优秀的用二分法求方程的近似解2导学案.docx

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优秀的用二分法求方程的近似解2导学案

用二分法求方程的近似解

（2）导学案

课题：

用二分法求方程的近似解

（2）

执课时间：

学习小组：

学习目标

继续了解函数的零点与对应方程根的联系，理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质；通过探究、思考，培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能力。

重点难

点预测

重点

“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.

难点

“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.

知识清单（现有知识储备）

1、

2、

3、

学习过程

疑难梳理、方法总结

教学过程

一、创设情景，引入新课

师：

观察二次函数f（x）=x2－2x－3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x2－2x－3在区间［－2，1］上有零点.计算f（－2）与f

（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?

在区间［2，4］上是否也具有这种特点呢?

引导学生探究，可以发现，在区间［－2，1］的端点上，f（－2）＞0，

f

（1）＜0，即f（－2）·f

（1）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在区间（－2，1）内有零点x=－1，它是方程x2－2x－3=0的一个根.同样，在区间［2，4］的端点上，f

（2）＜0，f（4）＞0，即f

（2）·f（4）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在（2，4）内有零点x=3，它是方程x2－2x－3=0的另一个根.

我们能从二次函数的图象看到零点的性质：

1.二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.

例如，函数y=x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点－2时，函数值由正变负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正.

2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

师：

对任意函数，结论也成立吗?

同学们可以任意画几个函数图象，观察图象，看看是否得出同样的结论.

二、讲解新课

1.零点的性质

如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·

f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=

0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的零点.一般地，对于不能用公式法求根的方程f（x）=0来说，我们可以将它与函数y=f（x）联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.

2.应用举例

【例1】教科书P88例1.

本例是考查函数零点的个数.通过它要让学生认识到函数的图象及其基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用.

（1）函数f（x）=lnx+2x－6的图象可以让学生利用计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.1－3，发现函数的图象与x轴有一个交点，从而对函数有一个零点形成直观的认识.

（2）教科书上的表3－1，可以让学生用计算器或计算机得出，使学生通过动手实践获得对表3－1的认同感.通过观察表3－1，结合图象3.1－3，不难得出函数的一个零点在区间（2，3）内.

（3）要说明函数仅有一个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+∞）上是增函数，也可以由g（x）=lnx、

h（x）=2x－6在（0，+∞）上是增函数，说明函数f（x）=g（x）+h（x）在（0，+∞）上是增函数.

【例2】已知函数f（x）=ax2+bx+1具有以下性质：

①对任意实数x1≠x2，且f（x1）=f（x2）时，满足x1+x2=2；

②对任意x1、x2∈（1，+∞），总有f（

）＞

.

则方程ax2+bx+1=0根的情况是（）

A.无实数根B.有两个不等正根

C.有两个异号实根D.有两个相等正根

方法探究：

（1）本题由条件①，知函数f（x）的对称轴为x=1；由条件②，知函数f（x）是凸函数，即a＜0；再由函数f（x）的表达式，知f（x）的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数f（x）的草图，如下图，发现函数f（x）与x轴交点的位置，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.

（2）由条件②，知函数f（x）的图象开口向下，即a＜0.又由x1x2=

＜0，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.

方法技巧：

解析

（2）的求解过程明显比解析

（1）简捷，但却不如解析

（1）直观，用数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析

（1）中的三个函数语言之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语言，那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.

【例3】研究方程|x2－2x－3|=a（a≥0）的不同实根的个数.

方法探究：

纯粹从解方程角度来考虑，必须研究两个方程，讨论相当麻烦.从函数图象角度分析，只需研究函数y=|x2－2x－3|与y=a的图象的交点的个数.

解：

设y=|x2－2x－3|和y=a，利用Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数.如下图，当a=0或a＞4时，有两个实根；当a=4时，有三个实根；当0＜a＜4时，有四个实根.

方法技巧：

有关实根个数的题目，通常都采用数形结合思想.做这类题目，必须遵循两个步骤：

一是构造两个熟悉的函数，二是画出图象，关键点画图要准确.

三、课堂练习

教科书P88练习题1.

（1）

（2）

四、课堂小结

1.本节学习的数学知识：

零点的性质：

在函数的零点两侧函数值乘积小于0；零点的确定.

2.本节学习的数学方法：

归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想.

五、布置作业

教科书P92习题3.11、2、3.

补充题：

1.定义在区间［－c，c］上的奇函数f（x）的图象如下图所示，令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是

A.若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称

B.若a=－1，－2＜b＜0，则函数g（x）有大于2的零点

C.若a≠0，b=2，则函数g（x）有两个零点

D.若a≥1，b＜2，则函数g（x）有三个零点

2.方程x2－2mx+m2－1=0的两根都在（－2，4）内，则实数m的取值范围为________.

3.已知二次函数f（x）=x2+2（p－2）x+3p，若在区间［0，1］内至少存在一个实数c，使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是________.

课后记：

学

后

反

思

我学到的知识

我学到的方法与思想

我今后还需努力做好