第四章42同角三角函数基本关系式及诱导公式.docx
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第四章42同角三角函数基本关系式及诱导公式
§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
最新考纲
考情考向分析
1.理解同角三角函数的基本关系式:
sin2x+cos2x=1,=tanx.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题,常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用,强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力.题型为选择题和填空题,低档难度.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:
sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:
=tanα.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tanα
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
概念方法微思考
1.使用平方关系求三角函数值时,怎样确定三角函数值的符号?
提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号.
2.诱导公式记忆口诀:
“奇变偶不变,符号看象限”中的奇、偶是何意义?
提示 所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系,口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( × )
(2)若α∈R,则tanα=恒成立.( × )
(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.( × )
(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sinα=.( × )
题组二 教材改编
2.[P19例6]若sinα=,<α<π,则tanα=.
答案 -
解析 ∵<α<π,
∴cosα=-=-,
∴tanα==-.
3.[P22B组T3]已知tanα=2,则的值为.
答案 3
解析 原式===3.
4.[P28T7]化简·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为.
答案 -sin2α
解析 原式=·(-sinα)·cosα=-sin2α.
题组三 易错自纠
5.已知sinθ+cosθ=,θ∈,则sinθ-cosθ的值为.
答案 -
解析 ∵sinθ+cosθ=,∴sinθcosθ=.
又∵(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=,θ∈,
∴sinθ-cosθ=-.
6.(2018·成都诊断)已知α为锐角,cos=,则cos(π+α)=.
答案 -
解析 ∵cos=sinα=,且α为锐角,
∴cosα=,∴cos(π+α)=-cosα=-.
7.已知cosα=,-<α<0,则的值为.
答案
解析 ∵-<α<0,
∴sinα=-=-,
∴tanα=-2.
则=
=-==.
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
1.已知α是第四象限角,sinα=-,则tanα等于( )
A.-B.C.-D.
答案 C
解析 因为α是第四象限角,sinα=-,
所以cosα==,
故tanα==-.
2.若tanα=,则cos2α+2sin2α等于( )
A.B.C.1D.
答案 A
解析 tanα=,则cos2α+2sin2α===.
3.若角α的终边落在第三象限,则+的值为( )
A.3B.-3C.1D.-1
答案 B
解析 由角α的终边落在第三象限,
得sinα<0,cosα<0,
故原式=+=+=-1-2
=-3.
4.已知sinα-cosα=,α∈(0,π),则tanα等于( )
A.-1B.-C.D.1
答案 A
解析 由
消去sinα,得2cos2α+2cosα+1=0,
即(cosα+1)2=0,∴cosα=-.
又α∈(0,π),∴α=,
∴tanα=tan=-1.
思维升华
(1)利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用:
对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用:
1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
题型二 诱导公式的应用
例1
(1)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是( )
A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}
C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2}
答案 C
解析 当k为偶数时,A=+=2;
当k为奇数时,A=-=-2.
(2)(2018·太原质检)化简:
=.
答案 -1
解析 原式=
==
=-=-·=-1.
思维升华
(1)诱导公式的两个应用
①求值:
负化正,大化小,化到锐角为终了.
②化简:
统一角,统一名,同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα.
跟踪训练1
(1)已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线3x-y=0上,则=.
答案
解析 由已知得tanθ=3,
∴=
==.
(2)已知f(α)=(sinα≠0,1+2sinα≠0),则f=.
答案
解析 ∵f(α)=
===,
∴f====.
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例2
(1)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sinα的值是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由已知可得-2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ-1=0,解得tanα=3,又α为锐角,sin2α+cos2α=1,故sinα=.
(2)已知-π ①求sinx-cosx的值; ②求的值. 解 ①由已知,得sinx+cosx=, 两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=, 整理得2sinxcosx=-. ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=, 由-π 又sinxcosx=-<0, ∴cosx>0,∴sinx-cosx<0, 故sinx-cosx=-. ②= = ==-. 引申探究 本例 (2)中若将条件“-π 解 若0 ∴sinx>0,cosx<0, ∴sinx-cosx>0,故sinx-cosx=. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响. 跟踪训练2 (1)(2018·唐山模拟)已知角θ的终边在第三象限,tan2θ=-2,则sin2θ+sin(3π-θ) cos(2π+θ)-cos2θ等于( ) A.-B.C.-D. 答案 D 解析 由tan2θ=-2可得tan2θ==-2, 即tan2θ-tanθ-=0, 解得tanθ=或tanθ=-. 又角θ的终边在第三象限,故tanθ=, 故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ =sin2θ+sinθcosθ-cos2θ == ==. (2)已知sinα=,则tan(π+α)+=. 答案 或- 解析 ∵sinα>0,∴α为第一或第二象限角, tan(α+π)+=tanα+ =+=. ①当α是第一象限角时,cosα==, 原式==; ②当α是第二象限角时,cosα=-=-, 原式==-. 综合①②知,原式=或-. 1.已知α是第四象限角,tanα=-,则sinα等于( ) A.B.-C.D.- 答案 D 解析 因为tanα=-,所以=-, 所以cosα=-sinα, 代入sin2α+cos2α=1,解得sinα=±, 又α是第四象限角,所以sinα=-. 2.已知tan(α-π)=,且α∈,则sin 等于( ) A.B.-C.D.- 答案 B 解析 tan(α-π)=tanα=, 由解得cosα=±. 又因为α∈, 所以α为第三象限的角,所以cosα=-, 所以sin=cosα=-. 3.(2018·大同质检)已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于( ) A.-B.-C.D. 答案 D 解析 ∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ), ∴-sinθ=-cosθ,∴tanθ=. 又∵|θ|<,∴θ=. 4.(2018·佛山质检)已知α∈,且cosα=-,则等于( ) A.B.-C.D.- 答案 C 解析 ∵α∈,且cosα=-, ∴sinα==, 则===. 5.设tanα=3,则等于( ) A.3B.2C.1D.-1 答案 B 解析 ∵tanα=3, ∴原式====2. 6.(2018·菏泽检测)已知sin=,α∈,则sin(π+α)等于( ) A.B.-C.D.- 答案 D 解析 由已知sin=,得cosα=, ∵α∈,∴sinα=, ∴sin(π+α)=-sinα=-. 7.若θ∈,则等于( ) A.sinθ-cosθB.cosθ-sinθ C.±(sinθ-cosθ)D.sinθ+cosθ 答案 A 解析 因为 == =|sinθ-cosθ|, 又θ∈,所以sinθ-cosθ>0, 所以原式=sinθ-cosθ.故选A. 8.(2018·湖南省岳阳一中模拟)已知sinx+cosx=,x∈(0,π),则tanx等于( ) A.-B.C.D.- 答案 D 解析 由题意可知sinx+cosx=,x∈(0,π),则(sinx+cosx)2=,因为sin2x+cos2x=1, 所以2sinxcosx=-,即==-,得tanx=-或tanx=-.当tanx=-时,sinx+cosx<0,不合题意,舍去,所以tanx=-.故选D. 9.(2018·洛阳模拟)若tan=,则sinθcosθ=. 答案 解析 因为tan==,所以tanθ=. 所以sinθcosθ====. 10.(2018·唐山检测)sinπ·cosπ·tan的值是. 答案 - 解析 原式=sin·cos·tan =·· =××(-)=-. 11.已知0<α<,若cosα-sinα=-,则的值为. 答案 解析 因为cosα-sinα=-,① 所以1-2sinαcosα=, 即2sinαcosα=. 所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=. 又0<α<, 所以sinα+cosα>0. 所以sinα+cosα=.② 由①②得sinα=,cosα=,tanα=2, 所以=. 12.已知k∈Z,化简: . 解 当k=2n(n∈Z)时, 原式= = ==-1; 当k=2n+1(n∈Z)时, 原式= ===-1. 综上,原式=-1. 13.若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为( ) A.1+B.1- C.1±D.-1- 答案 B 解析 由题意知sinθ+cosθ=-,sinθcosθ=, 又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ, ∴=1+, 解得m=1±,又Δ=4m2-16m≥0, ∴m≤0或m≥4,∴m=1-. 14.已知A,B为△ABC的两个内角,若sin(2π+A)=-·sin(2π-B),cosA=-cos(π-B),则B=. 答案 解析 由已知得 化简得2cos2A=1,即cosA=±.当cosA=时,cosB=,又A,B是三角形内角,∴B=;当cosA=-时,cosB=-,又A,B是三角形内角,∴A=,B=,不合题意,舍去,综上可知B=. 15.已知α,β∈,且sin(π-α)=cos. cos(-α)=-cos(π+β),求α,β. 解 由已知可得 ∴sin2α+3cos2α=2,∴sin2α=, 又α∈,∴sinα=,α=. 将α=代入①中得sinβ=, 又β∈,∴β=,综上α=,β=. 16.已知cos+sin=1. 求cos2+cosβ-1的取值范围. 解 由已知得cosβ=1-sinα. ∵-1≤cosβ≤1,∴-1≤1-sinα≤1, 又-1≤sinα≤1,可得0≤sinα≤1, ∴cos2+cosβ-1=sin2α+1-sinα-1=sin2α-sinα =2-.(*) 又0≤sinα≤1, ∴当sinα=时,(*)式取得最小值-, 当sinα=0或sinα=1时,(*)式取得最大值0,故所求范围是.
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- 第四章 42同角三角函数基本关系式及诱导公式 第四 42 三角函数 基本 关系式 诱导 公式