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博弈
博弈知识汇总&&取火柴游戏
2012-03-2419:
15:
47| 分类:
博弈论|字号 订阅
博弈知识汇总
有一种很有意思的游戏,就是有物体若干堆,可以是火柴棍或是围棋子等等均可。
两个人轮流从堆中取物体若干,规定最后取光物体者取胜。
这是我国民间很古老的一个游戏,别看这游戏极其简单,却蕴含着深刻的数学原理。
下面我们来分析一下要如何才能够取胜。
(一)巴什博奕(BashGame):
只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。
最后取光者得胜。
显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜。
因此我们发现了如何取胜的法则:
如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。
总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法:
两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100者胜。
(二)威佐夫博奕(WythoffGame):
有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。
我们用(ak,bk)(ak ≤ bk,k=0,1,2,…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。
前几个奇异局势是:
(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk=ak+k,奇异局势有如下三条性质:
1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak>ak-1 ,而 bk=ak+k>ak-1+k-1=bk-1>ak-1 。
所以性质1。
成立。
2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。
如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。
3、采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是(a,b),若 b=a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a=ak ,b>bk,那么,取走b – bk个物体,即变为奇异局势;如果 a=ak , b 从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。 那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢? 我们有如下公式: ak=[k(1+√5)/2],bk=ak+k (k=0,1,2,…,n 方括号表示取整函数)奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2=1.618…,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2], 若a=[j(1+√5)/2],那么a=aj,bj=aj+j,若不等于,那么a=aj+1,bj+1=aj+1+j+1,若都不是,那么就不是奇异局势。 然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。 (三)尼姆博奕(NimmGame): 有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。 这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。 第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。 仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变为(0,n,n)的情形。 计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(+)表示这种运算。 这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。 先看(1,2,3)的按位模2加的结果: 1=二进制01 2=二进制10 3=二进制11 (+) ——————— 0=二进制00 (注意不进位) 对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0。 任何奇异局势(a,b,c)都有a(+)b(+)c=0。 如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢? 假设 a a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0。 要将c 变为a(+)b,只要从 c中减去 c-(a(+)b)即可。 例1: (14,21,39),14(+)21=27,39-27=12,所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(14,21,27)。 例2: (55,81,121),55(+)81=102,121-102=19,所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势(55,81,102)。 例3: (29,45,58),29(+)45=48,58-48=10,从58中拿走10个,变为(29,45,48)。 例4: 我们来实际进行一盘比赛看看: 甲: (7,8,9)->(1,8,9)奇异局势 乙: (1,8,9)->(1,8,4) 甲: (1,8,4)->(1,5,4)奇异局势 乙: (1,5,4)->(1,4,4) 甲: (1,4,4)->(0,4,4)奇异局势 乙: (0,4,4)->(0,4,2) 甲: (0.4,2)->(0,2,2)奇异局势 乙: (0,2,2)->(0,2,1) 甲: (0,2,1)->(0,1,1)奇异局势 乙: (0,1,1)->(0,1,0) 甲: (0,1,0)->(0,0,0)奇异局势 甲胜。 取火柴游戏 题目1: 今有若干堆火柴,两人依次从中拿取,规定每次只能从一堆中取若干根,可将一堆全取走,但不可不取,最后取完者为胜,求必胜的方法。 题目2: 今有若干堆火柴,两人依次从中拿取,规定每次只能从一堆中取若干根,可将一堆全取走,但不可不取,最后取完者为负,求必胜的方法。 嘿嘿,这个游戏我早就见识过了。 小时候用珠算玩这个游戏: 第一档拨一个,第二档拨两个,依次直到第五档拨五个。 然后两个人就轮流再把棋子拨下来,谁要是最后一个拨谁就赢。 有一次暑假看见两个小孩子在玩这个游戏,我就在想有没有一个定论呢。 下面就来试着证明一下吧 先解决第一个问题吧。 定义: 若所有火柴数异或为0,则该状态被称为利他态,用字母T表示;否则,为利己态,用S表示。 【定理1】: 对于任何一个S态,总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态。 证明: 若有n堆火柴,每堆火柴有A(i)根火柴数,那么既然现在处于S态, c=A (1)xorA (2)xor … xorA(n)>0; 把c表示成二进制,记它的二进制数的最高位为第p位,则必然存在一个A(t),它二进制的第p位也是1。 (否则,若所有的A(i)的第p位都是0,这与c的第p位就也为0矛盾)。 那么我们把x=A(t)xorc,则得到x
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