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数列的极限
数列的极限
【知识概要】
1.数列极限的定义
1)数列的极限,在"无限增大的变化过程中,如果数列{"”}中的项%无限趋向于某个常数A,那么称A为数列{"”}的极限,记作lima”=A.换句话说,即:
对于数列如果存在一个常数A,对于任意给泄的£>0,总存在自然数N,当n>N时,不等式I©—川<£恒成立,把q叫做数列{勺}的极限,记为hmatl=A・
11
注:
①理解数列极限的关键在于弄淸什么是无限增大,什么是无限趋近;
2有限项的数列不存在极限问题,只有无穷项数列才存在极限问题:
3这里的常数力是唯一的,每个无穷数列不一立都有极限,例如:
{(-1)"}:
4研究一个数列的极限,关注的是数列后面无限项的问题,改变该数列前而任何有限多个项,都不能改变这个数列的极限:
5“无限趋近于A”是指数列{"”}后而的项与A的"距离”可以无限小到"零”.
例1判断下列结论的正误
(1)若lima”=0,则越来越小;
/r—
(2)若\iman=A,且{©}不是常数数列,则山无限接近A,但总不能达到A;”fH
(3)在数列{%}中,如果对一切neN总有则{色}没有极限:
(4)若liman=A•贝ijliml^-A\=0.
“f3C"TOO1
解:
(1)不j匸确,例如:
5=-丄,«/r+|>cin
n
2,5为偶数)
(2)不匸确,例如:
an=<
2/?
…,lim«n=2・
S为奇数)一」[n+\
(3)不正确,例如:
an=1-—,an+1>an,但]iman=1.
n28
(4)正确
2.数列极限的运算性质
1)数列极限的运算性质
如果\ima=A,hmb=B9那么
n—h
1lima±仇)=Hmcin±limb”=A±B;
n—“fx►»
2]im(an-bn)=limaH-limbn=AB;
HT30n—
alim©a
3lim丄=^^=—(3HO)・
一—bnlimZ?
KB
特别地,如果C是常数,那么lim(C-aj=limC-liman=C-A.
/—a©ll-^xn-^x
2)四种常见的重要极限
(1)limC=C
30
(3)limb=0(—1vgvl)
(2)lim丄=0
川*n
(4)lim(l+—)r,=e川十c>?
例2下列命题中正确的命题是()
(A)若lima”=A,
HT30
aA
hmb=B.则lim^=-*—hB
(B)若liman=0>则lim(a0r)=0
□fxn—>oc
(C)若liman2=A2,则liman=A
(D)若liman=A>则limaw2=A2
HfRFITOC
解:
选(D)
已知lim[⑵z-l)«zr]=2>求limnan・
/r—>ocn—>x
解:
limnatt=lim⑵?
一l)q厂lim—-—=2x—=1n—“TOC2/7—12
求下列数列的极限
2/z-lJ 1(nwN"),贝ijlimalt=0 ——Jl>72" lim®=37・ f2ir-zi+3 (3)lim亦+1-J畀一1)=1: (4) ・xl2〃+l丿e (5)lim(l-1)(1-1)(1一丄)・・・(1一丄)=0; 234n (6) ..1+2+3+・・・+n1lim;=- 宀/r2 3.数列极限常见的解题技巧 现阶段求数列的极限,总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限,再依据极限的四则运算法则求解。 所谓的解题'‘技巧”,也就是如何变形的问题。 一般来说,关于”的数列通项a„=f(n),如果仅仅只在底数的位苣中含序号”,往往 变形为F(-),利用lim-=0求解: 如果仅仅只在指数的位置中含序号〃,往往变形成n心00n W),利用limq〃=0求解: 如果既在底数的位置中含序号-又在指数的位置中含序号 往往变形成凡(1+丄)T的形式,利用lim(l+-r=e求解•同时遵循先化简再变形的原 77HfgH 则. 例5若lim(3an+4®)=&lim(6陽一化)=1,求lim(3舛+bn). 解: 根据3an+bn=x(3an+4bn)+y(6an-bn)求解,可得lim(3色+化)=3. 口TOC 【课堂练习】 1.下列命题正确的是() ①数列{(-1人行}没有极限 ②数列{(一厅扌}的极限为0 的极限为d 没有极限 A.①②答案: D B.②③®C.①②®D.①②©④< ③数列W+ ④数列 2.命题: ①单调递减的无穷数列不存在极限: ②常数列的极限是这个常数本身: ③摇摆的无穷数列不存在极限•以上命题正确的是() A.0B.1C.2D.3 答案: B.由极限的宦义仅有②是正确的•①的反例是迅二丄这是无穷单调递减数列,它的极 n Il_Rn+l] 3•已知则怛云产的值是(B) A.——B.—C.—bD.不存在 aa 4.设S”是无穷等比数列的前”项和,若limS广丄,则首项®的取值范围是(C) ”fX4 A.(0,—)B.(0,—〉C.(0,—)U(—,—)D.(0,—)U(—91) 4244242 5.在数列{①}中,若lim(3”一l)a=1,则limna-・ 6. /r->x £] 7.已知lim(~~: an一方)=0,贝ija-,b二 心8n+1 &已知无穷等比数列{勺}的首项为公比为q且有lim(上_一/)=丄,则首项©的2_q2 取值范围是■ “宀12 8. 答案: 5.-6.-7.1-1 3 9 式就可求得"的取值范帀. 所以卩—«|<|2^/|,两边平方,得: (1一°)2<4/, 3/+2a—1>0,(3“一l)(a+1)>0,所以a<-\>-. 3 答案B 10.在数列{©}中,已知4」,且勺=一2»陥(心2),求lim咯. 3宀s; 2 11.已知f(Q=「(jv>0),设勺=1&利・/(%)=2(neN‘), 2+4 (1)数列{£}的通项公式; (2)lim w->x 2 解: (1)由血+尸•f(务)=2,得念+F•—;——=2 吋+4 .•・*f-aL4・•.{/}是以1为首项,4为公差的等差数列, /.a/=l+4(n—1)=4刀一3 *•*>0aFJ4〃—3 当bV2,即一2 3 当b=2,即b=±2时,原式二] 5 当b>2,即b>2或b<-2时,原式二歹 --,(-2 <2) 3 7 综上,原式二]=,(b=±2) b\(b>2或方<一2) 12•如图,在边长为/的等边△叔: 中,圆q为△於氏的内切圆,圆q与圆0]外切,且与 朋、氏相切,…,圆0心与圆Q外切,且与曲、氏相切,如此无限继续下去,记圆q的 (【)证明{©}是等比数列: (II)求lim(q+偽+佝+•••+§)的值. /r—►» 1J3解: (I)记n为圆必的半径・乃二一tan30°=—2, 2 ・・.冷「1(心2) 6 ••刊一丁【1\ 12 13.设数列{%}满足4+纟+仮+•••+乞二孑一1,{%}的前M项和为 23n Sn{a>0,dHlj: eN「)・ ⑴求{%}: ⑵求lim (a2n-1)/7 (3)求证: (n+2)(〃+\)an+n(n+2)afj^<2n(n+l)f//l+2 解: ⑴“烤+晋+•••+牛z ・5守诗+•••+汩肓…-1(心2) Va^a~1•••当/>=1时,等式亦成立.a.^n(an—an-)n£N* ⑵由 (1)a.^=n(a_,—a"z)=n(a—l)a'"SF(a: —1)(l+2a=+3a*+5) a'5F(a3—1)(a=+2//+・“+(n—1)a": +na"~) (l+ef+戲+•••+"”-—na")(a—1) (3)若要证(卅2)(卅1)去+力(穴2)»<2刀(卅1)—,只要证乞+上上L<2・竺- nn+1n+2 ・.・2•也勺_2」"+2%"2-1)(严2毗『-1)才"("+1)(/-1屮 n+2nn+1n+2nn+1 =(a2-l)•a3fl_s(2a-l-a2)=(/-l)3-asw_s(2a3+l)>0 •••原不等式成立. 【真题演练】 I11 1+—+・•・一— 14.求lim—J——的值为( NTH11 1+—+・•・+4 (A).0 3 (B)I 1 (C)巧 (D).1 答案: (B) 15•设等差数列{%}的前n项和为S「 S 若&=S3=12,则lim-7= 答案: 1
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