次）

120÷12＝10（次）

120÷15＝8（次）

120÷20＝6（次）

填表如下：

载重（吨）

4

6

10

12

15

20

运送次数（次）

30

20

12

10

8

6

（1）因为汽车的载重量×运送的次数═这批货物的总质量（一定），所以运送的次数与汽车载重的吨数成反比例．

（2）设x次可以运完，

30x＝4×30

x＝

x＝4

答：

4次可以运完．

【点评】此题考查的目的是理解掌握反比例的意义及应用．即两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种就叫做成反比例的量，它们的关系就是反比例关系．

1．（2020春•峄城区期末）一列火车每小时行驶200千米．

（1）把下表填写完整．

时间/小时

1

2

3

4

5

…

路程/千米

200

　400　

　600　

　800　

　1000　

…

（2）根据表中数据，在如图中描出时间和路程所对应的点，再把点按顺序连起来．

（3）时间和路程成正比例吗？

为什么？

（4）利用图象估计一下，2.5小时行多少千米？

行360千米需要多少小时？

【分析】

（1）根据速度×时间＝路程，列式计算；

（2）根据统计表中的数据，先在图中描出时间和路程所对应的点，再把它们按顺序连起来即可；

（3）因为火车行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以时间和路程成正比例；

（4）图象是一条经过原点的直线，从图象中可看出火车2.5小时行500千米；行驶360千米用1.8小时．

【解答】解：

（1）200×2＝400（千米），200×3＝6000（千米），200×4＝800（千米），200×5＝1000（千米）

时间/小时

1

2

3

4

5

…

路程/千米

200

400

600

800

1000

…

（2）根据数据连线后如下图：

（3）时间和路程成正比例；因为汽车在公路上行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以时间和路程成正比例．

（4）图象是一条经过原点的直线，从图象中可看出火车2.5小时行500千米；行驶360千米用1.8小时；

答：

2.5小时行驶500千米．行驶360千米用1.8小时．

【点评】此题考查根据统计表中的信息，绘制成正比例关系的两种量的图象，再根据观察图象得出2.5小时行多少千米和行360千米需要多少小时．

2．（2019春•中原区期末）一个长方形的周长为20厘米，若长是9厘米，则宽是1厘米．请先填写如表，然后判断这个长方形在周长不变的情况下，长和宽是否成反比例，并说明理由．

长/cm

9

8

7

6

5

宽/cm

1

【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．

【解答】解：

根据长方形的周长为20厘米，可知长+宽＝10厘米，填下表格如下：

长/cm

9

8

7

6

5

宽/cm

1

2

3

4

5

长+宽＝10（一定），和一定，所以在周长不变的情况下，长和宽不成比例关系．

【点评】本题主要考查辨识成正比例的量和成反比例的量．

3．（2019春•方城县期中）李叔叔新买了一辆汽车，在试车过程中记录了如表的数据．

所行的路程/km

15

30

45

60

耗油量L

2

4

6

8

（1）根据表中数据，在下图中描出所行路程和耗油量对应的点，再把它们按顺序连起来．

（2）所行路程和耗油量成　正　比例．

（3）根据图象判断，这辆汽车耗油5升行　37.5　km．

【分析】

（1）根据统计表中的数据完成统计图．

（2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；由此解答即可．

（3）根据图象，观察纵轴5L所对应的横轴的数据，即可得出结论．

【解答】解：

（1）画图如下：

（2）15÷2＝30÷4＝45÷6＝60÷8＝7.5（一定），即：

汽车行驶的路程÷耗油量＝每升油行驶的路程（一定），

所以这辆汽车行驶的路程和耗油量成正比例．

（3）观察图表，这辆汽车耗油5升行37.5km．

故答案为：

正，37.5．

【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．

1．（2020秋•拜泉县期末）如果科技书和文艺书本数的比是3：

4，那么下面的说法正确的是（　　）

A．文艺书比科技书多

B．科技书比文艺书少

C．科技书占全部书的

D．文艺书比科技书多全部书的

【分析】科技书和文艺书本数的比是3：

4，把文艺书的本数看作4份，则科技书本数就为3份，根据各选项的说法分别求得正确答案后选择即可．

【解答】解：

A、文艺书比科技书多（4﹣3）÷3＝，原题说法错误；

B、科技书比文艺书少（4﹣3）÷4＝

，原题说法错误；

C、科技书占全部书的3÷（3+4）＝，原题说法错误；

D、文艺书比科技书多全部书的﹣＝，原题说法正确；

故选：

D．

【点评】求一个数比另一个数多（或少）几分之几的应用题，用除法计算．

2．（2020春•承德期末）在乘法算式中，积一定，两个因数（　　）

A．成正比例B．成反比例C．无法判断

【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。

【解答】解：

因数×因数＝积，乘积一定，

所以两个因数成反比例。

故选：

B。

【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。

3．（2020春•诸城市期末）下列选项中的两种量，成正比例关系的是（　　）

A．正方形的边长与周长

B．一个人的年龄与体重

C．三角形面积一定，它的底和高

D．200米赛跑，运动员速度和所用时间

【分析】本题属于正比例反比例概念考查，正比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。

如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

反比例指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

可以先结合A、B、C、D选项中的描述，分别设出字母，然后利用所学数学知识表示字母之间的关系，然后再结合正比例关系的定义判断选出正确结果即可。

【解答】解：

A.设正方形的边长为a，其周长为C，则C＝4a，即C：

a＝4（一定），正方形的边长与周长成正比例关系，故符合题设要求。

B.一个人的年龄与体重的比值不是一个定值，故一个人的年龄与体重不是正比例关系，故排除；

C.三角形面积一定，设其面积为S，它的底为a，高为h，则ah＝2S（一定），其乘积为一个定值，则底和高成反比例，故排除；

D.200米赛跑，设运动员的速度为v，所用时间为t，则vt＝200，其乘积为一个定值，故运动员速度和所用时间成反比例，故排除。

故选：

A。

【点评】本题考查辨识成正比例的量与成反比例的量。

4．（2020•丰台区模拟）下面各题中的两种量成正比例关系的是（　　）

A．平行四边形的底一定，平行四边形的高与面积

B．小明的年龄与他的身高

C．路程一定，速度和时间

【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。

【解答】解：

A、因为平行四边形的面积÷高＝底（一定），是比值一定，所以面积和高成正比例；

B、人的身高与年龄的比值是不一定的，所以小明的年龄与身高有关系，但不成比例；

C、速度×时间＝路程（一定），是乘积一定，所以路程一定，速度与时间成反比例。

故选：

A。

【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。

5．（2020秋•苏州期末）甲数是乙数的，乙数是丙数的150%，甲数与丙数的比为（　　）

A．5：

4B．5：

2C．4：

5D．2：

5

【分析】把乙数看作单位“1”，甲数是乙数的

，乙数是丙数的150%，也就是丙数是乙数的，然后求出甲数与丙数的比即可．

【解答】解：

：

＝（

）：

（）

＝5：

4，

答：

甲数与丙数的比是5：

4．

故选：

A．

【点评】本题考查了比的意义的灵活应用，关键是统一单位“1．

6．（2020•亭湖区校级自主招生）步测一段距离，每步的平均长度和走的步数（　　）

A．成正比例B．成反比例C．不成比例D．不相关联

【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。

【解答】解：

因为每步的平均长度×步数＝这段距离（一定）

即每步的平均长度与步数的积一定，则二者成反比例。

故选：

B。

【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。

7．（2020•扎兰屯市模拟）下面各图中都表示了x，y两种变化的量，表示两种量成正比例的是（　　）

A．B．

C．D．

【分析】判断两种量是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例。

【解答】A、

＝1，＝2，……，x，y两种变量所对应的比值不一定，x，y不成比例。

B、＝4，＝2，……，x，y两种变量所对应的比值一定，x，y成正比例。

C、＝3，＝1，……，x，y两种变量所对应的比值不一定，x，y不成比例。

D、4×