北师大版九年级数学下册第二章二次函数周周测9全章doc.docx
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第二章 二次函数
1.对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是( )
A.对称轴是直线x=1,最小值是2
B.对称轴是直线x=1,最大值是2
C.对称轴是直线x=-1,最小值是2
D.对称轴是直线x=-1,最大值是2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2-Y-1所示,则( )
A.b>0,c>0B.b>0,c<0
C.b<0,c<0D.b<0,c>0
图2-Y-1
图2-Y-2
3.将如图2-Y-2所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线的表达式是( )
A.y=(x-1)2+1B.y=(x+1)2+1
C.y=2(x-1)2+1D.y=2(x+1)2+1
4已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2-Y-3所示,以下四个结论:
①a>0;②c>0;③b2-4ac>0;④-
<0,正确的是( )
A.①②B.②④
C.①③D.③④
图2-Y-3
图2-Y-4
5.如图2-Y-4,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,给出下列结论:
①b2=4ac;②abc>0;③a>c;④4a-2b+c>0,其中正确的有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
6.若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是________.
7.如图2-Y-5,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴直线x=1对称,则点Q的坐标为________.
8.已知函数y=-(x-1)2的图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“<”“>”或“=”).
图2-Y-5
图2-Y-6
9.如图2-Y-6,图中二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0),则下列命题中正确的有________(填序号).
①abc>0;②b2<4ac;③4a-2b+c>0;④2a+b>c.
10.如图2-Y-7是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
图2-Y-7
①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);④当1<x<4时,有y2>y1;⑤x(ax+b)≤a+b,其中正确的结论是________.(只填序号)
11.已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数).
(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是( )
A.0B.1
C.2D.1或2
(2)求证:
不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上;
(3)当-2≤m≤3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.
12.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系:
y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式;
(2)这种双肩包销售单价定为多少时,每天的销售利润最大?
最大利润是多少元?
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元/个,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少?
13.随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.
(1)请你建立适当的直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数表达式;
(2)求出水柱的最大高度是多少.
图2-Y-8
14.我们知道,经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示,对于这样的抛物线:
(1)当抛物线经过点(-2,0)和(-1,3)时,求抛物线的表达式;
(2)当抛物线的顶点在直线y=-2x上时,求b的值;
(3)如图2-Y-9,现有一组这样的抛物线,它们的顶点A1,A2,…,An在直线y=-2x上,横坐标依次为-1,-2,-3,…,-n(n为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1,B2,…,Bn,以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn,如果这组抛物线中的某一条经过点Dn,求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长.
图2-Y-9
详解详析
1.B
2.B [解析]∵二次函数y=ax2+bx+c图象的开口向下,∴a<0.
∵二次函数图象与y轴交于负半轴,∴c<0.
∵对称轴为直线x=-
>0,∴b>0.故选B.
3.C [解析]由图象,得原抛物线的表达式为y=2x2-2.
由平移规律,得平移后所得抛物线的表达式为y=2(x-1)2+1,故选C.
4.C [解析]∵抛物线开口向上,∴a>0,结论①正确;
∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴,
∴c<0,结论②错误;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,结论③正确;
∵抛物线的对称轴在y轴右侧,
∴-
>0,结论④错误.
故选C.
5.C [解析]∵抛物线与x轴有2个交点,
∴b2-4ac>0,∴①错误;
∵抛物线开口向上,∴a>0.
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧,
∴a,b同号,∴b>0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,
∴abc>0,
∴②正确;
∵x=-1时,y<0,即a-b+c<0.
∵对称轴为直线x=-1,∴-
=-1,
∴b=2a,
∴a-2a+c<0,即a>c,
∴③正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=-1,
∴x=-2和x=0时的函数值相等,即x=-2时,y>0,
∴4a-2b+c>0,∴④正确.
∴正确的有②③④,3个,
故选C.
6.m>9 [解析]由Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×m<0,解得m>9.
7.(-2,0) [解析]设Q(a,0),由对称性知,
=1,∴a=-2.即Q(-2,0).
8.> [解析]∵函数y=-(x-1)2,图象的对称轴是直线x=1,开口向下,
∴当x>1时,y随x的增大而减小.
∵函数图象上两点A(2,y1),B(a,y2),a>2,
∴y1>y2.故答案为:
>.
9.①③④ [解析]∵抛物线开口向上,对称轴在y轴右侧,与y轴交于负半轴,
∴a>0,-
>0,c<0,
∴b<0,∴abc>0,①正确;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,即b2>4ac,②错误;
当x=-2时,y=4a-2b+c>0,③正确;
∵0<-
<1,
∴-2a<b<0,
∴2a+b>0>c,④正确.
故答案为:
①③④.
10.②⑤ [解析]根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可.由图象可知:
a<0,b>0,c>0,故abc<0,故①错误;观察图象可知,抛物线与直线y=3只有一个交点,故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,故②正确;
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(-2,0),故③错误;观察图象可知,当1<x<4时,有y2<y1,故④错误;因为当x=1时,y1有最大值,所以ax2+bx+c≤a+b+c,即x(ax+b)≤a+b,故⑤正确.
所以②⑤正确.故答案为②⑤.
11.[解析]
(1)表示出根的判别式,判断其正负即可得到结果;
(2)将二次函数表达式配方变形后,判断其顶点坐标是否在已知函数图象上即可;
(3)根据m的范围确定出顶点纵坐标的范围即可.
解:
(1)∵函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数),
∴Δ=(m-1)2+4m=(m+1)2≥0,
则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2.故选D.
(2)证明:
y=-x2+(m-1)x+m=-(x-
)2+
,其图象顶点坐标为(
,
).
把x=
代入y=(x+1)2,得y=(
+1)2=
,故不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上.
(3)设z=
,
当m=-1时,z有最小值为0;
当m<-1时,z随m的增大而减小;
当m>-1时,z随m的增大而增大.
当m=-2时,z=
;当m=3时,z=4.
则当-2≤m≤3时,该函数图象的顶点纵坐标z的取值范围是0≤z≤4.
12.解:
(1)w=(x-30)y=(x-30)(-x+60)=-x2+90x-1800.
所以w与x之间的函数关系式为w=-x2+90x-1800(30≤x≤60).
(2)w=-x2+90x-1800=-(x-45)2+225.
∵-1<0,∴当x=45时,w有最大值为225.
答:
销售单价定为45元/个时,每天的销售利润最大,最大利润为225元.
(3)当w=200时,可得方程-(x-45)2+225=200.
解得x1=40,x2=50.
∵50>42,
∴x2=50不符合题意,应舍去.
答:
该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元/个.
13.解:
(1)所建直角坐标系不唯一,如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
由题意可设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3).
抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线表达式可得
解得
∴水柱抛物线的表达式为y=-
(x-1)2+
(0≤x≤3).化为一般式为y=-
x2+
x+2(0≤x≤3).
(2)由
(1)知抛物线的表达式为y=-
(x-1)2+
(0≤x≤3).当x=1时,y最大=
.
∴水柱的最大高度为
米.
14.解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点(-2,0)和(-1,3),
∴
解得
∴抛物线的表达式为y=-3x2-6x.
(2)∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是
(-
,-
),
且该点在直线y=-2x上,
∴-
=-2×(-
).
∵a≠0,∴-b2=4b,
解得b1=-4,b2=0.
(3)这组抛物线的顶点A1,A2,…,An在直线y=-2x上,
由
(2)可知,b=-4或b=0.
①当b=0时,抛物线的顶点在坐标原点,不合题意,舍去;
②当b=-4时,抛物线的表达式为y=ax2-4x.
由题意可知,第n条抛物线的顶点为An(-n,2n),则Dn(-3n,2n).
∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn,设第(n+k)(k为正整数)条抛物线经过点Dn,此时第(n+k)条抛物线的顶点坐标是An+k(-n-k,2n+2k),
∴-
=-n-k,
∴a=
=-
,
∴第(n+k)条抛物线的表达式为y=-
x2-4x.
∵Dn(-3n,2n)在第(n+k)条抛物线上,
∴2n=-
×(-3n)2-4×(-3n),解得k=
n.
∵n,k为正整数,且n≤12,
∴n1=5,n2=10.
当n=5时,k=4,n+k=9;
当n=10时,k=8,n+k=18>12(舍去),
∴D5(-15,10),
∴正方形的边长是10.
中考数学知识点代数式
一、重要概念 分类:
1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。
单独 的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。
(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母) 几个单项式的和,叫做多项式。
说明:
①根据除式中有否字母,将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算,把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时,是以所给的代数式为对象,而非以变形后的代数式为对象。
划分代数式类别时,是从外形来看。
如, =x,=│x│等。
4.系数与指数 区别与联系:
①从位置上看;②从表示的意义上看 5.同类项及其合并 条件:
①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据:
乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意:
①从外形上判断;②区别:
、是根式,但不是无理式(是无理数)。
7.算术平方根 ⑴正数a的正的平方根([a≥0—与“平方根”的区别]); ⑵算术平方根与绝对值 ①联系:
都是非负数,=│a│ ②区别:
│a│中,a为一切实数;中,a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化 化为最简二次根式以后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件:
①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数 ⑴(—幂,乘方运算) ①a>0时,>0;②a0(n是偶数), ⑵零指数:
=1(a≠0) 负整指数:
=1/(a≠0,p是正整数) 二、运算定律、性质、法则 1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2.分式的性质 ⑴基本性质:
=(m≠0) ⑵符号法则:
⑶繁分式:
①定义;②化简方法(两种) 3.整式运算法则(去括号、添括号法则) 4.幂的运算性质:
①·=;②÷=;③=;④=;⑤ 技巧:
5.乘法法则:
⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
6.乘法公式:
(正、逆用) (a+b)(a-b)= (a±b)= 7.除法法则:
⑴单÷单;⑵多÷单。
8.因式分解:
⑴定义;⑵方法:
a.提公因式法;b.公式法;c.十字相乘法;d.分组分解法;e.求根公式法。
9.算术根的性质:
=;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b>0)(正用、逆用) 10.根式运算法则:
⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化:
a.;b.;c.. 11.科学记数法:
(1≤a<10,n是整数
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