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集合
第一讲:
集合
(一)
知识点睛
一、集合的含义与表示
1.用小写字母a,b,c,…表示元素,用大写字母A,B,C,…表示集合.元素与集合的关系记作:
a∈A或a∉A.
2.集合中元素的特征:
_________、_________、_________.
3.常用的数集及其记法:
正整数集:
____或____;自然数集(非负整数集):
_____;
整数集:
_____;有理数集:
_____;实数集:
_____.
4.
二、集合间的基本关系
子集
集合相等
真子集
定义
对于
x∈A,
都有x∈B
A⊆B,且B⊆A
A⊆B,
∈B,且
∉A
记法
A⊆B(或B⊆A)
AB(或BA)
性质
A⊆A;
如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C
AB,BC
AC
三、集合的基本运算
并集
交集
补集
定义
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
CUA={x|x∈U,
且x∉A}
(U表示全集)
Venn图表示
性质
A∪A=A,
A∪∅=A
A∩A=A,
A∩∅=∅
CU(CUA)=A,
A∪(CUA)=U,
A∩(CUA)=∅
四、空集
1.记为_________.特征:
______________、_____________.
2.辨识0,{0},∅,{∅}.
3.空集是任何集合的子集,即∅⊆A;若A非空,则∅A.
4.A∪∅=A,A∩∅=∅,CU∅=U,CUU=∅.
5.研究集合关系及运算时首先考虑空集.
五、集合的运算律
1.交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A
2.结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
3.分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
4.德-摩根定律CU(A∪B)=_________________
CU(A∩B)=_________________
精讲精练
1.用符号“∈”或“∉”填空:
(1)0____N,π____Q,sin60°____Q.
(2)3____
,
____{x∈Q|
}.
(3)若A={x|x2=x},则-1___A,若B={x|x2+x-6=0},则3___B.
(4)(-1,1)____{y|y=-x,x∈R},
0____{(x,y)|x2+y2=0,x∈N,y∈N}.
(5)2____
,11____{x|x=n2+n-1,n∈N}.
(6)设集合
,
已知
,
,
,则x____M,
y____M,z____M.
2.
(1)已知集合
,则x的取值范围是_____________.
(2)若4∈{a2-3a,a},则a=_________.
3.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为()
A.4B.3C.2D.1
4.已知集合S={a,b,c}中的三个元素可构成△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
5.
(1)用列举法表示下列集合:
①绝对值小于3的整数组成的集合
②由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合
③一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合
(2)用描述法表示下列集合:
①被3除余1的正整数组成的集合
②二次函数
的函数值组成的集合
③坐标平面内第二象限的点组成的集合
6.把下列由描述法表示的集合转化为列举法表示:
(1)
(2)
(3)
(4)
7.给出下列集合:
①A={(1,2)},B={(2,1)};②A={1,a,b,c},B={c,b,a,1};③A={3,2},B={x|x2-5x+6=0};④A={(x,y)|x+y=1},B={y|x+y=1};⑤A={x|x+y=1},B={y|x+y=1};⑥A={y|y=x-1,x∈R},B={y|y=x-1,x∈N};⑦A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z}.
其中A,B表示同一集合的是__________________.
8.判断下列集合之间有怎样的包含或相等关系:
(1)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}
(2)A={x∈N+|x是4与10的公倍数},B={y|y=20m,m∈N+}
(3)A={x|x∈Z,x≥0},B={y|y=x2}
(4)A={(x,y)|y=2x-1},
(5)A={x|(x-2)(x+1)<0},B={x|-1 (6)A={正方形},B={平行四边形},C={四边形},D={矩形} 9. (1)若集合A={x|0≤x<3,且x∈N},则A的真子集的个数是() A.16B.8C.7D.4 (2)集合A={-1,0,1},A的子集中,含有元素0的子集共有() A.2个B.4个C.6个D.8个 10. (1)若集合{1,a, }={0,a2,a+b},则a-b的值为__________. (2)已知集合A={x|0 11.设M={(x,y)|mx+ny=4},且{(2,1),(-2,5)}M,则m=______,n=_________. 12. (1)设A={x|1 (2)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x>b},若AB,则实数b的取值范围是____________. 13.已知集合A={x|x2-4x+3=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2C.3D.4 14. (1)已知集合M={x|-2 A.{x|x<-5或x>-2}B.{x|-5 (2)集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2<9},则P∩M=() A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x|0≤x<3}D.{x|0≤x≤3} 15. (1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则CU(A∪B)=() A.{6,8}B.{5,7}C.{4,6,7}D.{1,3,5,6,8} (2)若全集U={x|x2≤4},则集合A={x||x+1|≤1}的补集CUA为() A.{x|0 (3)设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(CRS)∪T=() A.{x|-2 16.设集合A={(x,y)|x+2y=6},B={(x,y)|x-y=-1},则A∩B=_____. 17.设A={0,2,4,6},CUA={-1,-3,1,3},CUB={-1,0,2},则集合B=_____________. 18. (1)已知集合A={x||x-a|≤1},B={x|x2-5x+4≥0}.若A∩B=∅,则实数a的取值范围是____________. (2)设集合S={x||x-2|>3},T={x|a 19.已知集合M={m2,m},N={1},若M∩N≠∅,则CMN=________. 20.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B={x∈R|-1 21.设全集U是实数集R,M={x|x2>4}与N={x|1 A.{x|x<2}B.{x|-2≤x<1}C.{x|-2≤x≤2}D.{x|1 22.如图,U是全集,M,P,S是U的3个子集,则阴影部分所表示的集合是() A.(M∩P)∩SB.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩(CUS)D.(M∩P)∪(CUS) 23.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩(CUN)={2,4},则N=() A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5}D.{2,3,4} 24.设全集U={x|0 25.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有__________人.(借助Venn图求解) 【参考答案】 【知识点睛】 一、2.确定性互异性无序性3.N+或N*NZQR 四、1.∅集合不含任何元素五、4.(CUA)∩(CUB)(CUA)∪(CUB) 【精讲精练】 1. (1)∈∉∉; (2)∉∉;(3)∉∉;(4)∉∉;(5)∈,∈;(6)∈∉ 2. (1)x≠2且x≠±1; (2)-13.B4.D 5. (1)①{-2,-1,0,1,2};②{3,-3};③{(1,4)}; (2)①{x|x=3n+1,n∈N};②{y|y≥-4};③{(x,y)|x<0,y>0} 6. (1){(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}; (2){0,1,2};(3){1,2};(4){5,3,1,-1} 7.②③⑤⑦8. (1)B⊆A; (2)A=B;(3)A⊆B;(4)B⊆A;(5)B⊆A; (6)A⊆D⊆B⊆C 9. (1)C; (2)B10. (1)-1; (2)211. 12. (1)a≥2; (2)b<113.D 14. (1)A; (2)B15. (1)A; (2)C;(3)C 16. 17.{4,6,-3,1,3} 18. (1)2 (2)-3 19.{-1} 20.-11 21.D 22.C 23.B 24.{1,3,5,7}{2,3,4,6,8} 25.8 集合 (一)(随堂测试) 26.若-3∈{a-2,2a2+5a,12},则a=_________. 27.设集合M={y|y≤m},P={y|y=x2-1,x∈R},若M∩P=∅,则实数m的取值范围是_________________. 28.已知集合A={2,x,y},B={2x,y2,2},且x,y≠0,若A=B,则实数x=_________,y=_________. 集合 (一)(作业) 29.下列结论中,不正确的是() A.若a∈N,则-a∉NB.若a∈Z,则a2∈Z C.若a∈Q,则|a|∈QD.若a∈R,则 ∈R 30.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是() A.1B.3C.5D.9 31.对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示,其中正确的是() A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5} C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}D.{x|x=4s-3,s∈N+,且s<6} 32.已知集合A={x|x=4n+1,n∈Z},B={x=4n-3,n∈Z}, C={x|x=8n+1,n∈Z},则A,B,C之间的关系是() A.CBAB.ABCC.CA=BD.A=B=C 33.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x A.-12C.a≥-1D.a>-1 34.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若A⊆B,则实数a,b必满足() A.|a+b|≤3B.|a+b|≥3C.|a-b|≤3D.|a-b|≥3 35.满足{1,3}⊆A{1,3,4,5}的所有集合A的个数是() A.1B.2C.3D.4 36.设U为全集,M,N,P都是它的子集,则图中阴影部分表示的集合是() A.M∩[(CUN)∩P]B.M∩(N∪P) C.[(CUM)∩(CUN)]∩PD.(M∩N)∪(N∩P) 37.设集合M={1,2},则满足条件M∪N={1,2,3,4}的集合N的个数是() A.1B.3C.4D.8 38.若非空集合S⊆{1,2,3,4,5},且若a∈S,则必有6-a∈S,则所有满足上述条件的集合S共有() A.6个B.7个C.8个D.9个 39.选用适当的符号填空: (1)已知集合A={x|2x-3<3x},B={x|x≥2},则有: -4____B,-3____A,{2}____B,B____A. (2)已知集合A={x|x2-1=0},则有: 1____A,{-1}____A,∅___A,{1,-1}____A. (3){x|x是菱形}____{x|x是平行四边形}; {x|x是等腰三角形}____{x|x是等边三角形}. 40.给出下列命题: ①很小的实数可以构成集合; ②1, , , ,0.5这些数组成的集合有5个元素; ③由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}; ④集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合; ⑤空集没有真子集; ⑥任何非空集合至少有两个子集; ⑦若A∩B=∅,则A,B中至少有一个为∅; ⑧若U为全集,且A∩B=U,则A=B=U. 其中正确的是____________________. 41.已知集合A={(x,y)|x2=y+1,|x|<2,x∈Z},则集合A用列举法可表示为 42.用列举法表示集合A={x| ∈N*,x∈N*}=______________. 43.集合 用描述法表示可写为_______________. 44.若{1,2}={x|x2+bx+c=0},则b=________,c=_________. 45.设集合A={x,xy,xy-1},其中x∈Z,y∈Z且y≠0,若0∈A,则A中的元素之和为___________. 46.若集合{0,-1,2a}={a-1,-|a|,a+1},则实数a的值为________. 47.若集合A={x||2x-1|<3},B={x| },则A∩B=_________. 48.已知U=R,M={x|-1≤x≤2},N={x|x≤3},则(CUM)∩N= __________________. 49.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为______________. 50.已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范 围是______________. 51.已知集合A={x|x2-2x<0},B={1,a},且A∩B有4个子集,则a的取值范围是______________. 52.已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10},A∩(CUB)={1,3,5,7},则集合B=__________________. 53.已知全集U=A∪B中有m个元素,(CUA)∪(CUB)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B中的元素有_________个. 54.设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B=∅的集合S有_________个. 【参考答案】 1.A2.C3.D4.C5.D 6.D7.C8.A9.C10.B 11. (1)∉∉⊆⊆; (2)∈⊆⊆=;(3)⊆ 12.③⑤⑥⑧ 13.{(1,0),(0,-1),(-1,0)} 14.{4,3,2,1} 15. 16.-32 17.0 18.±1 19. 20. 21.4 22. 23. 24.{0,2,4,6,8,9,10} 25.m-n 26.8 第二讲: 集合 (二) 知识点睛 一、元素与集合的关系 运用元素与集合间的关系解决问题,关键是确定元素间的对应关系以及元素满足的条件. 说明: (1)满足题目本身对元素与集合关系的要求; (2)满足集合中元素的特征: 互异性. 二、集合间的基本关系 1.集合间基本关系的证明 (1)集合相等,即A=B: ①x∈A,都有x∈B,得A⊆B; ②x∈B,都有x∈A,得B⊆A; ③A=B. (2)集合间的包含关系或真包含关系. ①A⊆B⇔x∈A,都有x∈B. ②AB⇔x∈A,都有x∈B;x0∈B,且x0∉A. 2.含参数的集合 (1)由集合相等求未知数 根据_______________________切入_______________,求出未知数,结合______________________. (2)由集合间的包含(真包含)关系求未知数 首先考虑________,其次找对应关系,把_________________转化为___________________. 三、集合之间的运算 1.并集、交集向集合间基本关系的转化 (1)A∪B=B⇒A⊆B; (2)A∩B=B⇒B⊆A. 2.并集、交集及补集的混合运算常借助Venn图解决问题. 精讲精练 1.设A表示集合{2,3,a2+2a-3},B表示集合{|a+3|,2},若已知5∈A,且5∉B,求实数a的值. 2.已知集合A={1,3,a2+a,a+1},若a∈A,求实数a的值. 3.设y=x2-ax+b,A={x|y-x=0},B={x|y-ax=0},若A={-3,1},试用列举法表示集合B. 4.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R}. (1)若1∈A,求集合A; (2)若A=∅,求a的取值范围; (3)若A中只有一个元素,求a的值组成的集合; (4)若A中至多只有一个元素,求a的值组成的集合. 5.设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z}. (1)求证: 2k+1∈M(其中k∈Z); (2)属于M的两个整数,其积是否仍属于M? 6.已知集合A={x|x=8m+14n,m,n∈Z},B={x|x=2k,k∈Z},求证: A=B. 7.设集合M={x|x=n2,n∈N},T={x|x=4k或x=4k+1,k∈N}, 求证: MT. 8.已知集合A={1,3,a},集合B={1,a2-a+1},且A⊇B,求实数a的值. 9.设集合A={x,x2,xy},集合B={1,x,y},若A=B,求实数x,y的值. 10.若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},BA,求m的值. 11.已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1 12.设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}. (1)若A∪B=B,求a的值; (2)若A∩B=B,求a的值. 13.设全集U=R,集合A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+b2-28=0}, 若A∩(CUB)={2},求a,b的值. 14.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2+ax+b=0}, B={x|x2+cx+6=0},CU(A∪B)={1,4,5},A∩B={2},求a,b,c的值. 【参考答案】 【知识点睛】 二、2. (1)两个集合中元素一样找对应关系集合中元素的互异性检验 (2)空集集合间的关系元素与集合的关系 【精讲精练】 1.a=-4 2.a=3 3. 4. (1)A={1,2}; (2) ;(3) ;(4) 5. (1)证明略; (2)属于 6.证明略 7.证明略 8.a=2或-1 9.x=-1,y=0 10.m=0, 或 11. 12. (1)1; (2) 13.a=4,b=2 14.a=-4,b=4,c=-5 集合 (二)(随堂测试) 55.已知三个集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-bx+2=0},问: 同时满足BA,A∪C=A的实数a,b是否存在? 若存在,求出a,b的值或取值范围;若不存在,请说明理由. 【参考答案】 1.a=2, 集合 (二)(作业) 15.数集A满足条件: 若a∈A,则 ∈A(a≠1).若 ∈A,求集合A. 16.设集合U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},CUA={5},求实数a的值. 17.集合A中元素为正整数,且满足: 若x∈A,则10-x∈A. (1)写出有且只有一个元素的集合A; (2)写出有且只有两个元素的集合A; (3)直接写出满足条件的集合A至多有多少个元素. 18.给定一个数集A和运算法则“ ”: 若对于这个集合A中的任意两个元素 ,都有 仍然是集合A中的元素,那么我们就称集合A对运算法则“ ”是封闭的. 现设 . (1)证明: 集合A对加法和乘法是封闭的; (2)集合A对除法是封闭的吗? 若封闭,请证明,若不封闭,请说明理由. 19.若A={x|x=2n+1,n∈Z},B={y|y=4k±1,k∈Z},证明: A=B. 20.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}. (1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A⊆B? 若存在,求出对应的a,若不存在,试说明理由; (2)若A⊆B成立,求出对应的实数对(a,b). 21.已知A={x|2 (1)是否存在实数a,使得A∩B={x|3 若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由; (2)若A∩B=∅,求a的取值范围. 22.设A={x||x-a|<3},B={x| },若A∪B=A,求实数a的取值范围. 23.集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}, 若A∩B≠∅,A∩C=∅,求实数a的值. 24.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(CUA)∩B=∅,求m的值. 【参考答案】 1. 2.a=2 3. (1){5}; (2){1
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