高中数学必修一知识点总结.docx
- 文档编号:28368455
- 上传时间:2023-07-10
- 格式:DOCX
- 页数:58
- 大小:69.07KB
高中数学必修一知识点总结.docx
《高中数学必修一知识点总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学必修一知识点总结.docx(58页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学必修一知识点总结
高一数学知识总结
必修一
一、集合
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:
世界上最高的山
(2)元素的互异性如:
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:
如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集
合
3.集合的表示:
{⋯}如:
{我校的篮球队员},{太平洋,大
西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队
员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
(1)列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括
号内表示集合的方法。
例如:
{a,b,c⋯⋯}
(2)描述法:
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在
大括号内表示集合的方法。
{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
(3)语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
(4)Venn图:
韦恩图(文氏图)是用一条封闭的曲线的内部来
表示一个集合的方法。
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:
{x|x
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
2=-5}
注意:
AB有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B
是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作
AB或BA
2.“相等”关系:
A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:
设A={x|x
相等”
2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合
即:
①任何一个集合是它本身的子集。
AA
②真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,
记作AB(或BA)
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
4.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子
集。
含有n个元素的集合的子集的共有2
n个;真子集共有2n1个:
非空真子集共有
n.22
集合的基本运算
运算交集并集补集
类型
定由所有属于A且属由所有属于集合A或
设S是一个集合,A是S的一
义
个子集,由S中所有不属于A
于B的元素所组成属于集合B的元素所
的元素组成的集合,叫做S中
的集合,叫做A,B的
组成的集合,叫做
子集A的补集(或余集)
交集.记作AB
(读作‘A交B’),
A,B的并集.记作:
AB(读作‘A并
记作CA
S,即
即AB={x|xA,
B’),即ABCSA={x|xS,且xA}
且xB}.
={x|xA,或xB}).
韦
恩
图
AB
AB
S
A
示
图1图2
性AA=AAA=A
(CuA)(CuB)=Cu(AB)
AΦ=ΦAΦ=A
(CuA)(CuB)=Cu(AB)
AB=BA
ABA
AB=BA
ABA
A(CuA)=U
A(CuA)=Φ.质ABBABB
容斥原理有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A,B,有card(A
∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
重点习题:
注意:
求两个集合的交集、并集时,往往先将集合化简,两个数集的交集、并集,可通过
数轴直观显示;利用韦恩图表示两个或多个集合的交集,有助于解题
2.求方程
210
xx的解集;
3.设A4,2a1,a2,B9,a5,1a,已知AIB9,则实数a。
5.
设关于x的方程x2px120,x2qxr0的解集分别为A,B,若
AUB3,4,AIB3,求p,q,r的值。
6.设A={x|x
2
+ax+b=0},B={x|x
2
+cx+15=0},又AB={3,5},A∩B={3},求实数a,b,c的值.
7.设Axx2pxq0,xR,M1,3,5,7,9,N1,4,7,10。
若ANA,AM
求p,q的值。
8.设
240
Axxx,
22
(1)210
BxxaxaB
(1)若AIBB,求a的值;
(2)若AUBB,求a的值.
9.某地对农户抽样调查,结果如下:
电冰箱拥有率为49%,电视机拥有率为85%,洗衣机
拥有率为44%,至少拥有上述三种电器中两种以上的占63%,三种电器齐全的为25%,那
么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为多少?
二、函数
(一)函数定义域、值域求法综合
设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个
数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
AB为从集合A到集
合B的一个函数(function),记作yf(x),xA,其中x叫做自变量,x的取值范围A
叫做函数的定义域(domain),与x的值相队对应的y的值叫做函数值,函数值的集合
{f(x)xA}叫做函数的值域(range)。
定义域、值域、对应法则,称为函数的三个要素,缺一不可;
(1)对应法则f(x)是一个函数符号,表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f
与x的乘积”,在不同的函数中,f的具体含义不一样;
y=f(x)不一定是解析式,在不少问题中,对应法则f可能不便使用或不能使用解析式,
这时就必须采用其它方式,如数表和图象,在研究函数时,除用符号f(x)表示外,还常用
g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示;
自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时,对应的函数值用符号f(a)来表示。
如
函数f(x)=x
2+3x+1,当x=2时的函数值是:
f
(2)=22+3×2+1=11。
注意:
f(a)是常量,f(x)是变量,f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。
(2)定义域是自变量x的取值范围;
注意:
①定义域不同,而对应法则相同的函数,应看作两个不同函数;
如:
y=x2(xR)与y=x
2(xR)与y=x
2(x>0);y=1与y=x
0
②若未加以特别说明,函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集
合;在实际中,还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围;
如:
一个矩形的宽为xm,长是宽的2倍,其面积为y=2x
2
,此函数的定义域为x>0,
而不是xR。
(3)值域是全体函数值所组成的集合,在大多数情况下,一旦定义域和对应法则确定,函
数的值域也随之确定。
(求值域通常用观察法、配方法、代换法)
定义域的求法:
当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种情况:
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;
(3)如果f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意
义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);
(5)如果f(x)是由实际问题列出的,那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际
意义的实数的集合。
函数的三种表示方法
(1)解析法(将两个变量的函数关系,用一个等式表示):
如
222
y3x2x1,Sr,C2r,S6t等。
(2)列表法(列出表格表示两个变量的函数关系):
如:
平方表,三角函数表,利息表,列车时刻表,国民生产总值表等。
优点:
不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
(3)图象法(用图象来表示两个变量的函数关系).
(二)函数奇偶性与单调性问题的解题策略
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)<
f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数(increasingfunction)。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1
那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasingfunction)。
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有
(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图象是上升
的,减函数的图象是下降的。
1.函数最大值与最小值的含义
一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的xI,都有f(x)M;
(2)存在
xI,使得f(x0)M。
0
那么,我们称M是函数yf(x)的最大值(maximumvalue).
2.二次函数在给定区间上的最值
①利用二次函数的性质求最值
对二次函数
2(0)
yaxbxca来说,若给定区间是(,),则当a0时,函
数有最小值是
2
4acb
4a
,当a0时,函数有最大值是
2
4acb
4a
;若给定区间是[a,b],则
必须先判断函数在这个区间上的单调性,然后再求最值。
②利用图像求函数的最值
③利用函数的单调性求最值
10.一般地,(板书)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函
数f(x)就叫做偶函数(evenfunction)。
(图像关于y轴对称)
11.一般地,(板书)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那
f(x)f(x)么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)。
(图像关于原点对称)
注意:
奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的;
偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的;
(三)函数解析式的表达
求函数解析式的常用方法有:
1、待定系数法
例1、
(1)已知二次函数f(x)满足f
(1)1,f
(1)5,图象过原点,求f(x);
(2)已知二次函数f(x),其图象的顶点是(1,2),且经过原点,f(x).
解:
(1)由题意设
2
f(x)axbxc,
∵f
(1)1,f
(1)5,且图象过原点,
abc1a3
abc5b2∴∴
c0c0
∴
2
f(x)3x2x.
(2)由题意设
2
f(x)a(x1)2,
又∵图象经过原点,
∴f(0)0,∴a20得a2,
∴
2
f(x)2x4x.
说明:
(1)已知函数类型,求函数解析式,常用“待定系数法”;
(2)基本步骤:
设出函数的一般式(或顶点式或两根式等),代入已知条件,通过解
方程(组)确定未知系数。
2、代入法
例2、根据已知条件,求函数表达式.
(1)已知
2
f(x)x4x3,求f(x1).
(2)已知
2
f(x)3x1,g(x)2x1,求f[g(x)]和g[f(x)].
解:
(1)∵
2
f(x)x4x3
∴
22
f(x1)(x1)4(x1)3x2x.
(2)∵
2
f(x)3x1,g(x)2x1
∴
222
f[g(x)]3[g(x)]13(2x1)112x12x4
∴
22
g[f(x)]2[f(x)]12(3x1)16x1
说明:
已知f(x)求f[g(x)],常用“代入法”.
基本方法:
将函数f(x)中的x用g(x)来代替,化简得函数表达式.
3、配凑法与换元法:
例3、
(1)已知
2
f(x1)x2x,求f(x).
(2)已知f(x1)x2x,求f(x1).
解:
(1)法一配凑法:
∵
2
f(x1)(x1)2x12x
2
(x1)4x1
2
(x1)4(x1)3
∴
2
f(x)x4x3.
法二换元法:
令x1t,则xt1,
22
f(t)(t1)2(t1)t4t3
∴
2
f(x)x4x3.
(2)设ux11,则x=u1,
2
x(u1)
于是
22
f(u)(u1)2(u1)u1(u1)
∴
2
f(x)x1(x1)
∴
22
f(x1)(x1)1x2x(x11)
即
2
f(x1)x2x(x0).
说明:
已知f[g(x)]求f(x)的解析式,常用配凑法、换元法;换元时,如果中间量涉
及到定义域的问题,必须要确定中间量的取值范围.
4、构造方程法
例3、已知f(x)满足
1
2f(x)f()3x
x
,求f(x).
解:
∵
1
2f(x)f()3x
x
--------①
将①中x换成
1
x
得
11
2f()f(x)3()
-------②
xx
3
①×2-②得
3f(x)6x
x
∴
f(x)2x
1
x
1
说明:
已知f(x)与f(x),或f(x)与f()之间的关系式,求f(x)的解析式,可通
x
1
过“互换”关系构造方程的方法,消去f(x)或f(),解出f(x).
x
(三)恒成立问题的求解策略
主要讨论二次函数问题
(四)反函数的几种题型及方法
反函数的定义
一般地,设函数yf(x)(xA)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x
表示出,得到x=(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x=(y),x在A中都有唯一
的值和它对应,那么,x=(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=(y)
(yC)叫做函数yf(x)(xA)的反函数,记作()
xf,习惯上改写成yf()
1y1x
12.求反函数的基本步骤:
一求值域:
求原函数的值域
二反解:
视y为常量,从yfx中解出唯一表达式
1
xfy,
三对换:
将x与y互换,得
1
yfx,并注明定义域。
13.反函数
1
yfx与原函数yfx的关系:
性质1、
1
yfx的定义域、值域分别为yfx的值域、定义域。
性质2、若yfx存在反函数,且yfx为奇函数,则
1
yfx也为奇函数。
性质3、若yfx为单调函数,则
1
yfx同yfx有相同的单调性。
性质4、yfx和
1
yfx在同一直角坐标系中,图像关于yx对称。
探讨1:
所有函数都有反函数吗?
为什么?
反函数也是函数,因为它符合函数的定义,从反函数的定义可知,对于任意一个函数
yf(x)来说,不一定有反函数,如
2
yx,只有“一一映射”确定的函数才有反函数,
2
yx,x[0,)有反函数是yx
探讨2:
互为反函数定义域、值域的关系
从映射的定义可知,函数yf(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数()
yf
1x
是集合C到集合A的映射,因此,函数yf(x)的定义域正好是它的反函数()
yf的值
1x
域;函数yf(x)的值域正好是它的反函数()
yf的定义域
1x
1(如下表):
1
f[f(x)]x,f[f(x)]x
1x函数yf(x)反函数yf()
定义域AC
值域CA
探讨3:
()
yf的反函数是?
1x
若函数yf(x)有反函数()
yf,那么函数yf()的反函数就是yf(x),这
1x1x
就是说,函数yf(x)与()
yf互为反函数
1x
例1:
已知
x3
fxlog1,求
2
1
fx(对数函数形式)
解:
fx的值域为R,令
x3
ylog1,则
2
x3y
log1
2
yxxy
11
2323
12x13fx
例2:
已知
x2
fx21求
1
fx(指数函数形式)
解:
令
x2
2xy
y21,y的值域为y1,21
y1x
log2
2
x
y1
log2
2
1x1
fxlog2x10x1
2
例3:
已知
2
fx1x10x1,求
1
fx(根式形式)
解:
令
2
y1x10x1
Q
2
0x11x100x11
2
01x11
2
01x11Q0y1
Qy1x1
2
2
1yx1
2
2
x1y1
112101
fxxx
例4:
求
x11
且x的反函数(分式形式)
yxR
2x12
解:
由题意知,
1
y,反解为
2
y11
y2x1x1xy
2y12
原函数的反函数为
x11
yx
2x12
例5、已知
2
fx1x2x1x1,2,求fx的反函数(二次函数形式)
解:
Q1x22x13令tx12t3xt1所以原函数可化为
22
ftt12t11t2即fx
22
x2x3
22
yfxx(2y7)
2
y2xxy2(2y7)
所以fx的反函数
1227
fxxx
20xx
例6、求
y
1
2
xx0
的反函数(分段函数形式)
解:
x0时,
2
yx则xy(y0)则y的反函数为yx(x0)
x0时,y
1
2
x则x2y(y0)则y的反函数为y2xx0
所以原函数的泛函数
y
x(x0)
2xx0
注:
求分段函数的反函数要分段求,最后要用分段函数的形式表示出来
利用反函数求值(性质一的应用)
例7、已知
22
1
fxx1,f
求的值
2
1x3
解一:
先求反函数
1
fx
解:
令
y
1
2
2
x
,得
222
x1Qx1x1且y0
yy
故fx的反函数为
12
fx1x0
x
f
2
3
2
解二:
根据性质一
解:
22
2
1x3
x
2
Qx1x2即
f
2
3
2
例8、已知
x
fxak的图像过点1,3,其反函数
1
yfx的图像过2,0点,求
fx的表达式。
解:
1
Qyfx的图像过点2,0,fx的图像过点0,2,
0x
2akk1fxa1又Qyfx的图像过点1,3,
x
3a1a2fx21
利用图像(性质四的应用)
例9:
已知函数
2x11
fxa,xa
xa2
的图像关于直线yx对称,求a的值
解:
由题意fx的图像关于直线yx对称,则
1
fxfx
令yfx
2x1
xa
(y2)211
yxaxx
x
ay
2
所以
11ax
fxx
x2
2
由
1
fxfx得
1
x
ax
2
=
2x1
xa
解得a2
(五)二次函数根的问题——一题多解
&指数函数y=a^x运算规律:
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)
(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)
(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)
指数函数图像对称规律:
1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称
2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称
3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称
指数函数问题解决方法:
1.比较大小
例1已知函数
2xx
f(x)xbxc满足f(1x)f(1x),且f(0)3,则f(b)与f(c)
的大小关系是_____.
分析:
先求b,c的值再比较大小,要注意
xx
b,c的取值是否在同一单调区间内.
解:
∵f(1x)f(1x),
∴函数f(x)的对称轴是x1.
故b2,又f(0)3,∴c3.
∴函数f(x)在∞,1上递减,在1,∞上递增.
若x≥0,则321
x≥x≥,∴f(3x)≥f(2x);
xx
若x0,则321
xx
,∴f(3)f
(2).
xxxx综上可得f(3)≥f
(2),即f(c)≥f(b).
评注:
①比较大小的常用方法有:
作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②
对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论.
2.求解有关指数不等式
例2已知
23x21x
(25)(25)
aaaa,则x的取值范围是___________.
分析:
利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围.
解:
∵
225
(1)2441
aaa≥,
∴函数
2x
y(a2a5)在(∞,∞)上是增函数,
∴3x1x,解得
1
x.∴x的取值范围是
4
1
4
,∞.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 必修 知识点 总结
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)