高考数学一轮复习 第2章 函数导数及其应用 第7节 函数的图像.docx
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高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第7节函数的图像
第七节 函数的图像
[考纲传真] 会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.
(对应学生用书第21页)
[基础知识填充]
1.利用描点法作函数的图像
方法步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)化简函数的解析式;
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等);
(4)描点连线.
2.利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)的图像y=-f(x)的图像;
②y=f(x)的图像y=f(-x)的图像;
③y=f(x)的图像y=-f(-x)的图像;
④y=ax(a>0且a≠1)的图像y=logax(a>0且a≠1)的图像.
(3)伸缩变换
①y=f(x)的图像
y=f(ax)的图像;
②y=f(x)的图像
y=af(x)的图像.
(4)翻转变换
①y=f(x)的图像y=|f(x)|的图像;
②y=f(x)的图像y=f(|x|)的图像.
[知识拓展]
1.一个函数图像的对称关系
(1)函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x=对称;
(2)函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点对称.
2.两个函数图像的对称关系
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)中心对称.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=f(1-x)的图像,可由y=f(-x)的图像向左平移1个单位得到.( )
(2)函数y=f(x)的图像关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称.( )
(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图像与y=|f(x)|的图像相同.( )
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图像表示,则如图271的四个函数图像中,甲、乙的图像应该是( )
① ② ③ ④
图271
A.甲是图①,乙是图② B.甲是图①,乙是图④
C.甲是图③,乙是图②D.甲是图③,乙是图④
B [设甲骑车速度为V甲骑,甲跑步速度为V甲跑,乙骑车速度为V乙骑,乙跑步速度为V乙跑,依题意V甲骑>V乙骑>V乙跑>V甲跑,故选B.]
3.函数f(x)的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=( )
A.ex+1B.ex-1
C.e-x+1D.e-x-1
D [依题意,与曲线y=ex关于y轴对称的曲线是y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,
∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.]
4.(2017·全国卷Ⅰ)函数y=的部分图像大致为( )
【导学号:
00090038】
C [令f(x)=,
∵f
(1)=>0,f(π)==0,
∴排除选项A,D.
由1-cosx≠0得x≠2kπ(k∈Z),
故函数f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(-x)==-=-f(x),
∴f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,∴排除选项B.故选C.]
5.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是________.
(0,+∞) [在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图像,如图所示.由图像知当a>0时,方程|x|=a-x只有一个解.]
(对应学生用书第22页)
作函数的图像
作出下列函数的图像:
(1)y=|x|;
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=;(4)y=x2-2|x|-1.
[解]
(1)先作出y=x的图像,保留y=x图像中x≥0的部分,再作出y=x的图像中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=|x|的图像,如图①实线部分.3分
① ②
(2)将函数y=log2x的图像向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图像,如图②.6分
(3)∵y=2+,故函数图像可由y=图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图③.9分
③ ④
(4)∵y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图像,再根据对称性作出(-∞,0)上的图像,得图像如图④.12分
[规律方法] 画函数图像的一般方法
(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接作出;
(2)图像变换法.若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出.
易错警示:
注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
[变式训练1] 分别画出下列函数的图像:
(1)y=|lgx|;
(2)y=sin|x|.
[解]
(1)∵y=|lgx|=
∴函数y=|lgx|的图像,如图①.
(2)当x≥0时,y=sin|x|与y=sinx的图像完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图像关于y轴对称,其图像如图②.
识图与辨图
(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数y=1+x+的部分图像大致为( )
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图272所示,则y=-f(2-x)的图像为( )
【导学号:
00090039】
图272
(1)D
(2)B [
(1)当x→+∞时,→0,1+x→+∞,y=1+x+→+∞,故排除选项B.
当0<x<时,y=1+x+>0,故排除选项A,C.
故选D.
(2)法一:
由y=f(x)的图像知,
f(x)=
当x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],
所以f(2-x)=
故y=-f(2-x)=图像应为B.
法二:
当x=0时,-f(2-x)=-f
(2)=-1;
当x=1时,-f(2-x)=-f
(1)=-1.
观察各选项,可知应选B.
法三:
先作y=f(x)的图像关于y轴的对称图形(作图过程略),得到y=f(-x)的图像,再把所得图像向右平移两个单位,得到y=f(2-x)的图像,再把所得图像关于x轴对称得到y=-f(2-x)的图像,可知应选B.]
[规律方法] 函数图像的识辨可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图像的左右位置;从函数的值域,判断图像的上下位置;
(2)从函数的单调性,判断图像的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性,判断图像的对称性;
(4)从函数的周期性,判断图像的循环往复;
(5)从函数的特征点,排除不合要求的图像.
[变式训练2]
(1)已知函数f(x)的图像如图273所示,则f(x)的解析式可以是
( )
图273
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=-1
D.f(x)=x-
(2)(2017·河南驻马店二模)函数y=a+sinbx(b>0且b≠1)的图像如图274所示,那么函数y=logb(x-a)的图像可能是( )
图274
(1)A
(2)C [
(1)由函数图像可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C.若函数为f(x)=x-,则x→+∞时,f(x)→+∞,排除D,故选A.
(2)由题图可得a>1,且最小正周期T=<π,所以b>2,则y=logb(x-a)是增函数,排除A和B;当x=2时,y=logb(2-a)<0,排除D,故选C.]
函数图像的应用
角度1 研究函数的性质
已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
C [将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的图像,如图,观察图像可知,函数f(x)的图像关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.]
角度2 确定函数零点的个数
已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是________.
5 [方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=或1.作出y=f(x)的图像,
由图像知零点的个数为5.]
角度3 求参数的值或取值范围
已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围为( )
A. B.
C.(1,2)D.(2,+∞)
B [先作出函数f(x)=|x-2|+1的图像,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率为,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k的取值范围为].
角度4 求不等式的解集
函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图像如图275所示,那么不等式<0的解集为________.
【导学号:
00090040】
图275
∪ [在上,y=cosx>0,在上,y=cosx<0.
由f(x)的图像知在上<0,
因为f(x)为偶函数,y=cosx也是偶函数,
所以y=为偶函数,
所以<0的解集为∪.]
[规律方法] 函数图像应用的常见题型与求解方法
(1)研究函数性质:
①根据已知或作出的函数图像,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值.
②从图像的对称性,分析函数的奇偶性.
③从图像的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
④从图像与x轴的交点情况,分析函数的零点等.
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围):
构造函数,转化为两函数图像的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图像,数形结合求解.
(3)研究不等式的解:
当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图像可作出时,常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.
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