北京市房山区届高三模拟考试一模数学理.docx
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北京市房山区届高三模拟考试一模数学理
房山区2018年高考第一次模拟测试试卷
数学(理)
第一部分(选择题共分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)若集合,,则集合等于
(A)(B)(C)(D)
(2)已知复数,且复数,在复平面内对应的点关于实轴对称,则
(A)(B)(C)(D)
(3)已知实数满足条件,则的最大值是
(A)(B)(C)(D)
开始
否
是
输出S
结束
(4)执行如图所示的程序框图,若输出的,则判断
框内应填入的条件是
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)下列函数中,与函数的单调性和奇偶性相同的函数是
(A)(B)
(C)(D)
(6)如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)“”是“关于的方程无解”的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
(8)如图,直线与单位圆相切于点,射线从出发,绕着点逆时针旋转,在旋转的过程中,记,经过的单位圆内区域(阴影部分)的面积为,记,则下列判断正确的是
(A)当时,
(B)时,为减函数
(C)对任意,都有
(D)对任意,都有
第二部分(非选择题共分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)抛物线的焦点坐标为.
(10)某班植树小组今年春天计划植树不少于棵,若第一天植树棵,以后每天植树的棵数是前一天的倍,则需要的最少天数等于.
(11)在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为______.
(12)已知函数同时满足以下条件:
周期为;②值域为;③.试写出一个满足条件的函数解析式.
(13)四大名著是中国文学史上的经典作品,是世界宝贵的文化遗产.某学校举行的“文学名著阅读月”活动中,甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》(每种名著均有若干本),要求每人只借阅一本名著,每种名著均有人借阅,且甲只借阅《三国演义》,则不同的借阅方案种数为.
(14)如图,两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形,若直角边长为,且,则.
E
D
A
B
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(15)(本小题分)
在△中,内角的对边分别为,,,且.
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,,求△的面积.
(16)(本小题分)
年冬,北京雾霾天数明显减少.据环保局统计三个月的空气质量,达到优良的天数超过天,重度污染的天数仅有天.主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施,如:
①减少机动车尾气排放;②实施了煤改电或煤改气工程;③关停了大量的排污企业;④部分企业季节性的停产.为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况,从某乡镇随机抽取户,进行月均用气量调查,得到的用气量数据(单位:
千立方米)均在区间内,将数据按区间列表如下:
分组
频数
频率
合计
(Ⅰ)求表中,的值,若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该乡镇每户月平均用气量;
(Ⅱ)从用气量在区间和区间的用户中任选户,进行燃气使用的满意度调查,求这户用气量处于不同区间的概率;
(Ⅲ)若将频率看成概率,从该乡镇中任意选出了户,用表示用气量在区间内的户数,求的分布列和期望.
(17)(本小题分)
如图,四棱锥中,△是以为斜边的等腰直角三角形,,=,,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)若为中点,求与面所成角的正弦值;
(Ⅲ)由顶点沿棱锥侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为.求该最短路线的长及的值.
(18)(本小题分)
已知椭圆:
过点,离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点作斜率为的直线,与椭圆交于,两点,若线段的垂直平分线交轴于点,求证:
为定值.
(19)(本小题分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,
(i)求在处的切线方程;
(ii)设,求函数的极值;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间有两个的零点,求实数a的取值范围.
(20)(本小题分)
已知有穷数列数列中各项都是集合的元素,则称该数列为数列.对于数列,定义如下操作过程:
中任取两项,将的值添在的最后,然后删除这样得到一个项的新数列(约定:
一个数也视作数列).若还是数列,可继续实施操作过程,得到的新数列记作,…,如此经过次操作后得到的新数列记作.
(Ⅰ)设请写出的所有可能的结果;
(Ⅱ)求证:
对于一个项的数列操作总可以进行次;
(Ⅲ)设,求的可能结果,并说明理由.
房山区2018年高考第一次模拟测试试卷
数学(理)
参考答案
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
A
B
C
B
D
D
A
C
2、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)(10)(11)(12)或或其它满足条件的结果。
(13)(14)
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(15)(本小题分)
(Ⅰ)解:
由已知得,
即.
解得,或.
因为,故舍去.
所以.…………6分
(Ⅱ)解:
由余弦定理得.
将,代入上式,整理得.
因为,
所以.
所以△的面积.…………13分
解:
(Ⅰ),
估计该村每户平均用气量为
…………4分
(Ⅱ)设“这3户用气量处于不同区间”,则
…………7分
(Ⅲ)的可能取值为,,,,则
所以的分布列为
或,所以…………13分
(17)证明:
证明:
(Ⅰ)由题,
…………5分
(Ⅱ)法1:
由(Ⅰ)知
以点O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示
C()P(0,0,1),D(0,1,0)B()E(0,,)
设面PBC的法向量
设CE与面PBC所成角为
…………10分
(Ⅱ)法2:
以点D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示
C()P(-1,0,1),D(0,0,0)B()E(,0,)
设面PBC的法向量
设CE与面PBC所成角为
…………10分
法3:
以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示
C()P(0,1,1),D(0,2,0)B()E(0,,)
设面PBC的法向量
设CE与面PBC所成角为
…………10分
(Ⅲ)
将侧面PCD绕着PD旋转,使其与侧面PAD共面,点C运动到C’,连接AC’交PD于E,
则AC’为最短路线
…………14分
(18)(Ⅰ)根据题意
解得:
所以椭圆的方程为……………5分
(Ⅱ)设直线的方程为
由得
由得且
设,线段中点
那么,
设,根据题意
所以,得
所以
=
所以为定值…………………14分
(19)(Ⅰ)解:
,,,.
.
故所求切线方程为:
(Ⅱ)解:
函数定义域为:
,
故的极小值为,无极大值.
(Ⅲ)解法1:
令,解得:
(显然)
问题等价于函数与函数的图像有两个不同交点.
由(Ⅱ)可知:
,,,解得:
故实数a的取值范围是.
(Ⅲ)解法2:
(1)时,上是减函数,不能有两个零点;
(2)时,,所以恒成立,所以上是减函数,不能有两个零点;
(3)时,令
变化情况如下表:
()时,即,上是增函数,所以不能有两个零点;
()时,上是减函数,上是增函数.所以若有两个零点只需:
即:
解得所以
综上可知的范围是
20.解:
(Ⅰ)有如下的三种可能结果:
……………………3分
(Ⅱ),有
且
所以,即每次操作后新数列仍是数列.
又由于每次操作中都是增加一项,删除两项,所以对数列每操作一次,项数就减少一项,所以对项的数列可进行次操作(最后只剩下一项)……………………6分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知中仅有一项.
对于满足的实数定义运算:
,下面证明这种运算满足交换律和结合律。
因为,且,所以,即该运算满足交换律;
因为
且
所以,即该运算满足结合律.
所以中的项与实施的具体操作过程无关………………..….11分
选择如下操作过程求:
由(Ⅰ)可知;
易知;;;;
所以;
易知经过4次操作后剩下一项为.
综上可知:
.....................13分
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