几何证明1.docx
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几何证明1
演绎证明:
怎样才算严格的数学证明?
例1:
我们分别用下列三种方法来导出“对顶角相等”
一、是直观说明,即凭眼睛看到的结果就加以认定。
二、是操作确认,可以用量角器度量两个对顶角,也可以把两个对顶角剪下来相叠,由度量所得数据基本相同或叠在一起基本重合就加以确认。
三、是推理论证(演绎推理)表述如下:
因为∠1与∠2、∠2与∠3分别是邻补角(已知),
所以∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°(邻补角的意义)
得∠1+∠2=∠2+∠3(等量代换)
所以∠1=∠3(等量代换)
问:
三种方法中,哪一种最可靠、最有说服力?
小结:
1、演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法,演绎证明是一种严格的数学证明,是我们现在要学习的证明方式,在本书中,演绎证明简称证明(proof)
2、推理的依据,可以是已知条件和已证事项(简称为已知和已证),也可以是已有的概念、性质等
3、整个证明由一段一段的因果连接而成
例2:
几种不同类型的因果关系:
1、一因一果
例如:
∵∠1与∠2是对顶角(已知)
∴∠1=∠2()
又如:
∵∠1与∠2互为余角(已知)
∴∠1+∠2=90°(互余的定义)
2、一因多果
如图,两条平行线a与b被第三条直线c所截
∵a//b
∴∠2=∠4()
∠1=∠4()
∠3+∠4=180°()
3、多因一果
如图,∵AB⊥EF于G,CD⊥EF于H()
∴AB//CD()
总结:
通常证明是由若干个推理组成,即有多层因果关系,从整体上看,前一段中的果为后一段提供了因,一连串这样连贯、有序的因果关系组成了完整的证明。
练习:
:
你能通过自己的思考,各举出一个“一因一果”、“一因多果”及“多因一果”的例子吗?
例3:
如果,∠1=60°,∠2=60°,∠3=57°,则∠4=57°,下面四种推理过程,你认为正确的是()
A∵∠1=60°=∠2B∵∠4=57°=∠3C∵∠2=∠5
∴a//b∴a//b又∠1=60°,∠2=60°
∴∠4=∠3=57°∴∠1=∠2=60°∴∠1=∠5=60°
∴∠4=∠3=57°
D∵∠1=60°,∠2=60°,∠3=57°
∴∠1—∠3=∠2—∠4=60°—57°=3°
∴∠4=57°
练习:
阅读下面的证明过程,在括号内填写适当的理由,并在横线部分说明因果关系
如图,已知∠B=50°,∠1=50°,AB=AC,求证∠1=∠2
证明:
①∵∠B=50°,∠1=50°()_____________
∴∠B=∠1()________________
②∵∠B=∠1()________________
∴AE//BC()________________
③∵AE//BC()________________
∴∠C=∠2()________________
④∵AB=AC()________________
∴∠B=∠C()________________
⑤∵∠B=∠C,∠B=∠1,∠C=∠2()________________
∴∠1=∠2()________________
提示:
初学证明时,为了更好地掌握推理的方法,并且保证推理有根有据,层次分明,要把每一段推理的因果关系都明确无误地写出来,若能经常这样思考,无疑对提高思维的条理性、证题的准确性是十分有帮助的。
例4:
写出下题的证明过程,并且仿照上面解答题的形式说明因果关系。
如图,已知:
∠C=70°,∠2=70°,EF//AB
求证:
∠B=∠1
公理、命题、定理
问:
1+1=?
思考:
是不是在所有的情况下都是等于2呢?
还是有前提的条件?
问:
平面上两个确定的点之间是否线段的距离是最短的,为什么?
小结:
在几何和代数中有一些结论是人们从生产生活的实践中总结而来,是无需证明的结论,我们称之为公理,其它的结论都可以借由公理和定义推导得出,在平面几何(欧式几何)中,公理有如下一些
1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。
可以看到第五条公理(平行公理)的描述都是由两部分组成,即条件的部分和结论的部分,用这样的方式描述的事情我们称之为命题。
例5:
1.人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理;它们可以作为判断其它命题真假的____
2.能说明一个名词的含义,能界定某一个对象的句子叫做__________
3.判断一件事情的句子叫做______________;其判断为正确的命题叫做___________;其判断为错误的命题叫做____________。
4.有些命题是从___________或___________出发,用__________方法证明为正确的,并进
一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做_____________。
提示:
①概念的定义是指对一个名词或术语的规定。
定义指明了事物的本质属性,因而定义也具有判断的功能也就是说定义也可以作为推理的依据。
②公理是在实践中反复验证,不加推理证明就承认其真实性的命题。
③定理是必须经过推理证明,证得其正确性的命题。
定义、公理是定理的基础和推证依据,定理是命题,但命题并不都是定理,例如,假命题就
不是定理,因此只有“假命题”而没有“假定理”。
例6:
“周长相等的两个三角形全等”是不是命题?
如果是命题,把它改写成“如果……那么……”的形式,则它是真命题还是假命题?
练习:
指出下列命题的题设和结论,并改写成“如果……那么……”的形式
1.等腰三角形的两个底角相等
2.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线相互平行
3.全等三角形对应边等、对应角等:
例7:
确认一个命题是真命题要经过证明,证明一个命题是假命题只要举出一个反例
1.证明“两条平行线被第三条直线所截同旁内角的平分线互相垂直”是真命题
2.证明“锐角大于它的余角”是假命题
练习7:
1.证明:
等腰三角形两底角的平分线相等
2.有人说:
“如果一个三角形有一个角为60°,且夹这个角的两边之比为1:
2,那么这个三角形一定是直角三角形”,你认为这个命题是真命题吗?
作出你的推断。
:
例8:
反证法:
反证法证明命题的一般步骤:
(1)假设,先假设命题的结论不成立。
(2)归谬,从这个假设出发,运用正确的推理方法,得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果。
(3)结论,由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
例:
用反证法证明:
一个三角形中不能有两个角是直角。
解:
已知:
△ABC。
求证:
∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角
证明:
假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°,
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°。
这与三角形内角和定理矛盾,所以∠A=∠B=90°不成立。
所以一个三角形中不能有两个角是直角。
小结:
首先假设结论“∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角”不成立,即它的反面
“∠A,∠B,∠C中有两个角是直角”成立,然后从这个假设出发推理得出矛盾。
一、填空题
几何证明
(1)
一般来说,几何证明的思考方法有两种:
综合法和分析法。
综合法是从已知条件着手,根据已知的定义、公理、定理,逐步推导出求证的结论。
分析法与综合法相反,是先假定结论成立,然后去追究它成立的条件,逐步逆推,直至与已知条件(包括已学过的一切定义、公理、定理)相符合为止,它是由结果去探求使它成立的原因,分析法使我们容易找到证明的思路,然后再用综合法写出证明过程。
例1:
如果,已知:
DE=DC,AE=BC,∠E=∠C,DF⊥AB于F,
求证:
F是AB的中点。
分析法:
①要证明F是AB的中点,因为DF⊥AB于F(已知),所以容易联想到“等腰三角形,三线合一”,而图形中没有三角形,因此可以添画辅助线,构造三角形为证题创造条件,连结AD、BD;只要证明AD=BD,即可。
②要证明AD=BD,因为AD、BD是△ADE与△BDC的对应边,所以只要证明
△ADE≌△BDC,即可。
③要证明△ADE≌△BDC,由已知条件:
DE=DC,∠E=∠C,AE=BC,利用全
等三角形的判定“SAS”即可。
以上分析法可以简记成:
“分析思路图”。
利用综合法证明如下:
证明:
连结AD、BD,
在△ADE和△BDC中,∴△ADE≌△BDC(SAS)
∴AD=BD(全等三角形对应边相等)
∵DF⊥AB于F,(已知)
∴F是AB的中点(等腰三角形,三线合一)
练习:
例2:
例3:
如图,已知E、C在BF上,且BE=CF,AB//DE,且AB=DE。
求证:
AC//DF
分析:
要证AC//DF,只要证∠1=∠F;而∠1和∠F分别
是△ABC和△DEF的内角,所以可证△ABC≌△DEF。
而在这两个三角形中已知AB=DE,易得BC=EF,
故还须证∠B=∠2,这样可用“SAS”去判断
两三角形全等。
例4:
如图,AB//CD,BC⊥AB,∠CAD=60°,且AD=DC,E是AC中点。
求证:
BC=ED
分析:
要证BC=ED,我们发现,BC和DE分别是两个三角形的边,
所以我们可考虑证明△ABC≌△CED,由已知易得△ACD是等边三
角形,又E是AC中点,故DE⊥AC。
所以△CDE与△ACB都是直
角三角形且AC=CD,且由AB//CD可是∠1=∠2。
最后可用“AAS”
判定两三角形全等
例5:
如果,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,N是AB的中点,MN⊥AB交AC于M,试判断MC与AM之间的关系
分析:
由于A、M和C共线,所以题目要求判断的应是MC
和AM之间的数量关系,由于AM和MC不在同一三角形中,
判断数量关系较难,于是我们想到能否将两线段转化为在同一
三角形中。
由MN是AB的垂直平分线可得连结BM后,
BM=AM,这样就可通过判断BM与MC的关系来达到得出
MC和AM的关系,易得在Rt△MBC中,∠MBC=30°,故
MC=
,至此问题便可解决。
证明方法总结:
1、线段之间的数量关系
2、角之间的数量关系
3、直线之间的位置关系
例6:
如图,已知:
D是△ABC的BC边上任意一点,DE//AC,DF//AB。
求证:
∠AED=∠AFD
例7:
如图,已知:
在△ABC中,AD平分∠BAC,BD=CD,求证:
AB=AC(两种方法)
例8:
如图,已知:
D、E两点分别在AB、AC上,AD=AE,BD=CE,BE、CD交于点F,
求证:
FB=FC
提高题
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