小升初数学分数应用题归类及解析汇报.docx
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小升初数学分数应用题归类及解析汇报
小升初分数应用题归类详解
(一)求一个数是另一个数的几分之几(百分之几)的应用题
在分数、百分数三类基本应用题和较复杂的应用题中是以“求一个数是另一个数的几分之几(百分之几)”应用题为基础的。
这是因为这类应用题,在实际工作和生活中应用广泛,另一方面通过这类应用题的学习,搞清百分数的基本数量关系,也就有利于其他两类百分数应用题的理解。
“求一个数是另一个数的几分之几(百分之几)”应用题的结构特征是:
已知一个数和另一个数,求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。
这里,“一个数”是比较量,“另一个数”是标准量。
因此,这一类问题的实质是已知比较量和标准量,求分率或百分率,也就是求它们的倍数关系。
其解法是:
分率(百分率)=比较量÷标准量
解这类问题,找准标准量和比较量是关键。
分析方法一般是在弄清已知条件和问题的相依关系的基础上,从问题入手,搞清谁与谁比,以谁做标准,分清比较量与标准量;如果两个量中有一个是未知数,那么,首先应通过已知条件先求出这两个数,才能进行解答。
要使比较量、标准量找得准确,还必须了解这类应用题的关键句式。
按其形式来分,可以有以下三种:
1.基本句式:
“甲是乙的几分之几(百分之几)”
甲是比较量,乙是标准量,几分之几(百分之几)”是分率(百分率)。
即甲与乙比,甲是比较量,乙是标准量。
句式为:
“……是……的……”。
类似的提法有:
“……占……的……”、“……相当于……的……”、“……完成了……的……”等。
其规律一般是:
用“是”、“占”、“相当于”、“完成了”等词连接的两个量,前面那个量是比较量,后面那个量是标准量。
2.引伸句式:
“甲比乙多(或少)几分之几(百分之几)”。
这种用“比……多(或少)……”的句式连接的两个量中的比较量发生了变化。
必须弄清这种句式的实际意义,即:
“甲-乙比乙多(或少几分之几)或(百分之几)”。
与“……比……(标准量)多……”类似,而涉及实际意义的有:
“……比……增加、提高、超额、超过、上升……”等。
与“……比……少……”相类似而涉及实际意义的有:
“……比……减少、降低、下降、缩小、慢、节省、节约……”等。
其规律一般是:
“……比……多(或少)……”的句式中,比字后面那个量是标准量,而比较量则是两个相关联的量之差。
3.省略句式:
在分数、百分数应用题中,大部分叙述句中省略了某些成份,这一类应用题更多体现在问句中。
在分析问题时,必须把省略简化了的成份补述出来,以便正确地确定比较量和标准量。
一般来说,“……占……的……”句中的“占”一类的关键词不写出来。
如“完成了几分之几(百分之几)”“增产几分之几(百分之几)”“降低……”等。
以“价格降低了百分之几?
”为例,原意是:
“降低的部分占原价的百分之几”又如“实际超产百分之几”原意则是:
“实际产量比原计划超过百分之几。
”标准量分别是原价格和原计划,而比较量则是降低和超过的部分。
除此之外在审题时还应注意类似“增加到”“增加了”“减少到”“减少了”等概念的区别。
在解法方面,与基本应用题相应的较复杂应用题大致有:
1.已知甲乙两数,求甲数比乙数多几分之几(百分之几)。
这种类型题的解法是:
甲数÷乙数
2.已知甲乙两数,求乙数比甲数少几分之几(百分之几)。
这种类型题的解法是:
(甲数-乙数)÷甲数×100%
如果按应用题涉及的实际意义来分类,常见的有:
A、求实际完成任务量的百分数。
解法是:
实际生产数÷计划数×100%
B、求超额完成量的百分数。
解法是:
(实际生产数-计划数)÷计划数×100%
C、求降低价格的百分数。
解法是:
(原价格-后来价格)÷原价格100%
D、求增长率。
解法是:
(后来生产量-原产量)÷原产量100%
根据这一类应用题涉及的实际意义、范围及其解法可概括为四个部分。
1.基本型。
已知两个具体数,求它们之间的或它们各自与总量之间倍数关系的应用题(包括求发芽率、浓度、误差、复种指数等),即:
(1)已知甲数与乙数,求甲数是乙数的几分之几(百分之几),乙数是甲数的几分之几(百分之几)。
(2)已知甲数和乙数,求甲数占甲乙总数的几分之几(百分之几),乙数占甲乙总数的几分之几(百分之几)。
例1.三年级一班有42名同学。
参加游泳比赛的有18名。
参加游泳比赛的占全班人数的几分之几?
分析:
“求参加游泳比赛的人数占全班人数的几分之几”,是参加比赛的人数与全班人数比,应以全班人数做标准量。
解:
18÷42=18/42=3/7答:
参加游泳比赛的占全班人数的3/7
例2.机修车间有男工25人,女工20人,女工占车间总人数的百分之几?
分析:
“求女工占车间总人数的几分之几”应以车间总人数为标准量。
解:
总人数:
25+20=45(人)20÷45≈44.4%答:
女工占车间总人数的44.4%。
例3.玩具厂第一季度计划制造电动玩具600件,实际多做了48件。
完成计划的百分之几?
分析:
“求完成计划百分之几”,要以计划数做标准量,实际数做比较量。
解法1:
(600+48)÷600=648÷600=108%解法2:
把计划数看做整体“1”,则实际比计划多做48÷600=8%,共完成计划数的8%+1=108%。
即:
48÷600+1=8%+1=108%答:
完成计划的108%。
例4.试验组用500粒小麦种子做发芽试验,有490粒种子发了芽。
求发芽率。
分析,“率”就是比率,就是百分比。
求发芽率就是求发芽数占种子总数的百分之几。
以种子总数做标准量。
解:
发芽数÷种子总数×100%即:
490÷500×100%=98%答:
发芽率是98%。
同理:
求出粉率。
就是求出粉数占粮食总数的百分之几,以粮食总数为标准量。
求出油率。
就是求出油数占原料总数的百分之几,以原料总数为标准量。
求出勤率。
就是求出勤人数占总人数的百分之几,以总人数为标准量。
求成活率。
就是求活了的数占总数的百分之几,以总数为标准量。
求合格率。
就是求合格的数占产品总数的百分之几,以产品总数为标准量。
例5.把12.5千克食盐放入1000千克水中,溶成盐水。
求盐水的浓度。
分析:
把食盐放入水中后形成的食盐水,叫做溶液,食盐叫溶质。
溶质与溶液的百分比,叫做浓度。
求浓度就是求溶质占溶液的百分之几,以溶液为标准量。
根据题意溶液是食盐与水重量的和。
解:
12.5÷(12.5+1000)×100%≈1.23%答:
盐水的浓度约是1.23%。
例6.从甲城到乙城实际距离是75.18千米,测得结果是75.04千米。
求误差对于测量值的百分比。
分析:
误差:
是实际长度和测量结果的差。
“求误差对于测量值的百分比”,就是求误差与测量值的百分比。
以测量值为标准量。
解:
(75.18-75.04)÷75.04≈0.19%答:
误差对于测量值的百分数约是0.19%。
2.引伸型。
求一个数比另一个数多(或少)几分之几(百分之几)的应用题。
这部分应用题是基本类型的引伸。
一般有:
(1)已知甲(大数)、乙(小数)两数,求甲数比乙数多几分之几(百分之几);
(2)已知甲(大数)、乙(小数)两数,求乙数比甲数少几分之几(百分之几);
这类题的解法规律是先求出两个数的差,以差作为比较量。
但不能误认为甲数比乙数多几分之几(百分之几),乙数就比甲数少几分之几(百分之几)。
比多时应以乙数(小数)作为标准量;比少时应以甲数(大数)作为标准量。
例1.山岭村早稻去年平均公亩产400千克,今年平均公亩产600千克,今年公亩产比去年公亩产多百分之几?
去年公亩产比今年公亩产少百分之几?
分析:
第一问,“今年公亩产比去年公亩产多百分之几”,是指今年公亩产比去年公亩产多生产的数是去年公亩产的百分之几。
所以,要以去年公亩产量做标准量(整体“1”)。
第二问,“去年公亩产比今年少百分之几”,是指去年公亩产比今年公亩产少的数是今年公亩产的百分之几。
所以,要以今年公亩产做标准量(整体“1”)。
解法1.第一问:
(600-400)÷400=200÷400=50% 第二问:
(600-400)÷600=200÷600=33.3%
解法2.第一问,也可以先求出今年公亩产是去年公亩产的百分之几,然后再求多百分之几(600÷400)-1=150%-1=50%
第二问,也可以先求出去年公亩产是今年公亩产的百分之几,然后再求少百分之几。
1-400÷600≈0.333=33.3%
例2.某机械厂制造一种轴承,每套轴承成本由2.3元降低到0.73元。
降低了百分之几?
分析:
“求降低了百分之几”,就是说现在比过去降低了百分之几。
也就是降低了的钱数是原来的百分之几。
(注意:
是“降低到”“不是降低了”)。
以原来成本为标准量。
解:
(2.3-0.73)÷2.3=68.3%答:
约降低了68.3%。
例3.某拖拉机厂,1985年原计划生产拖拉机1200台,上半年生产了675台,下半年比上半年增产2/5,超过计划百分之几?
分析:
“求超过原计划百分之几”。
就是求超产的部分是原计划的百分之几,以原计划做标准量。
解:
先求出全年实际产量:
675+675×(1+2/5)=1620(台)
再求比原计划多百分之几:
(1620-1200)÷1200=420/1200=35%答:
超过原计划35%。
3.较复杂的求一个数是另一个数的几分之几或百分之几的应用题。
这类应用题是简单(基本)应用题的组合或引伸,关键在于找准标准量,并揭示它的变化和其它隐蔽的条件,化繁为简。
例1.某班有学生50人,会游泳的有36人,占全班人数的百分之几?
如果这个班有女同学25人,其中3/5会游泳,那么,男同学有百分之几会游泳?
解:
(1)36÷50=72%
(2)“男同学中有百分之几会游泳”就是求男同学中会游泳的占男同学的百分之几。
应以男同学总数作为标准量。
其中会游泳人数作为比较量。
但这两个数都要通过已知条件算出来。
即:
男生人数:
50-25=25(人),男同学中会游泳的人数:
36-25×3/5=21(人),男生有百分之几会游泳:
21÷25=84%
例2.某校去年有女生200人,男生比女生多80人。
今年女生人数比去年增加20%,因此比男生多30人,今年男生比去年减少百分之几?
解:
去年女生200人,今年增加了20%,那么今年女生人数是去年的(1+20%)。
要求今年男生人数比去年减少了百分之几,应以去年男生人数(200+80)为标准量;以今年(女生人数-30)比去年减少的男生数为比较量。
即:
200×(1+20%)=240(人)今年女生数。
[(200+80)-(240-30)]÷(200+80)=(280-210)÷280=70÷280=25%答:
今年男生比去年减少了25%。
例3.某工厂两个生产小组按计划每月共生产零件680个。
结果第一组超额本小组计划的20%,第二组比本组计划多生产零件54个。
这样,两个小组比原计划共多生产零件118个。
问第二组比本组计划超额百分之几?
解:
“求第二组比本组计划超额百分之几”实质上也属于求“甲(大数)数比乙(小数)多百分之几”的类型,标准量应是第二组计划生产的零件数。
由题意知“两组共多生产零件118个”。
而其中又知“第二组多生产54个”。
所以,第一组多生产的零件数是118-54=64(个),是第一组超额部分,相当于第一组计划的20%。
所以第一组计划生产零件数是64÷20%=320(个)。
那么第二组计划生产零件数则是680-320=360(个)。
求出了标准量。
再求54(个)占360(个)的百分之几,就是求比计划超额的百分数。
即:
54÷360=15%。
综合式:
54÷[680-(118-54)÷20%]=54÷[680-64÷20%]=54÷[680-320]=54÷360=15%
4.较特殊的求一个数是另一个数的几分之几(百分之几)的应用题。
这类应用题一般数量关系抽象复杂,解法一般不符合基本题的关系式,要具体问题具体分析。
例1。
某校五年级学生人数的2/3等于四年级学生人数的4/5,问五年级人数是四年级学生人数的几分之几?
四年级学生人数是五年级学生人数的几分之几?
解:
(1)五年级学生人数的1/3=四年级学生人数的4/5÷2=4/5×1/2。
所以,五年级学生人数是四年级学生人数的:
4/5×1/2×3=6/5
(2)同理,四年级学生人数是五年级学生人数的:
2/3÷4/5=5/6答:
(略)
说明:
一般来说,若甲数的a/b等于乙数的c/d,则甲数就是乙数的c/d÷a/b。
乙数就是甲数的a/b÷c/d(a、b、c、d≠0)。
如果甲数是乙数的m/n,则乙数就是甲数的n/m。
但如果求的是百分数,其形式看上去不同,实际是一样的。
一般的说,甲数的a%等于乙数的b%,则甲数就是乙数的b/a×100%;乙数就是甲数的a/b×100%。
所以在运算时,只用百分数的分子进行运算就可以了。
例2.甲数比乙数少37.5%,乙数比甲数多百分之几?
甲数比乙数多15%,乙数比甲数少百分之几?
解:
第一问应以甲数为标准量,第二问也应以甲数为标准量。
问题在于怎样表示甲、乙二量以及它们的差量,必须正确理解题意。
“甲数比乙数少37.5%”这句话是以乙为标准量,为了简便设乙为100,则甲数应该是100-37.5=62.5。
所以第一问可以用(乙-甲)÷甲=37.5÷(100-37.5)=60%来表示得数。
“甲比乙多15%”这句话,如以乙为标准量时则甲=乙+15(设乙为100),则乙比甲少15。
所以第二问可以用(甲-乙)÷甲=15÷(100+15)=13.04%来表示得数。
这个求法,是省略了分母100的简略写法。
当甲是小数时,所求的百分比是差量÷(1-差量)×100%;当甲是大数时,所求的百分比是差量÷(1+差量)×100%。
例3.有一瓶纯酒精,倒出1/4后用水加满,再倒出1/5后,用水加满,最后倒出1/6后用水加满,这时瓶中含有的纯酒精比原来少了几分之几?
解:
以原来的纯酒精为整体“1”,则倒出1/4后瓶中剩下的纯酒精是原来的1-1/4=3/4;再倒出1/5后,瓶中剩下的纯酒精是原来的3/4×(1-1/5)=3/5;再倒出1/6后,瓶中剩下的纯酒精是原来的3/5×(1-1/6)=1/2;这时瓶中含有的纯酒精比原来少了1-1/2=1/2。
例4.某化肥厂生产一批化肥,计划用14天完成,由于改进了操作方法,提前4天完成了任务,求每天工作效率提高了百分之几。
解:
设工作任务为“1”,则原来每天完成任务的1/14,后来每天完成全任务的1/(14-4),这个差额占原来每天完成任务量的百分之几,就是提高的工作效率。
即:
例6.某标准件厂制造一种螺丝,生产每个所需的时间由原来的6分钟减少了3.5分钟。
过去每天生产80个,现在每天能超产百分之几?
解:
这道题也可用比例解,工作时间一定,生产每个零件所用的时间与生产量成反比例。
设现在每天能生产X个。
现在每天能超产(192-80)÷80=140%
例7。
水结成冰时,冰的体积比水增加1/11,当冰化成水时,水的体积比冰减少了几分之几?
解:
以水的体积为标准。
冰的体积是水的:
1+1/11=12/11,反过来以冰的体积为标准,水的体积是冰的:
1÷12/11=11/12,所以当冰化成水时,水的体积比冰少了:
1-11/12=1/12综合算式:
1-1÷(1+1/11)=1/12
例8.甲、乙、丙三人储蓄。
甲储的钱数是乙的11/6倍,丙储的钱数是甲的2/5。
那么乙和丙所储的钱数是甲的几分之几?
(二)已知一个数,求它的几分之几(百分之几)是多少的应用题
1.概念及其类型:
这种类型的题目是已知标准数和分率(或百分率)求比较数。
2.解题关键及规律:
解这类题目的关键是确定标准数。
题目中标准数已知,求比较数,其公式为:
比较数=标准数×分率(或百分率)
例1.黄庄去年春季植树1200棵,其中柳树占2/5,柳树有多少棵?
分析:
通过“柳树占2/5”这句话,确定总棵数为标准数(即单位1)已知总棵数是1200棵。
柳树为比较数。
根据题意画出线段图如下:
从上图可以看出:
柳数棵数是植树总棵数(1200棵)的2/5。
。
想一想:
如果把2/5改写成40%,应该怎样计算?
例2.东风小学共有学生1520人,男生人数占全校人数的5/8,女生有多少人?
分析:
通过“男生人数占全校人数的5/8”这句话确定全校总人数为标准数(即单位“1”)全校总人数为1520人,女生人数为比较数。
根据题意画出线段图如下:
从上图可以看出,女生人数是全校总人数(1520人)的(1-5/8)。
解法一:
1520×(1-5/8)=1520×0.375=570(人)答:
女生有570人。
解法二:
先求男生人数,再从全校总数里减去男生人数,就得女生人数。
1520-1520×5/8=1520-950=570(人)
例3.胜利糖厂去年计划生产白糖1440吨,实际比计划超产20%,去年实际生产白糖多少吨?
分析:
通过“实际比计划超过20%”这句话确定“去年计划产量”为标准数(即单位“1”),计划产量为1440吨,去年实际产量为比较数。
根据题意画出线段图如下:
从上图可以看出:
去年实际产量相当于计划产量的(1+20%)。
解法一:
1440×(1+20%)=1440×1.2=1728(吨)
解法二:
先求出去年实际比计划多生产的吨数,再用与去年计划同样多的吨数与超产吨数相加。
列式:
1440+1440×20%=1440+288 =1728(吨)
(三)已知一个数的几分之几(百分之几)是多少,求这个数的应用题
1.概念及其类型:
这种类型的题目是已知比较数和它对应的分率(或百分率)求标准数。
2.解题关键及规律:
解这类题目,关键是确定标准数。
题目中已知比较数,求标准数的公式为:
标准数=比较数÷对应分率(或百分率)
例1.某校有少先队员384人,占全校学生总数的4/5,全校共有学生多少人?
分析:
通过“(少先队员人数)占全校学生总数的4/5”这句话,确定“全校总人数”为标准数,(即单位“1”)求全校总人数。
少先队员人数为比较数,是384人。
根据题意画出线段图如下:
从上图可以看出:
少先队员人数是384人,占全校学生总人数的4/5。
解法一:
解设全校总人数为x人x×4/5=384x=480答:
全校有480人解法二:
384÷4/5
例2.光明皮鞋厂四月份生产皮鞋200双,比三月份增产1/11,三月份生产皮鞋多少双?
分析:
通过“(四月份)比三月份增产1/11”这句话,确定“三月份”生产的双数为标准数,(即单位“1”)求标准数。
四月份生产的双数为比较数,是1200双。
根据题意画出线段图如下:
从上图可以看出:
四月份生产皮鞋1200双,占三月份生产皮鞋双数的(1+1/11)
解法一:
设三月份生产皮鞋X双x×(1+1/11)=1200x=1100 解法二:
1200÷(1+1/11)
例3.挖一条水渠,已挖了2/3,还剩4千米。
这条水渠全长多少千米?
分析:
通过“已挖了2/3”这句话,确定全长为标准数(即单位“1”),求标准数。
还剩的长度为比较数,是4千米。
根据题意画出如下线段图:
从上图可以看出:
还剩4千米,占这条水渠总长度的(1-2/3)。
解法一:
设全长为X千米。
x×(1-2/3)=4x=12解法二:
4÷(1-2/3)
例4.王庄今年公亩产小麦230千克,比去年增产15%,今年每公亩比去年增产多少千克?
分析:
通过“比去年增产15%”这句话,确定去年的小麦每公亩产量为标准数(即单位“1”),这道题须先求出标准数,再求出它的15%是多少。
根据题意画线段图如下:
从上图可以看出今年小麦每公亩产量是去年每公亩产量的(1+15%),是230千克。
可以算出去年小麦每公亩产量,然后,再求标准数的15%是多少。
解法一:
230÷(1+15%)×15%=230÷1.15×0.15=30(千克)答:
今年每公亩比去年增产30千克。
解法二:
先求出去年每公亩产小麦千克数,再用今年每公亩产量减去去年小麦每公亩产量,就得增产千克数。
230-230÷(1+15%)
例5.某村用拖拉机耕地,第一天耕了全部的1/4,第二天耕了余下的3/7.这时,还剩120公亩,求耕地总公亩数。
分析:
本题以耕地总公亩数为标准数(即单位“1”),第一天耕地后,还余总公亩数的(1-1/4),第二天耕地后,还余总公亩数的〖1-1/4-(1-1/4)×3/7〗即〖(1-1/4)×(1-3/7)〗也就是120公亩.
解法一:
120÷〖1-1/4-(1-1/4)×3/7〗=120÷3/7=280(公亩)解法二:
120÷〖(1-1/4)×(1-3/7)〗
解法三:
先以第一天耕地后余下的公亩数为标准数(即单位“1”。
)由于第二天耕了余下的3/7,余下的为(1-3/7),即4/7也就是120公亩,可以根据余下的4/7是120公亩,先求出第一天耕地后余下的公亩数是120÷(1-3/7)即210公亩.然后,再以耕地总公亩数为标准数(即单位“1”),由于耕了总公亩数的1/4,还余总公亩数的(1-1/4),也就是210公亩.由于总公亩数的3/4是210公亩,求总公亩数。
120÷(1-3/7)÷(1-1/4)
(四)较复杂的分数、百分数应用题
分数、百分数应用题有一个显著的特点,就是每一个具体的实际数量对应着一个分率(几分之几或百分之几),同样,每一个分率也总有一个具体的实际数量和它对应。
乘法,先要抓准所求问题和已知条件中的分率相对应,然后再求分率所对应的具体数量;除法,要抓住已知条件中所给的具体数量和分率的对应,然后求出单位“1”。
简单地讲,解答较难的分数、百分数应用题,一定找准单位“1”和对应分率这“两件宝”。
常见的较难分数、百分数应用题解法有:
1.转化法。
一道数学应用题如果用某种方法难以思考,或者计算比较繁琐,我们可根据知识间的内在联系,恰当地转化题目中的数量关系,把一种问题转化成另一种问题,往往就能化难为易。
例1.某工人计划三天加工1200个零件,第一天加工了总数的1/3,第二天加工了余下的3/8,第三天加工了多少个零件?
分析:
这道题已知三天加工零件的总数,又已知第一天加工了总数的1/3,第二天加工了余下的3/8,求第三天加工了多少个。
如果按一般的解题方法是:
先求出第一天加工了多少个,用1200×1/3=400(个),再求出还剩下多少个,用1200-400=800(个),然后求出第二天加工多少个,用800×3/8=300(个)。
最后求第三天加工了多少个,用1200-400-300=500(个)。
解法一:
1200-1200×1/3-(1200-1200×1/3)3/8=500(个)或1200(1-1/3)-1200×(1-1/3)×3/8
原题可以这样转化:
把第二天加工余下的3/8,转化为第二天加工总数的几分之几,把总数看成单位1,第一天加工总数的1/3,还剩总数的2/3,即1-1/3=2/3;第二天加工余下的3/8,即2/3的3/8。
用2/3×3/8=1/4,第二天加工总数的1/4。
解法二:
1200×〖1-1/3-(1-1/3)×3/8〗=500(个)
例2.纺织厂一车间有男工120人,男工占女工人数的5/6,已知一车间人数占全厂人数的25%
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