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高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷(A卷)
2016~2017学年第2学期考试科目:
高等数学AU
考试类型:
(闭卷)考试考试时间:
120分钟
学号姓名年级专业
题号
-一一
-二二
-三
四
总分
得分
评阅人
得分
一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1.二元函数zIn(y22x1)的定义域为。
iji
2、设向量a(2,1,2),b(4,1,10),!
ba,且11,则
3•经过(4,0,2)与(5,1,7)且平行于X轴的平面方程为
4.设uxyz,贝Udu。
1
5级数
(1)n-p,当p满足条件时级数条件收敛。
n1n
得分
、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1•微分方程2(xy
x)y'y的通解就是
()
A.yCe
2x
b.y2
Ce2x
C.y2e2y
Cx
D.
e2yCxy
2.求极限lim
2;xy4
()
(x,y)
(0,0)
xy
1
1
C.
1
1
A.-
B.-
D.—
4
2
4
2
3.直线L:
X
y
-与平面
:
3x2y
7z80
的位置关系就是
()
3
2
7
A.直线L平行于平面
B.直线L在平面上
4.D就是闭区域{(x,y)|a2x2y2b2},则x2y2d
D
3\
a)
A.—(b3a3)B.Z(b3a3)C.=(b3a3)
233
5.
A.
1
n1(n1)(n4)
B.
1n
n1n21
C.
n
1
12n1
D.
n13n(n
1)
下列级数收敛的就是
得分
三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分)
1、求微分方程y'yex满足初始条件x0,y2的特解。
2、计算二重积分-2一dxdy,其中D{(x,y)x2y21,xy1}
dxy
3.设zz(x,y)为方程2sin(x2y3z)x4y3z确定的隐函数,求一Z—
xy
4.求曲线积分(xy)dx(xy)dy,其中L沿x2寸a2(x0,y0),逆时针方
L
向。
5.计算y5・1x2y6dxdy,其中D就是由y3x,x1及y1所围成的区
D
7•将函数
(1x)(2x)
展开成x的幕级数,并求其成立的区间
域。
得分
四、解答题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
1•抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。
nn
2、求幕级数(1nx的与函数
n1(n1)!
3.设函数f(x)与g(x)有连续导数,且f(0)1,g(0)0,L为平面上任意简单光
滑闭曲线,取逆时针方向丄围成的平面区域为D,已知
Lxydx[yf(x)g(x)]dyyg(x)d,
D
求f(x)与g(x)。
华南农业大学期末考试试卷(A卷)
2016~2017学年第2学期考试科目:
高等数学AU参考答案
一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1.{(x,y)|y22x10}2.3
3.9yz204.yzxyz1dxzxyzlnxdyyxyzlnxdz5.0p1
二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1、5CM
1.C2.C3.C4.B5.A
三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分)
1、求微分方程y'yex满足初始条件x0,y2的特解。
解:
先求y'y0的通解,得yGex2分
采用常数变易法,设yh(x)ex,得y'h'(x)exh(x)ex3分
代入原方程得h'(x)exh(x)e%h(x)exex4分
得h(x)1e2xC5分
2
故通解为y^exCex6分
2
313
将初始条件x0,y2带入得C—,故特解为y—ex-ex7分
2、计算二重积分
x
~~2
DX
%dxdy,其中D{(x,y):
x2y
y21,xy1}。
222
解:
设xrcos,yrsin
所以
D
_1
2、sin
y
^dxdy
y
cos
2d
0
11「迹2rSinrdr
sincosr
3、
设zz(x,y)为方程2sin(x
2y3z)x4:
y3z确定的隐函数,求—z
x
z
。
y
解:
设F(x,y,z)x4y3z2sin(x2y3z)•…
1分
Fx
12cos(x2y3z),Fy
44cos(x2y
3z),Fz3
6cos(x2y
3z)
4分
z
Fx2cos(x2y3z)1
zFy
4cos(x2y
3z)4
•6分
x
Fz3[12cos(x2y3z)fyFz
3[12cos(x
2y3z)]
所以
z
—17分
x
y
4、
求曲线积分(Xy)dx(xy)dy,其中L沿x
L
222/
ya(x
0,y0),逆时针方
向。
解:
圆的参数方程为:
xacost,
yasint(0t
/…………
....1分
(x
L
y)dx(xy)dyo2(acost
asint)dacost
o2(acostasint)dasint•…
••3分
2a
o2(cos2tsin2t)dt
4分
2a
2
[sin2tcos2t]0
....g分
a27分
(本题也可以利用
“曲线积分与路径无关”来解
)
5、
计算y5Jx2y6dxdy,其中D就是由y
3x,x1及y1所围成的区
D
域。
解:
D{(x,y)|3xy1,1x1}1分
y5.1x2y6dxdydx3_y5.1x2y6dy2分
13x
D
1213
631【(1x2y6)2]l-dx4分
9
2
9
1..
6
13
1(|x|31)dx
13
0(x31)dx
&判断级数
L1)nn
n
11n的敛散性并指出就是条件收敛还就是绝对收敛。
1
Vn
所以级数发散。
又
(1)nn
n1
1)n(1
(1)n1
(工=
n(n1),n
显然,交错级数
(1)n,
Jnn1(n1)Jn
7分
敛。
7.将函数(1x)(2x)
1
解:
-
(1x)(2
x)
(1)n都收敛,所以原级数收敛。
因此就是条件收
展开成x的幕级数,并求其成立的区间。
而丄
1xn0
|x|
|||](|x|2)
所以
1
(1x)(2x)
xx2in新f(f)2ni]
(1二)^6分
nO2
成立范围|x|17分
四、解答题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
1、抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解:
设椭圆上任一点P的坐标为P(x,y,z),P点满足抛物面与平面方程。
原点到这
椭圆上任一点的距离的平方为x2y2z2,1分
构造拉格朗日函数
Fx2y2z2(x2y2z)(xyz1)2分
Fx2x2x0
Fy2y2y0
Fz2z04分
22
Fxyz0
Fxyz10
1
解得x-(1,3)5分
得两个驻点为P(12.3)
2
22222222
6分
所以最短距离为,95.3,最短距离为,95.37分
nn
2、求幕级数
(1)nx的与函数n1(n1)!
nnnn
n!
n0(n1)!
(1)X
(1)x
non!
当x0时,S(x)0。
7分
另解:
nn
x0时,
(1)nx
1
xn
nn1
(1)nx
1
Xn1
(1)n
x
xndx
0
1(n
1)!
1(n
1)!
(n
1)!
1
x
nn
(1)x
dx
1
x
(1)n
1n1
x」
—
0
n1
—
x
dx
x
(n1)!
x
0
n1(n
1)!
x
x
xde
1
xx
xee1x
当x0时,S(x)0。
3、设函数f(x)与g(x)有连续导数,且f(0)1,g(0)0,L为平面上任意简单光滑闭曲线,取逆时针方向,L围成的平面区域为D,已知
Lxydx[yf(x)g(x)]dyyg(x)d,
D
求f(x)与g(x)。
解:
由格林公式得
[yf'(x)g'(x)x]dxdyyg(x)dxdy2分
DD
即[yf'(x)g'(x)xyg(x)]dxdy03分
D
由于区域的任意性,yf'(x)g'(x)xyg(x)04分
又由于y的任意性,有f'(x)g(x),g'(x)x5分
x2
又由f(0)1,g(0)0得,g(x)6分
3
所以f(x)x17分
6
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