知识点整合与训练第三章 导数及其应用第2节 第3课时 导数在不等式中的应用.docx
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知识点整合与训练第三章导数及其应用第2节第3课时导数在不等式中的应用
第3课时 导数在不等式中的应用
考点一 构造函数证明不等式
【例1】已知函数f(x)=1-,g(x)=x-lnx.
(1)证明:
g(x)≥1;
(2)证明:
(x-lnx)f(x)>1-.
证明
(1)由题意得g′(x)=(x>0),
当0
即g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
所以g(x)≥g
(1)=1,得证.
(2)由f(x)=1-,得f′(x)=,
所以当0
即f(x)在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,
所以f(x)≥f
(2)=1-(当且仅当x=2时取等号).①
又由
(1)知x-lnx≥1(当且仅当x=1时取等号),②
且①②等号不同时取得,
所以(x-lnx)f(x)>1-.
规律方法 1.证明不等式的基本方法:
(1)利用单调性:
若f(x)在[a,b]上是增函数,则①∀x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b),②∀x1,x2∈[a,b],且x1 (2)利用最值: 若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则∀x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m). 2.证明f(x) 【训练1】已知函数f(x)=在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+y+3=0. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设g(x)=lnx,求证: g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立. (1)解 将x=-1代入切线方程得y=-2, 所以f(-1)==-2,化简得b-a=-4.① f′(x)=, f′(-1)==-1.② 联立①②,解得a=2,b=-2.所以f(x)=. (2)证明 由题意知要证lnx≥在[1,+∞)上恒成立, 即证明(x2+1)lnx≥2x-2,x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立. 设h(x)=x2lnx+lnx-2x+2,则h′(x)=2xlnx+x+-2, 因为x≥1,所以2xlnx≥0,x+≥2·≥2(当且仅当x=1时等号成立),即h′(x)≥0, 所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,h(x)≥h (1)=0, 所以g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立. 考点二 利用“若f(x)min>g(x)max,则f(x)>g(x)”证明不等式 【例2】已知函数f(x)=xlnx-ax. (1)当a=-1时,求函数f(x)在(0,+∞)上的最值; (2)证明: 对一切x∈(0,+∞),都有lnx+1>-成立. (1)解 函数f(x)=xlnx-ax的定义域为(0,+∞). 当a=-1时,f(x)=xlnx+x,f′(x)=lnx+2. 由f′(x)=0,得x=. 当x∈时,f′(x)<0;当x>时,f′(x)>0. 所以f(x)在上单调递减,在上单调递增. 因此f(x)在x=处取得最小值,即f(x)min=f=-,但f(x)在(0,+∞)上无最大值. (2)证明 当x>0时,lnx+1>-等价于x(lnx+1)>-. 由 (1)知a=-1时,f(x)=xlnx+x的最小值是-,当且仅当x=时取等号. 设G(x)=-,x∈(0,+∞), 则G′(x)=,易知G(x)max=G (1)=-, 当且仅当x=1时取到,从而可知对一切x∈(0,+∞),都有f(x)>G(x),即lnx+1>-. 规律方法 1.在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题,则可考虑转化为两个函数的最值问题. 2.在证明过程中,等价转化是关键,此处f(x)min>g(x)max恒成立.从而f(x)>g(x),但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”. 【训练2】已知三次函数f(x)的导函数f′(x)=-3x2+3且f(0)=-1,g(x)=xlnx+(a≥1). (1)求f(x)的极值; (2)求证: 对任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2). (1)解 依题意得f(x)=-x3+3x-1,f′(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1), 知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是减函数,在(-1,1)上是增函数, 所以f(x)极小值=f(-1)=-3,f(x)极大值=f (1)=1. (2)证明 易得x>0时,f(x)最大值=1, 由a≥1知,g(x)≥xlnx+(x>0), 令h(x)=xlnx+(x>0), 则h′(x)=lnx+1-=lnx+, 注意到h′ (1)=0,当x>1时,h′(x)>0; 当0 即h(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数, h(x)最小值=h (1)=1,即g(x)最小值=1. 综上知对任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2). 考点三 不等式恒成立或有解问题 多维探究 角度1 不等式恒成立求参数 【例3-1】已知函数f(x)=(x≠0). (1)判断函数f(x)在区间上的单调性; (2)若f(x) 解 (1)f′(x)=, 令g(x)=xcosx-sinx,x∈,则g′(x)=-xsinx, 显然,当x∈时,g′(x)=-xsinx<0,即函数g(x)在区间上单调递减,且g(0)=0. 从而g(x)在区间上恒小于零, 所以f′(x)在区间上恒小于零, 所以函数f(x)在区间上单调递减. (2)不等式f(x) 令φ(x)=sinx-ax,x∈, 则φ′(x)=cosx-a,且φ(0)=0. 当a≥1时,在区间上φ′(x)<0,即函数φ(x)单调递减, 所以φ(x)<φ(0)=0,故sinx-ax<0恒成立. 当0 当x∈(0,x0)时,φ′(x)>0,故φ(x)在区间(0,x0)上单调递增,且φ(0)=0, 从而φ(x)在区间(0,x0)上大于零,这与sinx-ax<0恒成立相矛盾. 当a≤0时,在区间上φ′(x)>0,即函数φ(x)单调递增,且φ(0)=0,得sinx-ax>0恒成立,这与sinx-ax<0恒成立相矛盾. 故实数a的最小值为1. 规律方法 1.破解此类题需“一形一分类”,“一形”是指会结合函数的图象,对函数进行求导,然后判断其极值,从而得到含有参数的方程组,解方程组,即可求出参数的值;“一分类”是指对不等式恒成立问题,常需对参数进行分类讨论,求出参数的取值范围. 2.利用导数研究含参数的不等式问题,若能够分离参数,则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式,通过求函数y=f(x)的最值求得参数范围. 【训练3】(2018·大同模拟)已知函数f(x)=. (1)若函数f(x)在区间上存在极值,求正实数a的取值范围; (2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥恒成立,求实数k的取值范围. 解 (1)函数的定义域为(0,+∞), f′(x)==-, 令f′(x)=0,得x=1. 当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数; 所以x=1为函数f(x)的极大值点,且是唯一极值点,
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