考研数学二历年真题及答案详解.docx
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考研数学二历年真题及答案详解.docx
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考研数学二历年真题及答案详解
、选择题:
1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要
求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上
2
(1)曲线y罕芒的渐近线条数
x21
(A)0(B)1(C)2(D)3
⑵设函数f(x)(ex1)(e2x2)L(enxn),
n1
(A)
(1)(n1)!
(B)
(1)n(n
⑶设an0(n1,2,3L),Sn
a2a3
(A)充分必要条件
(B)
(C)必要非充分条件
(D)
k2
(4)设lkoexsinxdx,(k1,2,3),则有
(A)I1I2I3(B)I3I2I1(C)
()
其中n为正整数,则f(0)()
1)!
(C)
(1)n1n!
(D)
(1)nn!
Lan,则数列Sn有界是数列an收敛的
()
充分非必要条件
非充分也非必要
()
I2I3I1(D)I2I1I3
⑸设函数f(x,y)为可微函数,且对任意的x,y都有一乂
x
0,3
0,则使不等式
f(N,yjf(X2,y?
)成立的一个充分条件是
(A)人X2,%y2(B)
论X2,%
y2(C)
人X2,%y2(D)人X2,%y2
(6)设区域D由曲线ysinx,x
2,y
1围成,则(x5y1)dxdy
D
()
(A)
(B)
2
(C)-2(D)-
0
0
1
1
⑺设a0,
.a
1
必31,必4
1
其中G,C2,C3,C4为任意常数,
则下列向量组
c1
C2
C3
C4
线性相关的为
()
(A)a,a,a
(B)
a,a,04
(C)
a,a,a(D)
(%2,a,0C4
二、填空题:
9-14小题,每小题
(9)设y
y(x)是由方程x2
4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置
dx2
ey所确定的隐函数,则
(10)
lim
n
_1
22
n2
n2
(11)
Inx
,其中函数
z2z
可微,则X:
y-
(12)
微分方程
ydx
3y2dy
0满足条件y
X11的解为y
(13)
曲线y
0上曲率为辽的点的坐标是
2
(14)
设A为3阶矩阵,
A=3,A为A伴随矩阵,若交换A的第1行与第2行得矩阵
B,则
1
0
0
(8)
设
A为
3
阶矩
阵,P为
3
阶
可逆矩阵,
且P1
AP
0
1
0
.右P
a,a2,a
0
0
2
Q
a
a,
%2,
a3则
Q1AQ
(
)
1
0
0
1
0
0
2
0
0
2
0
0
(A)
0
2
0
(B)
0
1
0(C)
0
1
0
(D)
0
2
0
0
0
1
0
0
2
0
0
2
0
0
1
*
BA.
三、解答题:
15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•
(15)(本题满分10
已知函数f
1x
sinx
(I)求a的值;
(II)若x
(16)(本题满分
0时,
10分)
k
a与x是同阶无穷小,求常数k的值.
求函数f
(17)(本题满分
22
xy
x,yxe2的极值.
12分)
过(0,1)点作曲线L:
yInx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,
求区域D的面积及
D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积
(18)(本题满分10分)
计算二重积分xyd,其中区域D为曲线r1cos0
D
(19)(本题满分10分)
已知函数f(x)满足方程f(x)f(x)2f(x)0及f(x)
(I)求f(x)的表达式;
x
(II)求曲线yf(x2)of(t2)dt的拐点.
(20)(本题满分10分)
12
证明xln——xcosx1—,(1x1).
1x2
(21)(本题满分10分)
(I)证明方程xn+xn-1Lx1n1的整数,在区间
与极轴围成•
f(x)2ex,
1
1内有且仅有一个实根;
2
Xn
,证明limxn存在,并求此极限•
n
(22)(本题满分
11
分)
1
a
0
0
沁0
1
a
0
设a
0
0
1
a
a
0
0
1
中的实根为
(II)记(I)
(I)计算行列式A
1
1
0
0
有无穷多解,并求其通解
(23)(本题满分11
分)
1
0
1
已知a
0
1
1
,二次型
1
0
a
0
a
1
(II)当实数a为何值时,方程组Ax
(I)求实数a的值;
x(,x2,x3xTAtAx的秩为2,
(II)求正交变换xQy将f化为标准形
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
选择题:
1〜8小题,每小题4分,共32分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1)已知当x0时,函数f(x)3sinxsin3x与cxk是等价无穷小,则(
(B)k1,c
(2)
(3)
(4)
(C)k
设函数
(A)
函数
(A)
3,c4
f(x)在x
2f
(0)
(D)k3,c
f(x)
ln(x
0处可导,且f(0)
(B)f(0)
微分方程y
0,则limxf^
x0
(C)f(0)
1)(x2)(x3)的驻点个数为()
(B)
(C)2
0)的特解形式为(
2f(x3)
(D)
(D)
(A)k1,c4
(C)
x(aexbex)
(D)x2(ae
xbe
x)
(5)设函数f(x),g(x)均有一阶连续导数,满足
f(0)0,
g(0)
0,
f(0)g(0)
数z
f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是
(
)
(A)
f(0)0,g(0)
0
(B)f(0)
0,g
(0)
0
(C)
f(0)0,g(0)
0
(D)f(0)
0,g
(0)
0
(6)设|
4Insinxdx,J
4Incotxdx,K
4Incosxdx
,则I,
J,
K的大小关系为
0
0
0
(A)
IJK
(B)IK
J
(C)
JIK
(D)KJ
I
e
B的第2行与第3行得单位矩
(7)设A为3阶矩阵,将
A的第2列加到第
1列得矩阵B,
再交换
0则函
()
x\
e)
(A)a(ex
(B)ax(ex
x)
阵。
记P
(A)P1P2
(8)设A(1,
0,P20
10
2,
4)是4阶矩阵,
1,则A=(
0
(C)P2P1
1
(D)P2R
*T
A为A的伴随矩阵。
若(1,0,1,0)是方程组Ax0的一
*
个基础解系,则Ax0的基础解系可为(
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题:
9〜14小题,每小题4分,共24分。
请将答案写在答题纸指定位置上。
(9)lim-
X02
1
2Xx
(10)
微分方程
yyeXcosx满足条件y(0)
0的解为y
(11)
曲线y
X
tantdt
0
(0
4)的弧长s
(12)
设函数f(x)
kx
0,
0,
0,
0,则
xf(x)dx
(13)设平面区域D
由直线yx,圆
x2
y2
2y及y轴所围成,则二重积分
xyd
D
(14)二次型f(x1,X2,X3)X:
3xf
2
X3
2x1x2
2X1X32X2X3,则f的正惯性指数
三、解答题:
15〜23小题,共94分。
请将解答写在答题纸
指定位置上,解答应字说明、
证明过程或演算步骤。
(15)
(本题满分
10分)
已知函数
X
ln(1
0
F(x)
t2)dt
(16)
(本题满分
11分)
,设lim
X
F(x)
limF(x)0,试求的取值范围。
x0
设函数y
y(x)由参数方程
y
」t3
3
」t3
3
1
31
确定,求yy(x)的极值和曲线yy(x)的
1
凹凸区间及拐点。
(17)(本题满分9分)
得极值g
(1)1,求zI
xyxi,y1
(18)(本题满分10分)
设函数y(x)具有二阶导数,且曲线丨:
yy(x)与直线yx相切于原点,记为曲线I在点
(x,y)处切线的倾角,若—dy,求y(x)的表达式。
dxdx
(19)(本题满分10分)
111
(I)证明:
对任意的正整数n,都有In1成立。
n1nn
11
(II)设an1lnn(n1,2,),证明数列an收敛。
2n
(20)(本题满分11分)
221
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲线由x2y22y(y-)与
221
xy1(y)连接而成。
2
(I)求容器的容积;
(II)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?
(长度单位:
m,重力加速度为gms2,水的密度为103kgm3)
(21)(本题满分11分)
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)0,f(x,1)0,f(x,y)dxdya,
D
其中D(x,y)0x1,0y1,计算二重积分Ixyfxy(x,y)dxdyo
D
(22)(本题满分11分)
设向量组1(1,0,1)T,2(0,1,1)T,3(1,3,5)T不能由向量组1(1,1,1)T,
2(1,2,3)t,3(3,4,a)T线性表示。
(I)求a的值;
(II)将1,2,3用1,2,3线性表示。
(23)(本题满分11分)
1
1
11
设A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且A0
0
0
0。
11
1
1
(I)求A的所有的特征值与特征向量;
(II)求矩阵A。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一选择题
X2X1
(1)函数f(x)—2.1一2的无穷间断点的个数为
X1\X
A0B1C2D3
2•设是一阶线性非齐次微分方程yp(x)yq(x)的两个特解,若常数,使力y?
是该
方程的解,
y1
y2是该方程对应的齐次方程的解,则
1
1
1
1
A-,
—
B一,
—
2
2
2
2
2
1
2
2
C,
—
D-,
—
3
3
3
3
(1)曲线yx2与曲线yalnx(a0)相切,则a
A4eB3eC2e
De
4.设m,n为正整数,则反常积分
1mln2(1x)
dx的收敛性
A仅与m取值有关B仅与n取值有关
C与m,n取值都有关D与m,n取值都无关
5.设函数zz(x,y)由方程F(—,—)0确定,其中F为可微函数,且F20,则x~y—-
xxxy
nn
6.(4)
lim
x
i1j1(n
22
i)(nj)
1
x
1
1
x
1
A
dx
dyB
dx
dy
0
0
(1
x)(1
厶\
y)
0
0(1
x)(1
y)
1
1
1
1
1
1
C0
dx0
dyD
dx
dy
0
0
(1
x)(1
y)
0
0(1
x)(1
厶\J
y)
7•设向量组
1,2,,
r可由向量组
II:
1,
2,,s线性表示,下列命题正确的是:
A若向量组
C若向量组
I线性无关,则II线性无关,则
B若向量组I线性相关,则r>s
D若向量组II线性相关,则r>s
(A)设
2
阶对称矩阵,且A
A0,若A的秩为3,则A相似于A
y2y0的通解y=
1
1
1
1
1
1
C
D
1
1
1
0
0
0
i填空题
9.3阶常系数线性齐次微分方程y2y
2x
10.曲线y——的渐近线方程为
x1
11.函数yIn(12x)在x0处的n阶导数y⑴(0)
12.当0时,对数螺线re的弧长为
13.已知一个长方形的长I以2cm/s的速率增加,宽w以3cm/s的速率增加,则当l=12cm,w=5cm时,它的对角线增加的速率为
14.设A,B为3阶矩阵,且A3,B2,A1B2,则AB1
三解答题x22t2、、
15.求函数f(x)1(x2t)etdt的单调区间与极值。
11I
16.
(1)比较0Int[ln(1t)]ndt与0tnlnt|dt(n1,2,L)的大小,说明理由.
Int[ln(1t)]ndt(n1,2,L),求极限limu
x
1
⑵记Un0
设函数y=f(x)由参数方程
17.2
x2tt
2tt'(t1)所确定,其中(t)具有2阶导数,且
(1)
y(t),
d2y3
(1)6,已知时-^,求函数(t)。
dx24(1t)
18.
现将贮油罐平放,当油罐中油
一个高为I的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。
亠、、3b、、
面咼度为2时,计算油的质量。
kg/m3
(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为
19.
设函数uf(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足等式
2
4」
幵2
x
2
2
12」
xy
确定a,b的值,使等式在变换
xay,xby下简化
计算二重积分Ir2sin
20.d
1r2cos2drd,其中D{(r,
)0r
sec
1
21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f
(1)=3,证明:
存在
1
(0,;),
2
1
(尹使得f()
f
()22.
22.
1
1
a
设A0
1
0,b
1
.已知线性方程组Axb存在2个不同的解。
1
1
1
(1)求、a
23.设
(2)求方程组
Ax
b的通解。
14
1
3a,正交矩阵Q使得QtAQ为对角矩阵,若Q的第一列为(1,2,1)T,求a、Q.
<6
a0
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题:
1〜8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内
函数f
x
xx
的可去间断点的个数,则
(
)
sinnx
A1.
B2.
C
3.
D无穷多个
当x
0时,
fxx
sinax与
gx
x2In
1bx是
:
等价无穷小,
Aa
1,b
!
.B
a
1,b
1
Ca
1,b
1
Da
6
6
6
设函数
zf
x,y的全微分为
dz
xdx
ydy,
则点0,0(
)
A不是f
x,y的连续点
B
不是f
x,y
的极值点
C是
fx,
y的极大值点
D
是fx,y的极小值点
2
2
2
4y
设函数
fx,
y连续,则
dx
1
f
x
x,ydy1
dyf
y
x,y
dx
2
4
x
2
4x
A
1
dx
1
fx,ydy.
B
dx
1:
f
x
x,ydy.
2
4
y
2
2
C
1
dy1
fx,ydx.
D
.1dy
f
y
x,ydx
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(
则
1,b
(5)若f
X不变号,且曲线
X在点1,1上的曲率圆为
x2
2,则f
x在区间1,2
内(
A有极值点,
无极值点,有零点.
C有极值点,
有零点.
无极值点,无零点.
(6)设函数yf
x在区间
1,3
上的图形为:
f(x)
则函数Fx
ftdt的图形为()o
f(x)
X
B的伴随矩阵。
若
A=2,B=3,则分块矩阵
0
A
的伴随矩阵为(
)
B
0
0
*
3B
0
2B
A
・*
B.
*
2A
0
3A
0
0
*
3A
0
2A
C
・*
2B
D.
1*
0
3B
0
(7)设A、B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A、
1
0
0
(8)设A,P均为3阶矩阵,
PT为P的转置矩阵,且ptap=0
1
0,若
0
0
2
P=(1,2,3),Q=(
1+2,2,3),则QTAQ为(
)
2
1
0
1
1
0
A.
1
1
0
B.
1
2
0
0
0
2
0
0
2
2
0
0
1
0
0
C.
0
1
0
D.
0
2
0
0
0
2
0
0
2
、填空题:
9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上
(9)曲线
pl..
在(0,0)处的切线方程为
"u2
x=e
0
t2ln(2
t2)
(10)
已知
1,则k
(11)
lim
n
xsinnxdx
(12)
y(x)是由方程
xyeyx1确定的隐函数,则
d2y
dx
2x=0
(13)
函数
x2x在区间
01上的最小值为
(14)设
为3维列向量,
T为的转置,若矩阵
T相似于0
0
三、解答题:
过程或演算步骤•
15-23小题,共
94分.请将解答写在答题纸指定的位置上
(15)
(本题满分
9分)求极限
Xim0
1cosxxln(1tanx)
.4
sinx
(16)
(本题满分
10分)计算不定积分
ln(1x(x0)
(17)
(本题满分
10分)设z
0
0,则T
•解答应写出文字说明、证明
2
y,xy,xy,其中f具有2阶连续偏导数,求dz与—z
(18)(本题满分10分)
设非负函数yyxx0满足微分方程xyy20,当曲线yyx过原点时,其与直
线x1及y0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
(19)(本题满分10分)求二重积分xydxdy,
D
r亠22
其中Dx,yx1y12,yx
(20)(本题满分12分)
设yy(x)是区间(-,
的光滑曲线,当
x0时,曲线上任一点处的法
线都过原点,当Ox
时,函数y(x)满足yyx0。
求y(x)的表达式
(21)(本题满分11分)
(I)证明拉格朗日中值定理:
若函数
fx在a,b上连续,在a,b可导,则存在a,b,
使得fbfa
ba(n)证明:
若函数
x在x0处连续,在0,
可导,且limfxA,则f
0存在,且f0A。
1
1
1
1
1
1
1,1
1
0
4
2
2
1的所有向量
2,3
(22)(本题满分11分)设A
2
(I)求满足A21,A3
(n)对(I)中的任一向量
2,3,证明:
1,2,3线性无关。
(23)(本题满分11分)设二次型
X1,X2,X3
2
ax2
a12x1x32x2x3
(I)求二次型f的矩阵的所有特征值;
(n)若二次型f的规范形为y2y|,求a的值。
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
(1)设f(x)x2(x
一、选择题:
1〜8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内
1)(x2),贝Uf(x)的零点个数为()
B1.
(2)曲线方程为y
f(x)函数在区间
[0,a]上有连续导数,则定积分
at
0aft(x)dx(
曲边梯形ABOD
面积.
梯形ABOD面积.
曲边三角形ACD面积.
三角形ACD面积.
(3)在下列微分方程中,
Gex
C2cos2x
C3sin2x
(C1,C2,C3为任意常数)
为通解的是
III
Ayy
4y4y
4y4y
4y4y
4y4y
(5)设函数
f
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