椭圆性质92条及其证明精编文档doc.docx
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椭圆性质92条及其证明
1.阳+阳=2“2.标准方程卡+秸3.孚=e 4•点P处的切线PT平分APFR在点P处的外角. 5.PT平分AP卜1F? 在点P处的外角.则焦点在直线PT上的射彩H点的轨迹是以长轴为直径的恻,除去长轴的两个端点. 6.以焦点弦PQ为宜径的関必与对应准线相离.7.以焦点半径PR为直径的闘必与以长轴为有径的関内切. 8.设A|、A2为椭岡的左、右顶点,则△PFR在边PFs(或PFP丄的旁切岡,必与A1A2所在的直线切丁A? (或A*・ X2〒 9.趙闘〒+於=|(a>b>0)的丙个顶点为A(-“,())■£(“,()),与y细平行的直线交椭圈于Pi.P2时A”与AR交点 n•> 的轨迹方程是二-二=1・ 22 10.若人心儿)在椭I吟+壬=1上,则过4的椭岡的切线方程是爭+爭八 22 11・若巴(心,儿)在椭同亠+£r二1外,则过PO作椭国的阴条切线切点为P1XP"则切点弦PR的直线方穆是 儿dI儿〉: —1 Fv2b2 12.AB是脚|州〒+斎二1的不平行于对称轴的眩.M为AB的中点.IO期.匕厂-产. 2222 13.若代(和儿)在椭罚二+—=1内,则彼Po所平分的中点弦的方程星上上+畔二辽+冥・ xb°xlrcrlr 14.若*(心,儿)在椭鬪二+厶=1内,则过Po的強中点的轨迹方程是厶斗二二竺■+怦. (CZrer/ r? v2Illi I5・若PQ足+fr=l(a>b>0>上対中心张直和的弦.则—±—r十—(q-IC? PI,GIOQI). 三.a°b" 16•若ffil恻A_+2_=i(a>b>0)上中心张宜角的弦L所在宜钱方程为Ax+By=l(4〃工U),则 (1)丄+4=A2+«\ (2)crZr 2>/a4A2^b4B2 a2A2^-bzB2 17.給定椭風6b2x^^a2y2=a2b2(a>b>0),C,: 戸卫+/尸? ")1则(i)对GI任意给定的点巩几,儿),cr十b, “2一戸“2_沪 它的任-宜角兹必须経过C2上一定点m(厶一r曲,-厶一r九). (C+h^(C+b' (ii)XdC2」・任一点P(A0\y0)在G」•存在唯一的点M‘血得M的任一直角弦祁经过尸咸 IX.设卩(大桶関(或闘)C: 二+乂=1(a>()..h>()>h—点.PR为肪线C的功孩•冃孩HYPD斜率存在.记为 ab・ 2上2,则直线”卩2通过定点"(”5,_力7儿)(冲才1)的充要条件是£|・匕=-'十"[•厶 I-wa* 19.过椭関存4•賽(a>0,b>0)上任一点A(A7Py0)任憑作两条倾斜角互补的克线交椭圆于BC两点,则宜线RC有定a"『 向且知c■孚1(常数〉・ “儿 22 2U・椭洌二+亠=1(a>b>U)的&石焦点分别为卜1,F2,点卩为桩鬪上任意一点Z/;P/-;=/.则椭圆的焦恵三用形的crb 面积为Sw^^Fian牛户仕-Jc2tan^.t—tan^)• 一cV2c2 21・若P为WjBftl—+—=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点”,F2是焦点,ZP斤ZPFW则trZr a-ca0 =tan—(an—. a^c22 22 22.厶+L=1(a>b>0)的傑半径公式: l;WA;l=6/+ex0」MF;1=d■纠,(林(-c,0).斤(c.O),M(心)“)・crb X: y2 23.若櫛圆厶+二=1(a>b>0)的左、右焦戍分别为弘F? 左准统为1・,则当 d-lMevl时,可在椭圆上求一点P,使得PR是P到对应准线距离d与PF’的比例中顶. 22 24.P为料圆壬+*=1(a>b>0〉上任一点片巧为二焦点•A为楠圆内一定虽则2—1AF21<1PAI+1PF}\<2a+1AF2I, 当且仅当A,Fl9P三点共线时.等号成立. 槿囲二+二=1(a>b>0)±存在两点关干宜线/: y=«a•-儿)对祢的充要条件是可£竺二^・crZrr七bW 过楠圆焦半径的端点作桶悯的切如与以长紬为肖径的恻相交,则相应交点与相应依点的辻线必与切线垂苴 过櫛闘焦半径的端点作楠阴的切钱交相应准线于一点.则该点与焦点的连銭必与焦半径可村乖首. x=acos(p.I …屮(a>b>0)上一底.则点P对桶岡阴焦点张宜角的允嬰条件是£•二• y=Asin(oI+sin*(p 2222 31.设S为俺闘二+.=1(a>b>0)的通径,定长线段L的两端点A.B在椭网上移动,记IABI=/,M(g几)是ABa"b" 中点,■沖时,有%亡-才当ZS时,有2金Eg". 32.椭同二+厶=1与直线Ax+By+C=Q有公共点的充要条件是A2a2+B2b2>C2. (厂2 33.mUv=1与宜线/U+By+C=U有公共点的充要条件是A2a2+〃沪>(Avfl+/Ao+C)2・ Xb_ 22 34.设楠惻二+匚==Ka>b>0)的两个焦点为FrFbP(异于长轴端点〉为椭圆上任怠一点,在中记乙F、PF—a、 ab ZPF\F、~卩、乙F\F^P二y、则有---e・ sin0+sinya 35.经过糧風6亍+/十=“芳Ca>b>0)的长轴的两瑞点人和如的切线,与椭圆上任一点的切线相交于Pi和珂,则l^A}l\P2A2\=b2・ 36.已知楠脚二+二=1(Ab>0),0为坐标原点・P、Q为欄恻上两幼点,且OP丄00. (1)—^+—^=4+—; a2b210刖10(? I2a2b2 -2.22.2 (2)IOP|・qQ|2妁煨小值为": 、;⑶❻的最小值是<: 、・ 卩0+/T 37・MN是经过槪闘庆(a>b>0>点的任眩.若AB足经过椭圆中心O且平行丁MN的払,则I曲二MMNI. 38・MN是经过椭\^b2x2+a2yz^a2bl(a>b>0)焦点的任一孩,若过柿圆中心0的半0P丄MN•则2111 alMNI3F.产歹 39-蹄圆于伊I(Z),g或(“)为其对称轴上除中心顶点外的任-点,X引-条直线与椭財交 a2If Tl mm 40.设过桶圆焦点F作直线与椭憾相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点.连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭卿准线于M.N两点,则MF丄NE 41.过楠园一个焦点F的直线与椎圆交于两虑P、Q,ArAz为椭园长轴上的顶点.AtP和AQ交于点A*和人Q交干点N,则MF丄NF. 42.设桶阀力粒—十2r=1•则料率为x(i(丸)的平行弦的屮点必任宜线(: y=kx的夬馳宜线y=A/上血且氐=-一. 矿Zrx 43・设A、B、C、D为椭圆二十厶=1上四点,AB.CD所徂直线的倾斜角分别为a、0,直线AB与CD相交于卩,且P不/b, 在豳上刚黑=匸心+/si" |PC|・|PD|『cosP+d,sins 44.已知桶阅2+真=1b>0>^.P为其上一点FhF2为fft闘的焦点.ZFfF、的外(内〉角平分线为/,作R、trA “.3..\a2v2+Z? 2a(x±c)T 鬥分别垂直/于r、s,当P腿谊整个櫛酸IN,R、S形成的轨迹力程於F+才=a'(Lb=__I. a2y2+少(大士c)・ 45.设AABCrt接于榊圆「•目AB为「的直径./为AB的共辄直轻所在的直鏡.Z分别交直线AC.BC于E和F.又D为/上一点.则CD与楠闘「相切的充耍条件是D为EF的中点. 46・过輸圆亠4鼻=1(a>b>0)附右依点F⑴直线交该椭圆右支于M.N两点.眩MN的垂直平分线交x轴于P,则\PF\\MN\2 的直线L,.又设d是瓯点到虫线L 47-设A“)是榊畤+*“35上任-点,过A作-条斜率为-总的孤离,/;込分別足A到桶闘两焦点的距离,则gd=ab・ r*v*r*v* 48・己知桶刿=+丄=1(a>b>0)^1—+yT=X(0 IAB|-|CD|・ ra 49.已知極恻厶十「=1(a>b>0)人B、是桶圜丄的两点,线段AB的垂道平分线与x轴相交于点・户(旺,0),则erZr 5<・ aa 22 50.设P点是^fe|—42-=](a>b>0)I•异干长轴端点的枉一点”、F2为其焦点记ZFVF、=B・则 XIT ⑴f"啓匕^^⑵S咛,“⑻仔 51.设过椭圆的长轴上一点B(go)作直銭与辅圆相交于P.Q两点,A为桶圆长轴的左顶点,连结AP和AQ分别交相应于过H点的直我MN: .v=n于M,N•两点,则ZMBN=9()U>上二伫=八"""・ d+加bpi+aT r*v* 52.I.是经过椭国牛+件=1(a>b>0)K: 轴顶点A且与长轴垂直的」'|线・FF杲擁關两个俸点飞是离心奉川Pg£・&・$ 若ZEPF=a.则rz址锐角Fsinrz 53.L址椭惻乂4厶>=1(a>b>0>的准线,A、B足椭鬪的长轴两顶点,点PwL,cE离心率.ZEPF=a・H足L与X轴的交点c是半焦距,则a是锐角且sina 54.L是桶風2+二"(a>b>0)的那线,E、F是阴个魚点・H足L与x轴的交点•点PwL,ZE尸F=a晶心率 crb 为c,半焦业为c,则a为锐角且sinase2或aSd/vsinF(当且仅当兀7时収等号)・ c 22 55.己絃桶恻二-£=1(a>b>0)^线Litmt右備点F2•且与構圆相交于A、B|旳点,将A、B与椭@|左焦点E (Tb・ 来.则尸《凡41・1屛DIM严于(当[[仅沂aba轴时右边不等式取蒔号.半冃仅肖A.Fi.B三点共线时 (T 左边不等式収等号). 22 56.设A、B足椭圆二二=1Ca>b>0)的艮轴两端点.P足椭剧上的点."AB二a、乙PBA=卩、乙BPA=y、 (Tb" c、c分别是髓岡迪半焦理离心率,则有 (1)IPAI=,"八.⑵ianaian/? =1-e2.(3)5^=21£_€01/. (T-LCO5Fb°—(T 22 57•设A、B是榴闘寸^+店二1(a>b>U)|x轴上分别位十榊圆内(并于原点人外部的阴点・H兀、心的横坐杯兀•心二(1〉若过A点引直线与这HjUUII交于P、Q两点.^ZPBA=ZQBAt (2)若过B引直统与这椭稠相交于P、Q沥点. 则ZPA〃+ZQA〃=18(T・ 22 58.HA.R是: 椭闘二4乙=1(a>h>0)KWl上分别位于椭闘内(异于腹点)・外部的两点,(I〉若过A点引直线与 a/r 达脚岡和交于P、Q衲点,(若BP交柿圆于两点,則P、Q不关于x轴对祢),且ZPBA=ZQB,\,则氏A、BftM黄坐标心.勺满足心•心=/、(2〉若过B点引直线与这椭圆相交于P・Q两点.且Z"〃*ZQ4B=18(),则点A.B的横坐标满足心・・。 =“2・ 59.1HA.A是帥闵厶+的怏轴的洌个堆点,QQ是与人八垂宜的拓则宜线AQ与AQ的交点P的轨迹是及曲线 0Zr Hl a2b2・ 6().过椭冏2+二=1(a>b>0)的片伎点F作互相垂肖的两条眩AR、CD刚—V人〃I41CD1<""") (广少/+/ra 22 61•到椭圖卡+右二“a>b>O)M焦点的距离之比等于于(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊^M(x±af+y2=bz・ra r*va—O 62・到能國一+—=](a>b^0)的长轴两端点的距离.Z比等于二亠(c为半焦评.)的动点M的轨述是姊妹Ml"■Ab (X±©2+y2= (2)2 ee 22 63.到+4=l(a>b>0)的两准线和x轴的交点的距离之比7j—(c为半焦距〉的动点的轨迹是姊妹岡 crlrb (龙±=): *〉;=(£)‘(C为离心率)・ e°e" y>V2 64.已知P是椭圆+~=1(a>b>0)±一个动点,Ad是它长轴的两个端点,且AQ丄AP.AQ丄人户・则Q点的 alr x2b2y1 轨迹方祝是=+斗=1. aa 65.椭関的条自径(过中心的弦)的忆为通过-•个焦点且与此直径平行的弦长和长轴Z长的比例中顼. 66.设椭^4+4=1(a>b>0)长抽的端点为人A.P(心儿)是刪州上的点过P作斜率为-型的宜线/•过人八彷 abaj 别作垂直丁反轴的直线交IT则(1}1AMIIAMI二Z? ・ (2)四边形VM4\w'|ftl积的昂小位足2ab. 22 67.己知桅恻卡+*=1(a>b>0)的右准线/与x轴相交于点F,过椭网右黒点F的直线与柿岡相交于A、B两点,点C在右冷找/JL・11BCHx轴.列直线AC经过线段EF旳中点. 佩CA.CR是R|a|(Aldl-4-^-=l(a>(Xh>0)的两家互柑垂直的京.C为坐标厦点.则 (1)直线AR必经过一个Q・少 定点(—■,0). (2)以OA、OB为直徑的两鬪的另一个交点Q的轨咙方程是(A-4^r+r=(-^y(X/0)・ cr4-b-Q・\b・wb・ 69.叭“)是椭圆罟T+3b>。 )上-个定点,PA,PB是互相垂訥弦,则⑴觀AB踰过-个定 点(2ab・+j(t-b\n(b: _t))⑵以卩人pp为直径的两圆的另一个交点q的轨迹方趨昱"-+/Ta^+lr a24)a2n)2h2n>(r[h^)r(a2-b: )] (兀——)+(y_-)='‘、厂•__-(x$m且yHn)・ +X+b°(犷+b・)・ 70.如果一个桶洌煜半伯怏为b・焦点F|、鬥到宜线厶的匪齊弁别为d|・d2,那么门)(1仏=护・月弘FMM冋侧o直线L和椭岡和切・ (2)d}d2>b2•且F八F? 在L同侧O直线1和椭圆相离,(3〉d.d2 P•> 71.AB是楠閱二•+—"(a>b>0)的长轴.N是椭侧上的动点,过N的切线与过A.B旳切线交于C、D两点.则 ab 梯形EC的T交: M蹄迹方程岭+整=如。 )•22 72.设恵尸(心儿)为椭恻[■+*■=1(a>b>0)的内部一定点,AB是權闘卡+*•=1过运点尸(心几)的任一%•当 孩AB平行(或重合)于椭圆长轴瞅直线时(IPAI-IPfilU川盲叫).半弦AB垂直于长轴所左直线时,(l/MI・IP叫和■"少-(“[y+zr右) 73.椭関焦三角形中,以焦半径为直径的吗必与以椭圆氐轴为宜径的闘相内切. 74.椭恻焦三角形的旁切例必切长轴于丰焦顶戍同则的长轴端戍. 75.椭阴两焦点到椭冏您三角形旁切圖的切线长为址值a+c与a-c. 76.椭园焦三角形的非焦顶点到其内切風的切线长为定值a-c. 77.椭関储三角形中,内点到一焦点的胆离与以该焦点为端点附! 伴径之比为常数c(离心率)・(注: 在椭惋保三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点・) 78.椭関焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比c. 79.椭岡焦三角形中,半焦距必为内.外点到桶圆中心的比例中项. 80.胴焦三角形中・椭1貝中心到内戍的距眉、内点到同侧焦点的也离、半焦距及外点到同侧焦点的趾离成比例. 81・椭関痰三角形中,半焦距、夕卜点与桶坷中心连线段.内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例. 82.椭圆焦三角形中过任谯点向车焦顶点的外角平分线引垂线厠楠圆中心与垂足连线必与另焦半径所在直线平行. 83.楠鬪焦三角形中,过任一焦点向丰焦顶点的外角平分线引垂线测楠圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 84•椭恻條三为形中,过任一焦点问非您顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半矗为直径的凤和椭圆长轴为直径的阅的切点. 85.桶闘焦二角形中,非焦顶点的外允平分线与佩半径.长轴所在直线的火角的余弦的比为定值s 86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87.椭圆焦三角形中徘焦顶点的切线即为该顶角的外曲平分线. 88.椭関焦三用形中,过非焦顶点的切线与轴两端点处的切线相交测以两交点为直彳仝的関必过两焦点. 89.已知融4+yC=lU>0上>0)(包括闘在内)上有一点P,过点P分别作直线v=-x^y=--x的平行线.与x轴(Tb・aa 于M,N,与y轴交于R.Q・3i原点,则: ⑴I0MI'+IONI’P/: ⑵lOQl'+IORI「功1 90・过平面上的P点作直线l}: y=-x及人: y=-匕大的平行线,分别交2•轴于M.N,交y轴于乩0・ (1)若aa IOMr+1ONF=2/,则p的轨迹方程是二+匸=1(">o丄>0)・ (2)若1001: +1OR卩=2,,则P的轨迹方程是旷b~ 22 2+丄=1(">0#>0)・ crZr 91•戍P为桩闘亠+鼻-2、0”、0)〈包括闘任内)在第殂限的弧上任恚点・HPJl.v轴、y轴的平行线.交,袖、 ・T轴于M,N・交iMy=--xf・记AOMQ与AOM? 的面枳为S“S「则: S,+S,=—・ a2 92.•■•P为第一枣陨内一点.过fTlx轴、y柚的半行线・交y轴、A-Wl-JM,N,交fl^y=-! ^xJQ,K.疋M)MQ与AONR的面积为S|,S“己知SC卑.阳p的轨迩方程足+炸=\{a>()fb>0). 椭圆性质92彙证明 1.椭團第一定义.2.由定戈即可得橢圈标准方軒.3.桶惻第…定义. •.•a.0g[(),彳r.a=fi同理可证其它惜况。 故切线PT平分戍P处的外角。 5•如图•赶长F(P至A.使PA=PF>,则APA人是等腰三角形.AF: 中点即为射影H-则0〃,二空二“•同理可得OH严“•所以射覺H,.出的轨迹是以长轴沖直径的圈除去两端点。 6•设P・q两点到与焦点対应的准线的卅屆分别为山4,以PQ中点到准线的距离为d•以PQ为直径的鬪的半卷为。 则 怜帘「故以5直径的阴与对应准线碱 8.如囹,【h切线长定理: \F}S\4-I^Tl=|P^i14\PF2\p|^]/%|=241».2c,|斤s|=|斤刀=4* 而片7j=“+c=|斤比I,F与力2璽合,故旁切田与X柚切于右顶点,同班可证P在共他位程満况。 9•易知械恋D)4(a,0)片(心儿),出(心厂)%)斗卜*=1A£: y=丄」(卄町,4片: y=— U0d+Xod—x0 贝0*鼎弗諒幽,◎•••笛一專=4/22-宀昴I心丿"b“bAjtjb耳、 dy0 10.•••*5)榊畤+*=1匕•护普=1,对务+斧1求导得: 手+务—仏 •••切E为尸儿“伞(一“)即竺+罟=密+君=1 a“)hcrb°aa ii•设£(心”)・只(心儿)・rtiio徐沁+丄竺1=]沁亠丄! 工二I.冈%心人・只在有线pr|・・[|同时満足方秤、cTb"crb" 斗瞥1,所以也: 菩+辱“ ir少•xb・ 22。 2 12•设/(州』则有晒•賽十賽」作差补匚卫+吟1.0cTu(Tb"cTu 13.11112可得: 丿一儿=-匕丄―工一心)=>/)•y-“2)f+〃■入一卩工=0 14••由12可得: 上二虹•上=一厶沙"十一从W=0x-^x =>b2x2+a2y2=Z? \x+d2yfly=> ]I_屮+寸_/(cos^+cos: 屮+F斤2才(,cos,f+b2sinh)(/cos2,+b: sii? ) d]*I、*bzj(arr7*〔anh] (cos'fcos21)〔co//cos21ci2(2+(an21+tan2f)+Z? : (tan: r+tan2/)+2/>2tan2/tan21 (/+b‘ian'f)(/+/? 2tan: r)a4+a2b2(tan2z+tan: r)+Z>4tan: /tan2r a2+b,)(tanS+tany)+2/","-2d4+a: b2(^n21+(anF) 16.将宜线AB代入桶闘力程中彳决(A2a2+B2b2)x2-2Aa2x+1/2(1-H'b2)=0 A=4a2R2h2[A2a2+R2b2|/A«|=二: £〃"J心,+-1 : .AjX.+y}y2=°=>(/+(/V+)=>/V+= 17. (1)设楠圆内宜角弦AB的方程为: y-加二上(x-刃)即y^kx+m-kn。 当斜率k«时•代入柿岡G方程中得: (/疋十员)/十24臥伽一加)"/[伽-4)‘一员]“ 则PA•PB=区-易)(心-忑)+(儿->i)(>o-儿) =(&2+1>勺七_(点咕+5+旺_刖*)(齐+七)+応+[儿_(劝_加)]2= =>/(£‘4"1)[(血一知广一泾卜土订亠叽亠斗—讥)2&伙(刃一知】)+("甘“•)#4-|2士/‘)[几一(皿一如厂=0 =>呎/+1)(加一肋)'一/(疋+1)员+(孫'+沪)£: +(4皆+/)£+@如+/)(加一血)2 一2儿(加-如】)(a7+1/)-2“Wm-細)°+2akx<}(加一R)+2a咲)»(m-A/? )=0 =>a2[m-kn): -/4-lj/r+(aW+b)x;+(d‘F+F(加一如)°一2儿伽一巾)戻(加一5)=0 =>(“亡+〃)(对+,: )+(": +//)(加-如)'一“7/(亡+1)+2(加一如)(“愉0-〃玄)=0 =>+y: )+F(£+)W)+(/+,)亦+(/十-2如“(/-a2b: ^2ma2kx^—2ntb‘y°一2k: na2x(i+2knb: y^=0dlr: +(“'+Z>: )? r-b'xl-2m2Aft=0 =>mt? 州■♦-y0=nin(a
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