湖北省武汉市中考数学模拟试题含答案.docx
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湖北省武汉市中考数学模拟试题含答案
2020年湖北省武汉市中考数学模拟试卷
一.选择题(满分30分,每小题3分)
1.方程x2=4的解是( )
A.x=2B.x=﹣2C.x=±2D.没有实数根
2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.袋中有形状、大小、质地完全一样的3个红球和2个白球,下列说法正确的是( )
A.从中随机抽出一个球,一定是红球
B.从袋中抽出一个球后,再从袋中抽出一个球,出现红球或白球的概率一样大
C.从袋中随机抽出2个球,出现都是红球的概率为
D.从袋中抽出2个球,出现颜色不同的球的概率是
4.抛物线y=(x﹣2)2+3的顶点坐标是( )
A.(2,3)B.(﹣2,3)C.(2,﹣3)D.(﹣2,﹣3)
5.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行,冬奥会的项目有滑雪(如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等)、滑冰(如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等)、冰球、冰壶等.如图,有5张形状、大小、质地均相同的卡片,正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案,背面完全相同.现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上,从中随机抽取一张,抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,OP交⊙O于点C,连接BC.若∠P=20°,则∠B的度数是( )
A.20°B.25°C.30°D.35°
7.已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的一个根,圆心O到直线
l的距离d=6.则直线l与⊙O的位置关系是( )
A.相离B.相切C.相交D.无法判断
8.已知圆锥的侧面积为10
πcm2,侧面展开图的圆心角为36°,则该圆锥的母线长为( )
A.100cmB.
cmC.10cmD.
cm
9.抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1与x轴交于A,B两点,C(x1,m)和D(x2,n)也是抛物线上的点,且x1<2<x2,x1+x2<4,则下列判断正确的是( )
A.m<nB.m≤nC.m>nD.m≥n
10.如图,直线L是一条河,P,Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是( )
A.
B.
C.
D.
二.填空题(满分18分,每小题3分)
11.已知平面直角坐标系上的三个点D(0,0),A(﹣1,1),B(﹣1,0).将△ABD绕点D旋转180°,则点A、B的对应点A、B的坐标分别是A1 ,B1
12.如图,在3×3的正方形网格中,点A,B,C,D,E,F,G都是格点,从A,B,C,D,E,F五个点中任意取一点,以所取点及G、E为顶点画三角形,所画三角形是等腰三角形的概率是 .
13.要为一幅矩形照片配一个镜框,如图,要求镜框的四条边宽度都相等,且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一,已知照片的长为21cm,宽为10cm,求镜框的宽度.设镜框的宽度为xcm,依题意列方程,化成一般式为 .
14
.将抛物线y=x2+2x向右平移1个单位后的解析式为 .
15.如图,⊙P的半径为10,
A、B是圆上任意两点,且AB=12,以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧),若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为 .
16.已知抛物线y=x2+2kx﹣6与x轴有两个交点,且这两个交点分别在直线x=2的两侧,则k的取值范围是 .
三.解答题(共8小题,满分72分)
17.(8分)已知:
关于x的方程x2+2kx+k2﹣1=0.
(1)试说明无论取何值时,方程总有两个不相等的实数根.
(2)如果方程有一个根为3,试求2k2+12k+2019的值.
18.(8分)有6张看上去无
差别的卡片,上面分别写着1、2、3、4、5、6
(1)一次性随机抽取2张卡片,用列表或画树状图的方法求出“两张卡片上的数都是偶数”的概率
(2)随机摸取1张后,放回并混在一起,再随机抽取1张,直接写出“第二次取出的数字小于第一次取出的数字”的概率.
19.(8分)如图,在平面直角坐标系中,已知线段OA,点A(3,4).
(1)将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OA',画出线段OA'.
(2)直接写出点A'的坐标.
20.(8分)一件上衣,每件原价500元,第一次降价后,销售甚慢,于是再次进行大幅降价,第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的2倍,结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出,求两次降价的百分率各是多少.
21.(8分)AE为⊙O的直径,D为
的中点,过E点的切线交AD的延长线于F.
(1)求证:
∠AEB=2∠F;
(2)若AD=2,DF=4,求BE的长.
22.(10分)某水果商店以5元/千克的价格购进一批水果进行销售,运输过程中质量耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用
(1)商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本?
(2)在销售过科中,商店发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元/千克)之间满足关系m=﹣10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?
(3)该商店决定每销售一千克水果就捐赠a元利润(a≥1)给希望工程,通过销售记录发现,销侮价格大于每千克11元时,扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小,直接写出a的取值范围.
23.(10分)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,∠MPN的度数是 ;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=8,请直接写出△PMN面积的取值范围.
24.(12分)抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与直线y=kx+c(k≠0)相交于A(﹣1,0)、B(2,﹣3)两点,且抛物线与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求出C、D两点的坐标
(3)在第四象限抛物线上有一点P,若△PCD是以CD为底边的等腰三角形,求出点P的坐标.
参考答案
一.选择题
1.解:
∵x2=4,
∴x=±2,
故选:
C.
2.解:
第一个图是轴对称图形,是中心对称图形;
第二个图是轴对称图形,不是中心对称图形;
第三个图是轴对称图形,又是中心对称图形;
第四个图是轴对称图形,不是中心对称图形;
既是轴对称图形,又是中心对称图形的有2个,
故选:
B.
3.解:
A.从中随机抽出一个球,不一定是红球,故此选项不合题意;
B
.从袋中抽出一个球后,再从袋中抽出一个球,出现红球或白球的概率不相同,故此选项不合题意;
C.从袋中随机抽出2个球,出现都是红球的概率为
,故此选项不合题意;
D.从袋中抽出2个球,出现颜色不同的球的概率是
,故此选项符合题意;
故选:
D.
4.解:
y=(x﹣2)2+3是抛物线的顶点式方程,
根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,3).
故选:
A.
5.解:
∵有5张形状、大小、质地均相同的卡片,滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张,
∴从中随机抽取一张,抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是
;
故选:
B.
6.解:
连接AC,
根据切线的性质定理得AB⊥AP,
∴∠AOP=70°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=55°;
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠B=35°.
故选:
D.
7.解:
∵x2﹣3x﹣4=0,
∴x1=﹣1,x2=4,
∵⊙O的半径为一元二次方程3x﹣4=0的根,
∴r=,4,
∵d>r
∴直线l与⊙O的位置关系是相离,
故选:
A.
8.解:
设母线长为R,圆锥的侧面积=
=10π,
∴R=10cm
故选:
C.
9.解:
∵y=ax2﹣4ax+4a﹣1=a(x﹣2)2﹣1,
∴此抛物线对称轴为x=2,
∵抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1与x轴交于A,B两点,
∴当ax2﹣4ax+4a﹣1=0时,△=(﹣4a)2﹣4a×(4a﹣1)>0,得a>0,
∵x1<2<x2,x1+x2<4,
∴2﹣x1>x2﹣2,
∴m>n,
故选:
C.
10.【解
答】解:
作点P关于直线L的对称点P′,连接QP′交直线L于M.
根据两点之间,线段最短,可知选项D铺设的管道,则所需管道最短.
故选:
D.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11.解:
旋转180°后,各对应点将关于原点对称,
∴A1(1,﹣1),B1(1,0).
12.解:
∵从A,B,C,D,E,F五个点中任意取一点共有5种情况,其中G、E、F;G、E、A两种取法,可使这三定组成等腰三角形,
∴所画三角形时等腰三角形的概率是
,
故答案为:
.
13.解:
设镜框的宽度为xcm,
依题意,得:
21×10=4[(21+2x)(10+2x)﹣21×10],
整理,得:
8x2+124x﹣105=0.
故答案为:
8x2+124x﹣10
5=0.
14.解:
∵y=x2+2x=(x+1)2﹣1,
∴抛物线的顶点为(﹣1,﹣1),
将抛物线y=x2+2x向右平移1个单位后的顶点坐标为(0,﹣1),
∴所得新抛物线的函数解析式是y=x2﹣1.
故答案为y=x2﹣1.
15.解:
连接PA、PD,过点P作PE垂直AB于点E,延长PE交CD于点F,如图所示.
∵AB是⊙P上一弦,且PE⊥AB,
∴AE=BE=
AB=6,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAE=∠ADF=∠DFE=9
0°,
∴四边形AEFD是矩形,
∴DF=AE=6,
∵若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环.
∴S=π•PD2﹣πPF2=π(PD2﹣PF2)=πDF2=36π,
故答案为:
36π.
16.解:
∵y=x2+2kx﹣6与x轴有两个交点,两个交点分别在直线x=2的两侧,
∴当x=2时,y<0.
∴4+4k﹣6<0
解得:
k<
;
∴k的取值范围是k
,
故答案为:
k
.
三.解答题(共8小题,满分72分)
17.解:
(1)∵△=(2k)2﹣4×1×(k2﹣1)
=4k2﹣4k2+4
=4>0,
∴无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)把x=3代入x2+2kx+k2﹣1=0得9+6k+k2﹣1=0,
∴k2+6k=﹣8,
∴2k2+12k+2019=2(k2+6k)+2019=﹣16+2019=2003.
18.解:
(1)依题意列表如下:
1
2
3
4
5
6
1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
2
1,2
3,2
4,2
5,2
6,2
3
1,3
2,3
4,3
5,3
6,3
4
1,4
2,4
3,4
5,4
6,4
5
1,5
2,5
3,5
4,5
6,5
6
1,6
2,6
3,6
4,6
5,6
由上表可知,随机抽取2张卡片可能出现的结果有15个,它们出现的可能性相等,其中“两张卡片上的数都是偶数”的结果有3个,
所以P(两张卡片上的数都是偶数)=
;
(2)画树形图得:
随机抽取2张卡片可能出现的结果有36个,第二次取出的数字小于第一次取出的数字有15种,所以其概率=
=
.
19.解:
(1)如图,线段OA'为所作;
′
(2)点A'的坐标为(﹣4,3).
20.解:
设第一次降价的百分率为x,则第二次降价的百分率为2x,根据题意得:
500(1﹣x)(1﹣2x)=240,
解得x1=0.2=20%,x2=1.3=130%.
则第一次降价的百分率为20%,第二次降价的百分率为40%.
21.证明:
(1)如图1,连接ED,
∵
D为
的中点,
∴
=
,
∴∠AED=∠BED,
∵AE为⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
∴∠A+∠AED=90°,
∵EF为⊙O的切线,
∴AE⊥EF,
∴∠AEF=90°,
∴∠A+∠F=90°,
∴∠AED=∠F,
∵∠AEB=∠AED+∠BED=2∠AED,
∴∠AEB=2∠F;
(2)如图2,
∵∠A=∠A,∠ADE=∠AEF=90°,
∴△ADE∽△AEF,
∴
,
∵AD=2,DF=4,
∴
,
∴AE=±
2
,
∴AE=2
,
∴AO=
,
连接AB、OD,AB、OD交于点G,
∵D
为
的中点,
∴OD⊥AB,
∴AG=BG,
∵AO=OE,
∴OG=
BE,
设OG=x,则GD=
﹣x,
由勾股定理得:
AO2﹣OG2=AD2﹣GD2,
则
,
解得:
x=
,
∴OG=
,
∴BE=2OG=
.
22.解:
(1)设购进水果k千克,水果售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意得
y•k(1﹣5%)≥(5+0.7)k,
由k>0可解得:
y≥6,
所以,水果商要把水果售价至少定为6元/千克才不会亏本.
(2)由
(1)可知,每千克水果的平均成本为6元,由题意得
w=(x﹣6))m
=(x﹣6)(﹣10x+120)
=﹣10(x﹣9)2+90
因此,当x=9时,w有最大值.
所以,当销售单价定为9元/千克时,每天可获利润w最大.
(3)设扣除捐赠后的利润为P,
则P=(x﹣6﹣a)(﹣10x+120)=﹣10x2+(10a+180)x﹣120(a+6),
抛物线开口向下,对称轴为直线x=﹣
=
,
∵销售价格大于每千克11元时,扣除捐赠后每天的利润P随x增大而减小,
∴
≤11,解得:
a≤4,
故1≤a≤4.
23.解:
(1)∵点P,N是BC,CD的中点,
∴PN∥BD,PN=
BD,
∵点P,M是CD,DE的中点,
∴PM∥CE,PM=
CE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∵PN∥BD,
∴∠DPN=∠ADC,
∵PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCA,
∵∠BAC=120°,
∴∠ADC+∠ACD=60°,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=60°,
故答案为:
PM=PN,60°;
(2)△PMN是等腰直角三角形.
由旋转知,∠BAD=
∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
利用三角形的中位线得,PN=
BD,PM=
CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形,
同
(1)的方法得,PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCE,
同
(1)的方法得,PN∥BD,
∴∠PNC=∠DBC,
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∵∠BAC=120°,
∴∠ACB+∠ABC=60°,
∴∠MPN=60°,
∴△PMN是等边三角形;
(3)由
(2)知,△PMN是等边三角形,PM=PN=
BD,
∴PM最大时,△PMN面积最大,PM最小时,△PMN面积最小
∴点D在BA的延长线上,△PMN的面积最大,
∴BD=AB+AD=12,
∴PM=6,
∴S△PMN最大=
PM2=
×62=9
,
当点D在线段AB上时,△PMN的面积最小,
∴BD=AB﹣AD=4,
∴PM=2,
S△PMN最小=
PM2=
×22=
,
∴
≤S△PMN≤9
.
24.解:
(1)把A(﹣1,0)、B(2,﹣3)两点坐标代入
y=ax2+bx﹣3可得
解得
∴y=x
2﹣2x﹣3
(2)把x=0代入y=x2﹣2x﹣3中可得y=﹣3∴C(0,﹣3)
设y=kx+b,把A(﹣1,0)、B(2,﹣3)两点坐标代入
解得
∴y=﹣x﹣1
∴D(0,﹣1)
(3)由C(0,﹣3),D(0,﹣1)可知CD的垂直平分线经过(0,﹣2)
∴P点纵坐标为﹣2,
∴x2﹣2x﹣3=﹣2
解得:
x=1±
,∵x>0∴x=1+
.
∴P(1+
,﹣2)
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