人教新版九年级上学期《第21章+一元二次方程》单元测试组卷1.docx
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人教新版九年级上学期《第21章+一元二次方程》单元测试组卷1
人教新版九年级上学期《第21章一元二次方程》2018年单元测试组卷
一.选择题(共10小题)
1.如果方程(m﹣3)
﹣x+3=0是关于x的一元二次方程,那么m的值为( )
A.±3B.3C.﹣3D.都不对
2.方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A.6,2,9B.2,﹣6,9C.2,﹣6,﹣9D.﹣2,6,9
3.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为( )
A.1B.﹣1C.1或﹣1D.
4.若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n的值为( )
A.1B.2C.﹣1D.﹣2
5.给出一种运算:
对于函数y=xn,规定y′=nxn﹣1.例如:
若函数y=x4,则有y′=4x3.已知函数y=x3,则方程y′=12的解是( )
A.x1=4,x2=﹣4B.x1=2,x2=﹣2C.x1=x2=0D.x1=2
,x2=﹣2
6.已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为( )
A.10B.14C.10或14D.8或10
7.已知三角形两边长是4和7,第三边是方程x2﹣16x+55=0的根,则第三边长是( )
A.5B.11C.5或11D.6
8.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<5B.k<5,且k≠1C.k≤5,且k≠1D.k>5
9.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?
设每盆多植x株,则可以列出的方程是( )
A.(3+x)(4﹣0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3﹣0.5x)=15D.(x+1)(4﹣0.5x)=15
10.要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( )
A.
x(x+1)=28B.
x(x﹣1)=28C.x(x+1)=28D.x(x﹣1)=28
二.填空题(共2小题)
11.已知2是关于x的方程:
x2﹣2mx+3m=0的一个根,而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,则△ABC的周长是 .
12.把x2﹣4x+1化为(x+h)2+k(其中h,k是常数)的形式是 .
三.解答题(共8小题)
13.解方程:
x2﹣6x﹣4=0.
14.解方程:
x2﹣5x﹣1=0.
15.计算或解方程
(1)
(2)(6
﹣2x
)+3
(3)3x2+1=2
x
(4)(3x﹣2)2﹣5(3x﹣2)+4=0.
16.若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不等的实数根,化简:
.
17.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
18.某地区2013年投入教育经费2500万元,2015年投入教育经费3025万元.
(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率;
(2)根据
(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.
19.随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也大增,商社电器从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元,用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?
(2)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强,噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B型空气净化器的售价为1800元时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?
20.已知关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m=0
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实根为x1、x2,且x12+x22﹣x1x2=7,求m的值.
人教新版九年级上学期《第21章一元二次方程》2018年单元测试组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.如果方程(m﹣3)
﹣x+3=0是关于x的一元二次方程,那么m的值为( )
A.±3B.3C.﹣3D.都不对
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答,一元二次方程必须满足四个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.据此即可得到m2﹣7=2,m﹣3≠0,即可求得m的范围.
【解答】解:
由一元二次方程的定义可知
,
解得m=﹣3.
故选:
C.
【点评】要特别注意二次项系数m﹣3≠0这一条件,当m﹣3=0时,上面的方程就是一元一次方程了.
2.方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A.6,2,9B.2,﹣6,9C.2,﹣6,﹣9D.﹣2,6,9
【分析】一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.要确定二次项系数、一次项系数和常数项,首先要把方程化成一般形式.
【解答】解:
∵方程2x2﹣6x=9化成一般形式是2x2﹣6x﹣9=0,
∴二次项系数为2,一次项系数为﹣6,常数项为﹣9.
故选:
C.
【点评】注意在说明二次项系数,一次项系数,常数项时,一定要带上前面的符号.
3.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为( )
A.1B.﹣1C.1或﹣1D.
【分析】根据方程的解的定义,把x=0代入方程,即可得到关于a的方程,再根据一元二次方程的定义即可求解.
【解答】解:
根据题意得:
a2﹣1=0且a﹣1≠0,
解得:
a=﹣1.
故选:
B.
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义,特别需要注意的条件是二次项系数不等于0.
4.若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n的值为( )
A.1B.2C.﹣1D.﹣2
【分析】把x=n代入方程得出n2+mn+2n=0,方程两边都除以n得出m+n+2=0,求出即可.
【解答】解:
∵n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,
代入得:
n2+mn+2n=0,
∵n≠0,
∴方程两边都除以n得:
n+m+2=0,
∴m+n=﹣2.
故选:
D.
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用,能运用巧妙的方法求出m+n的值是解此题的关键,题型较好,难度适中.
5.给出一种运算:
对于函数y=xn,规定y′=nxn﹣1.例如:
若函数y=x4,则有y′=4x3.已知函数y=x3,则方程y′=12的解是( )
A.x1=4,x2=﹣4B.x1=2,x2=﹣2C.x1=x2=0D.x1=2
,x2=﹣2
【分析】首先根据新定义求出函数y=x3中的n,再与方程y′=12组成方程组得出:
3x2=12,用直接开平方法解方程即可.
【解答】解:
由函数y=x3得n=3,则y′=3x2,
∴3x2=12,
x2=4,
x=±2,
x1=2,x2=﹣2,
故选:
B.
【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程,同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力;注意:
①二次项系数要化为1,②根据平方根的意义开平方时,是两个解,且是互为相反数,不要丢解.
6.已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为( )
A.10B.14C.10或14D.8或10
【分析】先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0,求出m=4,则方程即为x2﹣8x+12=0,利用因式分解法求出方程的根x1=2,x2=6,分两种情况:
①当6是腰时,2是底边;②当6是底边时,2是腰进行讨论.注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验.
【解答】解:
∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,
∴22﹣4m+3m=0,m=4,
∴x2﹣8x+12=0,
解得x1=2,x2=6.
①当6是腰时,2是底边,此时周长=6+6+2=14;
②当6是底边时,2是腰,2+2<6,不能构成三角形.
所以它的周长是14.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解,解一元二次方程﹣因式分解法,三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质,注意求出三角形的三边后,要用三边关系定理检验.
7.已知三角形两边长是4和7,第三边是方程x2﹣16x+55=0的根,则第三边长是( )
A.5B.11C.5或11D.6
【分析】求出方程的解x1=11,x2=5,分为两种情况:
①当x=11时,此时不符合三角形的三边关系定理;②当x=5时,此时符合三角形的三边关系定理,即可得出答案.
【解答】解:
x2﹣16x+55=0,
(x﹣11)(x﹣5)=0,
x﹣11=0,x﹣5=0,
解得:
x1=11,x2=5,
①当x=11时,三角形的三边是4、7、11,
∵4+7=11,
∴此时不符合三角形的三边关系定理,舍去;
②当x=5时,三角形的三边是4、7、5,
∵此时符合三角形的三边关系定理,
∴第三边长是5.
故选:
A.
【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理的应用,注意:
求出的第三边的长,一定要看看是否符合三角形的三边关系定理,集a+b>c,b+c>a,a+c>b,题型较好,但是一道比较容易出错的题目.
8.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<5B.k<5,且k≠1C.k≤5,且k≠1D.k>5
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根,结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,
∴
,即
,
解得:
k<5且k≠1.
故选:
B.
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义,解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键.
9.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?
设每盆多植x株,则可以列出的方程是( )
A.(3+x)(4﹣0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3﹣0.5x)=15D.(x+1)(4﹣0.5x)=15
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株,则每盆花苗有(x+3)株,得出平均单株盈利为(4﹣0.5x)元,由题意得(x+3)(4﹣0.5x)=15即可.
【解答】解:
设每盆应该多植x株,由题意得
(3+x)(4﹣0.5x)=15,
故选:
A.
【点评】此题考查了一元二次方程的应用,根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键.
10.要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( )
A.
x(x+1)=28B.
x(x﹣1)=28C.x(x+1)=28D.x(x﹣1)=28
【分析】关系式为:
球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7,把相关数值代入即可.
【解答】解:
每支球队都需要与其他球队赛(x﹣1)场,但2队之间只有1场比赛,
所以可列方程为:
x(x﹣1)=4×7.
故选:
B.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系,注意2队之间的比赛只有1场,最后的总场数应除以2.
二.填空题(共2小题)
11.已知2是关于x的方程:
x2﹣2mx+3m=0的一个根,而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,则△ABC的周长是 14 .
【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程求出m得到原方程为x2﹣8x+12=0,再解此方程得到得x1=2,x2=6,然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为6,底边为2,再计算三角形的周长.
【解答】解:
把x=2代入方程得4﹣4m+3m=0,解得m=4,
则原方程为x2﹣8x+12=0,解得x1=2,x2=6,
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,
所以△ABC的腰为6,底边为2,则△ABC的周长为6+6+2=14.
故答案为14.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.也考查了三角形三边的关系.
12.把x2﹣4x+1化为(x+h)2+k(其中h,k是常数)的形式是 (x﹣2)2﹣3 .
【分析】二次项系数为1,则常数项是一次项系数的一半的平方即可求解.
【解答】解:
原式=x2﹣4x+4﹣3=(x﹣2)2﹣3.
【点评】配方法的难点是配方,要求学生必须熟练掌握公式“a2±2ab+b2”,判断什么是:
“a”或“b”,或“ab”,怎样从a2、2ab这两项去找出“b”,或从a2、b2这两项去找出2ab”,或从2ab去找出a2和b2”.同学们要熟练掌握这些基本方法,从而做到心中有数,配方有路可循.
三.解答题(共8小题)
13.解方程:
x2﹣6x﹣4=0.
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用,把左边配成完全平方式,右边化为常数.
【解答】解:
移项得x2﹣6x=4,
配方得x2﹣6x+9=4+9,
即(x﹣3)2=13,
开方得x﹣3=±
,
∴x1=3+
,x2=3﹣
.
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程,用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)形如x2+px+q=0型:
第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可.
(2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方.
14.解方程:
x2﹣5x﹣1=0.
【分析】先找出a,b,c,再代入求根公式x=
,进行计算即可.
【解答】解:
x2﹣5x﹣1=0,
∵a=1,b=﹣5,c=﹣1
∴x=
=
,
∴x1=
,x2=
.
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程,找出a,b,c,掌握求根公式是解此题的关键.
15.计算或解方程
(1)
(2)(6
﹣2x
)+3
(3)3x2+1=2
x
(4)(3x﹣2)2﹣5(3x﹣2)+4=0.
【分析】
(1)根据二次根式的加减法可以解答本题;
(2)根据二次根式的加减法可以解答本题;
(3)根据解一元二次方程的方法可以解答本题;
(4)根据因式分解法可以解答本题.
【解答】解:
(1)
=
=7
+2
;
(2)(6
﹣2x
)+3
=9x﹣6x
=3x;
(3)3x2+1=2
x
3x2+1﹣2
x=0
(
)2=0,
解得,x1=x2=
;
(4)(3x﹣2)2﹣5(3x﹣2)+4=0
[(3x﹣2)﹣1][(3x﹣2)﹣4]=0
(3x﹣3)(3x﹣6)=0
∴3x﹣3=0或3x﹣6=0,
解得,x1=1,x2=2.
【点评】本题考查二次根式的加减法、解一元二次方程,解答本题的关键是明确解方程的方法.
16.若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不等的实数根,化简:
.
【分析】一元二次方程有两不等根,则根的判别式△=b2﹣4ac>0,建立关于m的不等式,求出m的取值范围后,再化简.
【解答】解:
∵方程有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=4﹣4m>0,
解得:
m<1,
∴2﹣m>0,m﹣1<0,
∴
=2﹣m+m﹣1=1.
【点评】此题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及绝对值和二次根式的化简.
17.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)根据已知一元二次方程的根的情况,得到根的判别式△≥0,据此列出关于k的不等式[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+2k)≥0,通过解该不等式即可求得k的取值范围;
(2)假设存在实数k使得
≥0成立.利用根与系数的关系可以求得
,然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式
≥0,通过解不等式可以求得k的值.
【解答】解:
(1)∵原方程有两个实数根,
∴[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+2k)≥0,
∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0
∴1﹣4k≥0,
∴k≤
.
∴当k≤
时,原方程有两个实数根.
(2)假设存在实数k使得
≥0成立.
∵x1,x2是原方程的两根,
∴
.
由
≥0,
得
≥0.
∴3(k2+2k)﹣(2k+1)2≥0,整理得:
﹣(k﹣1)2≥0,
∴只有当k=1时,上式才能成立.
又∵由
(1)知k≤
,
∴不存在实数k使得
≥0成立.
【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系.
18.某地区2013年投入教育经费2500万元,2015年投入教育经费3025万元.
(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率;
(2)根据
(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.
【分析】
(1)一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),2014年要投入教育经费是2500(1+x)万元,在2014年的基础上再增长x,就是2015年的教育经费数额,即可列出方程求解.
(2)利用
(1)中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费.
【解答】解:
设增长率为x,根据题意2014年为2500(1+x)万元,2015年为2500(1+x)2万元.
则2500(1+x)2=3025,
解得x=0.1=10%,或x=﹣2.1(不合题意舍去).
答:
这两年投入教育经费的平均增长率为10%.
(2)3025×(1+10%)=3327.5(万元).
故根据
(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元.
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量.
19.随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也大增,商社电器从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元,用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?
(2)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强,噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B型空气净化器的售价为1800元时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?
【分析】
(1)设每台B种空气净化器为x元,A种净化器为(x+300)元,根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同,列方程求解;
(2)根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可.
【解答】解:
(1)设每台B型空气净化器为x元,A型净化器为(x+300)元,
由题意得,
=
,
解得:
x=1200,
经检验x=1200是原方程的根,
则x+300=1500,
答:
每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元,1500元;
(2)设B型空气净化器的售价为x元,根据题意得;(x﹣1200)(4+
)=3200,
解得:
x=1600,
答:
如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元.
【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系,注意分式方程应该检验,难度不大.
20.已知关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m=0
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实根为x1、x2,且x12+x22﹣x1x2=7,求m的值.
【分析】
(1)要证明方程有两个不相等的实数根,只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可;
(2)根据根与系数的关系可以得到关于m的方程,从而可以求得m的值.
【解答】
(1)证明:
∵x2﹣(m﹣3)x﹣m=0,
∴△=[﹣(m﹣3)]2﹣4×1×(﹣m)=m2﹣2m+9=(m﹣1)2+8>0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)∵x2﹣(m﹣3)x﹣m=0,方程的两实根为x1、x2,且x12+x22﹣x1x2=7,
∴
,
∴(m﹣3)2﹣3×(﹣m)=7,
解得,m1=1,m2=2,
即m的值是1或2.
【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用方程的思想解答.
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