最新人教版八年级数学上册 第十四章《公式法》教案1.docx
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最新人教版八年级数学上册第十四章《公式法》教案1
15.4.2 公式法
教学目标
1.认识平方差公式与完全平方公式的特点.
2.会运用平方差公式和完全平方公式分解因式.
3.知道因式分解应把多项式的每一个因式都分解到不能再分解为止.
4.培养学生的观察、联想能力,进一步了解换元的思想方法.
教学重难点
应用公式法分解因式是重点,灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准是难点.
教学过程
导入新课
〈方式1〉
问题:
在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一边长为7.25cm的小正方形,那么剩下部分的面积是多少?
结果:
12.752-7.252 →联想到a2-b2=
=(12.75+7.25)(12.75-7.25) (a+b)(a-b)
=20×5.5=110(cm2).
〈方式2〉
问题导入:
问题1:
你能叙述多项式因式分解的定义吗?
多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用,也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.
问题2:
运用提公因式法分解因式的第一步是什么?
提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式,如果没有公因式,就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解.
问题3:
你能将a2-b2分解因式吗?
要将a2-b2进行因式分解,可以发现它没有公因式,不能用提公因式法分解因式,但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式,所以用平方差公式可以写成如下形式a2-b2=(a+b)(a-b).
多项式的乘法公式的逆向应用,就是多项式的因式分解公式,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结果,这种分解因式的方法称为运用公式法.今天我们就来学习利用公式法分解因式.
推进新课
【活动一】利用平方差公式分解因式
问题:
(1)你能将12.752-7.252分解成乘积的形式吗?
(2)你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因式吗?
这两个多项式有什么共同特点?
你会想到什么公式?
总结:
它们有两项,且都是两个数的平方差,会联想到平方差公式,逆向应用平方差公式即可将它们因式分解.
由(x+2)(x-2)=x2-4,得x2-4=(x+2)(x-2);
由(y+5)(y-5)=y2-25,得y2-25=(y+5)(y-5).
归纳:
把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来,就得到因式分解的平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b).
即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
注意和整式乘法里的平方差公式的区别.
【活动二】应用公式,巩固夯实
如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.
【例1】下列多项式能否用平方差公式来分解因式?
(1)a2+y2(不能);
(2)m2-n2(能);
(3)-a2+b2(能);(4)-a2-b2(不能).
【例2】把下列各式分解因式:
(1)4x2-9;
(2)(x+p)2-(x+q)2.
分析、解答略.
明确:
①平方差公式中a,b可以表示任何一个单项式或多项式.
②若给出多项式的两部分不具备明显的平方差关系,需尝试转化为a2-b2的形式.
【活动三】综合运用因式分解的方法分解因式
【例3】把下列各式分解因式:
(1)x4-y4;
(2)a3b-aB.
分析:
(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解;
(2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再进一步分解.
解:
略.
点拨:
因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止.
【例4】利用平方差公式计算:
25×1012-992×25.
解:
略.
【活动四】利用完全平方公式分解因式
问题:
你能将多项式a2+2ab+b2与多项式a2-2ab+b2分解因式吗?
这两个多项式有什么共同特点?
你会想到什么公式?
总结:
它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数积的2倍,则恰好是两个数的和或差的平方,我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解.
归纳:
把整式乘法的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2
反过来,就得到因式分解的完全平方公式
a2+2ab+b2=(a+b)2,
a2-2ab+b2=(a-b)2.
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
公式中的字母a,b可以表示一个数或一个单项式或一个多项式.
【例5】下列各式是不是完全平方式?
(1)a2-4a+4;
(2)x2+4x+4y2;
(3)4a2+2ab+
b2;(4)a2-ab+b2;
(5)x2-6x-9;(6)a2+a+0.25.
解:
略.
【活动五】应用公式,巩固夯实
如果多项式是完全平方式,那么这个多项式就可以运用完全平方公式分解因式.
【例6】分解因式:
(1)16x2+24x+9;
(2)-x2+4xy-4y2.
解:
略.
点拨:
两个平方式都含负号,要提负号,再转化为完全平方式.
【活动六】分解因式的综合运用及换元法思想
【例7】把下列各式分解因式:
(1)3ax2+6axy+3ay2;
(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解:
略.
本课小结
1.利用公式法分解因式.
2.分解因式一般先观察有无公因式,如果多项式各项含有公因式,则第一步是提出这个公因式;如果多项式各项没有公因式,则第一步考虑用公式分解因式.
3.第一步分解因式以后,所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式因式都不能分解为止.
因式分解学以致用
因式分解是整式的一种重要的恒等变形,在解题中有着广泛的应用,借助因式分解可解决计算、求值、说理等多方面的问题.
一、用于求值
【例1】已知a=
m+1,b=
m+2,c=m+4.求a2+2ab+b2-2c(a+b)+c2的值.
分析:
根据已知条件,可得a+b-c=-1,再观察待求式可以变换为(a+b-c)2,将a+b-c=-1整体代入即可.
解:
a2+2ab+b2-2c(a+b)+c2=(a+b)2-2(a+b)c+c2=(a+b-c)2.
因为a+b-c=
m+1+
m+2-m-4=-1,
所以a2+2ab+b2-2c(a+b)+c2=(-1)2=1.
二、用于说理
【例2】已知a,b,c为不相等的有理数,且(a-c)2-4(a-b)(b-c)=0,试说明2b=a+C.
分析:
要说明2b=a+c,由已知条件,可将(a-c)2-4(a-b)(b-c)进行变形,得到(2b-a-c)2=0.
解:
由已知,得(a-b+b-c)2-4(a-b)(b-c)=0,
则(a-b)2+2(a-b)(b-c)+(b-c)2-4(a-b)(b-c)=0.
所以(a-b)2-2(a-b)(b-c)+(b-c)2=0.
则[(a-b)-(b-c)]2=0.
所以(a-b)-(b-c)=0.
故a+c-2b=0,即2b=a+C.
三、用于求面积
【例3】长方形的周长为16cm,它的两边x,y满足(x-y)2-2x+2y+1=0.求其面积.
分析:
根据周长可得x+y=8,要求长方形的面积,则需要根据(x-y)2-2x+2y+1=0,再求出关于x,y的另一个关系式,然后解方程组求x,y的值即可.
解:
(x-y)2-2x+2y+1=0变形为(x-y)2-2(x-y)+1=0,
则(x-y-1)2=0.所以x-y-1=0.
又因为x+y=8,
所以
解得
所以长方形的面积为4.5×3.5=15.75(cm2).
四、用于求整数
【例4】已知m,n均为正整数,且m2-n2=68,求m,n.
分析:
要求m,n,则应将m2-n2=68进行变形,转化为二元一次方程组求解.
解:
因为m,n为正整数,m2-n2=(m+n)(m-n)=68,
所以(m+n)(m-n)等于68×1或34×2或17×4,
所以
或
或
但
和
的解都不是整数,因此应舍去.
所以解方程组
得
五、用于比较大小
【例5】设a<b<c<d,如果x=ca-ab,y=cd-bd,试比较x,y的大小.
分析:
要比较x,y的大小,可以通过作差的方法,比较x-y与0的大小,当x-y>0时,x>y;当x-y<0时,x<y;当x-y=0时,x=y.
解:
因为a<b<c<d,所以x-y=(ca-ab)-(cd-bd)=a(c-b)-d(c-b)=(a-d)(c-b)<0.
所以x<y.
15.4.2 公式法
教学目标
1.认识平方差公式与完全平方公式的特点.
2.会运用平方差公式和完全平方公式分解因式.
3.知道因式分解应把多项式的每一个因式都分解到不能再分解为止.
4.培养学生的观察、联想能力,进一步了解换元的思想方法.
教学重难点
应用公式法分解因式是重点,灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准是难点.
教学过程
导入新课
〈方式1〉
问题:
在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一边长为7.25cm的小正方形,那么剩下部分的面积是多少?
结果:
12.752-7.252 →联想到a2-b2=
=(12.75+7.25)(12.75-7.25) (a+b)(a-b)
=20×5.5=110(cm2).
〈方式2〉
问题导入:
问题1:
你能叙述多项式因式分解的定义吗?
多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用,也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.
问题2:
运用提公因式法分解因式的第一步是什么?
提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式,如果没有公因式,就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解.
问题3:
你能将a2-b2分解因式吗?
要将a2-b2进行因式分解,可以发现它没有公因式,不能用提公因式法分解因式,但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式,所以用平方差公式可以写成如下形式a2-b2=(a+b)(a-b).
多项式的乘法公式的逆向应用,就是多项式的因式分解公式,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结果,这种分解因式的方法称为运用公式法.今天我们就来学习利用公式法分解因式.
推进新课
【活动一】利用平方差公式分解因式
问题:
(1)你能将12.752-7.252分解成乘积的形式吗?
(2)你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因式吗?
这两个多项式有什么共同特点?
你会想到什么公式?
总结:
它们有两项,且都是两个数的平方差,会联想到平方差公式,逆向应用平方差公式即可将它们因式分解.
由(x+2)(x-2)=x2-4,得x2-4=(x+2)(x-2);
由(y+5)(y-5)=y2-25,得y2-25=(y+5)(y-5).
归纳:
把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来,就得到因式分解的平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b).
即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
注意和整式乘法里的平方差公式的区别.
【活动二】应用公式,巩固夯实
如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.
【例1】下列多项式能否用平方差公式来分解因式?
(1)a2+y2(不能);
(2)m2-n2(能);
(3)-a2+b2(能);(4)-a2-b2(不能).
【例2】把下列各式分解因式:
(1)4x2-9;
(2)(x+p)2-(x+q)2.
分析、解答略.
明确:
①平方差公式中a,b可以表示任何一个单项式或多项式.
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- 公式法 最新人教版八年级数学上册 第十四章公式法教案1 新人 八年 级数 上册 第十四 公式 教案