新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案.docx
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新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案
第二章一元二次方程
2.1认识一元二次方程-
(1)
晋公庙中学数学组
学习目标:
1、会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”,“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析,列出方程,体会方程的模型思想,
2.通过分析方程的特点,抽象出一元二次方程的概念,培养归纳分析的能力
3.会说出一元二次方程的一般形式,会把方程化为一般形式。
学习重点:
一元二次方程的概念
学习难点:
如何把实际问题转化为数学方程
学习过程:
一、导入新课:
什么是一元一次方程?
什么是二元一次方程?
?
二、自学指导:
1、自主学习:
自学课本31页至32页内容,独立思考解答下列问题:
1)情境问题:
列方程解应用题:
一个面积为120m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m。
苗圃的长和宽各是多少?
设未知数列方程。
你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗?
阅读课本P48,回答问题:
1)什么是一元二次方程?
2)什么是一元二次方程的一般形式?
二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项?
2、合作交流:
1.一元二次方程应用举例:
1)一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?
列方程并化成一般形式。
2)求五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
如果设中间的一个数为x,列方程并化成一般形式。
3)如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?
列出方程并化简。
如果设梯子底端滑动xm,列方程并化成一般形式。
2.知识梳理:
1)一元二次方程的概念:
强调三个特征:
①它是______方程;②它只含______未知数;③方程中未知数的最高次数是__________.
一元二次方程的一般形式:
在任何一个一元二次方程中,_______是必不可少的项.
2)几种不同的表示形式:
①ax2+bx+c=0(a≠0,b≠0,c≠0)②___________(a≠0,b≠0,c=0)
③____________(a≠0,b=0,c≠0)④___________(a≠0,b=0,c=0)
三、当堂训练
1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。
(1)x2-y=1
(2)1/x2-3=2(3)2x+x2=3(4)3x-1=0
(5)(5x+2)(3x-7)=15x2(k为常数)(6)ax2+bx+c=0(7)
2、.当a、b、c满足什么条件时,方程(a-1)x2-bx+c=0是关于x的一元二次方程?
这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?
当a、b、c满足什么条件时,方程(a-1)x2-bx+c=0是关于x的一元一次方程
3、下列关于x的方程中,属于一元二次方程的有几个()
①
,②
,
③
④
,
⑤
,⑥
A.6个B.5个C.4个D.3个
4.
化成一般形式后,二次项系数、一次项系数、常项分别为().
5.关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0,当k______时,是一元二次方程.,当k_______时,是一元一次方程.
6.当m=_________时,方程
是关于x的一元二次方程。
四、课堂小结:
一元二次方程的一般形式:
ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)
其中ax2,bx,c分别为二次项,一次项及常数项
五、作业:
基础题:
课本32页随堂练习1、2,知识技能2
提高题:
课本32页知识技能1
板书设计:
2.1一元二次方程
(1)
一元二次方程的一般形式:
ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)
其中ax2,bx,c分别为二次项,一次项及常数项
教学反思:
2.1一元二次方程
(2)
晋公庙中学数学组
学习目标:
1、探索一元二次方程的解或近似解;
2.提高估算意识和能力;
3.通过探索方程的解,增进对方解的认识,发展估算意识和能力。
学习重点:
探索一元二次方程的解或近似解
学习难点:
估算意识和能力的培养.
一、导入新课:
1.什么叫一元二次方程?
它的一般形式是什么?
2.指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
(1)2x2―x+1=0
(2)―x2+1=0(3x2―x=0
(4)―
x2=0(5)(8-2x)(5-2x)=18
二、自学指导:
1、P31花边问题中方程的一般形式:
________________________,你能求出x吗?
(1)x可能小于0吗?
说说你的理由;
(2)x可能大于4吗?
可能大于2.5吗?
为什么?
(3)完成下表
x
0.5
1
1.5
2
(8-2x)(5-2x)
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?
与同伴交流
2、合作探究
通过估算求近似解的方法:
先根据实际问题确定其解的大致范围,再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”,逐步求得近似解。
三、例题解析
例题1:
P31梯子问题
梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=102
一般形式:
______________________
(1)你认为底端也滑动了1米吗?
为什么?
(2)底端滑动的距离可能是2m吗?
可能是3m吗?
(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
x的整数部分是几?
(4)填表计算:
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x―15
进一步计算
x
x2+12x―15
十分位是几?
照此思路可以估算出x的百分位和千分位。
四、当堂训练:
1、见课本P34页随堂练习
2.一元二次方程
有两个解为1和-1,则有
____________,且有
________.
3.若关于x的方程
有一个根为-1,则m=_____________.
4.用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
5、用直接开平方法解下列一元二次方程:
(1)
(2)
(3)
五、课堂小结:
本节课我们通过解决实际问题,探索了一元二次方程的解或近似解,并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想.估计方程的近似解可用列表法求,估算的精度不要求很高
六、作业
基础题:
35页知识技能1
提高题:
1.完成基础题;2.课本35页知识技能2,数学理解3
板书设计:
2.1一元二次方程
(2)
求一元二次方程近似解,首先列表,利用未知数的取值,根据一元二次方程
的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)找到使方程左边可能等于0的未知数的取值范围,再进一步在这个范围缩小未知数的取值范围,根据需要,估算出一元二次方程的近似解。
教学反思:
2.2用配方法求解一元二次方程
(1)
晋公庙中学数学组
学习目标:
1.会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;
2.理解一元二次方程的解法——配方法.
3.把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2=n(n≥0)的形式,体会转化的数学思想。
学习重点:
会利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
学习难点:
把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2=n(n≥0)的形式
学习过程:
一、导入新课:
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)x2=9
(2)(x+2)2=16
2.什么是完全平方公式?
利用公式计算:
(1)(x+6)2
(2)(x-
)2
注意:
它们的常数项等于______________________________。
二、自学指导:
1、自主学习
预习课本36-37页,解方程:
x2+12x-15=0(配方法)
解:
移项,得:
________________
配方,得:
__________________.(两边同时加上__________的平方)
即:
_____________________
开平方,得:
_____________________
即:
______________________
所以:
_________________________
配方法:
通过配成_____________的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。
2、合作交流:
配方:
填上适当的数,使下列等式成立:
(1)x2+12x+_____=(x+6)2
(2)x2―4x+______=(x―____)2
(3)x2+8x+______=(x+_____)2
从上可知:
常数项配上______________________________.
三、例题解析
例1.解方程:
x
十8x一9=0.
解:
可以把常数项移到方程的右边,得x
十8x=9
两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得
x
十8x+42=9+42
即(X+4)2=25
两边开平方,得X+4=±5
即X+4=5,或X+4=-5
所以X1=1,X2=-9
四、当堂训练
1.一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程,配方后的方程为()
A.(x-1)2=m2+1B.(x-1)2=m-1C.(x-1)2=1-mD.(x-1)2=m+1
2.用配方法解下列方程:
(1)x
一l0x十25=7;
(2)
(3)x
+3x=1;(4)x
+2x十2=8x+4;
【拓展延伸】
1.关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是()
A.有两个解x=±B.两个解x=±-m
C.当n≥0时,有两个解x=±D.当n≤0时,方程无实根
五、课堂小结:
怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程?
六、作业:
1.习题2.3第1.2题.
2.习题2.3第1.2题.
板书设计:
2.2用配方法求解一元二次方程
(1)
用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:
1.移项,把方程的常数项移到方程的右边,使方程的左边只含二次项和一次项;
2.配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方,把原方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式;
3.用直接开平方法求出它的解.
教学反思:
2.2用配方法求解一元二次方程
(2)
晋公庙中学数学组
学习目标:
1.会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
2.进一步理解配方法的解题思路,掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤.
学习重点:
会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
学习难点:
理解配方法的解题思路
学习过程:
一、导入新课:
1.用配方法解方程
(1)x2+4x+3=0
(2)x2-2x=1
二、自学指导:
1、自主学习
例2:
解方程:
3x2+8x―3=0
解:
两边都除以____,得:
移项,得:
配方,得:
(方程两边都加上________________的平方)
开平方,得:
所以:
2、合作交流:
归纳:
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.把二次项系数化为1
2.移项,方程的左边只含二次项和一次项,右边为常数项;
3.配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方;
3.用直接开平方法求出方程的根.
三、例题解析
例1.解方程:
x
十8x一9=0.
解:
可以把常数项移到方程的右边,得x
十8x=9
两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得
x
十8x+42=9+42
即(X+4)2=25
两边开平方,得X+4=±5
即X+4=5,或X+4=-5
所以X1=1,X2=-9
四、当堂训练
1.用配方法解下列方程时,配方错误的是().
A.
,化为
B.
,化为
C.
,化为
D.
,化为
2.用配方法解下列方程:
(1)3x2-9x+2=0
(2)
(3)4x2-8x-3=0
【拓展延伸】
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=15t―5t2。
小球何时能达到10m高?
五、课堂小结:
怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程?
六、作业:
基础题:
1.习题2.4第1.2题.
提高题:
2.习题2.4第3题.
板书设计:
2.2用配方法求解一元二次方程
(2)
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.把二次项系数化为1
2.移项,方程的左边只含二次项和一次项,右边为常数项;
3.配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方;
3.用直接开平方法求出方程的根.
教学反思:
2.3用公式法求解一元二次方程
(1)
晋公庙中学数学组
学习目标:
1.知道一元二次方程的求根公式的推导;
2.会用公式法解简单数字系数的一元二次方程.
3.认识根的判别式,会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型.
学习重点:
学会用公式法解一元二次方程.
学习难点:
用配方法推到一元二次方程求根公式的过程.
学习过程:
一、导入新课:
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?
2、把下列方程化成(x+m)2=n的形式:
(1)x2-8x+3=0
(2)
x2-3x-5=0
3、请结合一元二次方程的一般形式,说出上述方程中的a、b、c的值分别是多少?
二、自学指导:
1、自主学习
认真阅读P41~42页例题之前内容:
(1)、一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x=
注意:
当b2-4ac<0时,一元二次方程无实数根。
(2)、公式法:
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
2、合作交流:
(1)你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗?
你是怎么想的?
(2)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac<0时,它的根的情况是怎样的?
归纳:
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
①当b2-4ac____0时,方程有两个不相等的实数根;
②当b2-4ac_____0时,方程有两个相等的实数根;
③当b2-4ac______0时,方程无实数根。
由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定.我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“△”来表示。
三、例题解析
例1.解方程:
(1)x2-7x―8=0
(2)4x2+1=4x
解:
(2)将原方程化为一般形式,得:
4x2-4x+1=0
这里a=4,b=-4,c=1.
∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0
∴x=
=
即X1=X2=
四、当堂训练
1.不解方程,判断下列方程的根的情况:
(1)2x2+5=7x
(2)3x2+2x+1=0
(3)4x(x+1)+3=0(4)4(y2+0.09)=2.4y
2.用公式法解下列方程:
(1)2x2-9x+8=0
(2)9x2+6x+1=0
(3)16x2+8x=3(4)x(x-3)+5=0
五、课堂小结:
用公式法解一元二次方程的步骤:
1.化成一般形式;
2.确定a,b,c的数值;
3.求出b2-4ac的数值,并判别其是否是非负数;
4.若b2-4ac≥0,用求根公式求出方程的根;若b2-4ac<0,直接写出原方程无解,不要代入求根公式。
六、作业:
基础题:
1.习题2.5第1、2题.
提高题:
2.习题2.5第3、4题.
板书设计:
2.3用公式法求解一元二次方程
一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x=
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
①当b2-4ac____0时,方程有两个不相等的实数根;
②当b2-4ac_____0时,方程有两个相等的实数根;
③当b2-4ac______0时,方程无实数根。
教学反思:
2.3用公式法求解一元二次方程
(2)
晋公庙中学数学组
学习目标:
1.会根据具体情境构建一元二次方程解决实际问题,体会方程模型思想.
2.进一步熟练求解一元二次方程.
3.会解决简单的开放性问题,即如何设计方案问题
学习重点:
会根据具体情境构建一元二次方程,并能熟练求解,从而解决实际问题,体会方程模型思想.
学习难点:
会解决简单的开放性问题,即如何设计方案问题.
学习过程:
一、导入新课:
1、用配方法解方程:
(1)x2-8x+3=0
(2)
x2-3x-5=0
2、用公式法解方程:
(1)2x2-9x+8=0
(2)16x2+8x=3
二、合作探究:
1.在一块长为16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半,你能给出设计方案吗?
小明:
我的设计方案如右图所示,其中
花园四周小路的宽度相等。
(1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样
的一元二次方程?
(2)求出一元二次方程的解?
(3)这两个解都合要求吗?
为什么?
2.小亮:
我的设计方案如图所示,其中花园每个角上
的扇形都相同。
你能帮小亮求出图中的x吗?
(1)设花园四角的扇形半径均为xm,可列
怎样的一元二次方程?
(2)估算一元二次方程的解是什么?
(∏取3)
(3)符合条件的解是多少?
3、你还有其他设计方案吗?
请设计出来与同伴交流。
三、课堂练习
1、课本44页随堂练习1,对于本课花园设计问题,小颖的方法如图所示,你能帮她求出图中的x吗?
2、课本p45第2题。
四、课堂小结:
1、本节内容的设计方案不只一种,只要符合条件即可。
2、一元二次方程的解一般有________个,要根据_________舍去不合题意的解。
五、作业:
基础题:
1.习题2.6第1、3题.
提高题:
2.习题2.6第4题.
板书设计:
2.3用公式法求解一元二次方程
(2)
教学反思:
2.4用因式分解法求解一元二次方程
晋公庙中学数学组
学习目标:
会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程,通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程,体会转化思想。
学习重点:
正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.
学习难点:
正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.
学习过程:
一、导入新课:
1、如何对一个多项式进行因式分解?
有哪些方法?
2、如果两个数a、b,且满足ab=0,你能得到哪些结论?
二、自学指导:
1、自主学习
认真阅读P46~47页内容:
⑴、分解因式法:
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
⑵、因式分解法的理论根据是:
如果ab=0,则a=0或b=0。
⑶、自学例1,注意看清楚每一步是如何变形的?
其目的是什么?
2、合作交流:
(1)你能例题中的思路解一元二次方程x2-4=0吗?
你是怎么想的?
(2)对于一元二次方程(x+1)2-25=0可以怎样求解?
三、例题解析
例.用因式分解法解下列方程:
(1)(x+2)(x+4)=0
(2)4x(2x+1)=3(2x+1)
(3)5(x2-x)=3(x2+x)
解:
(2):
原方程可变形为
4x(2x+1)-3(2x+1)=0
(2x+1)(4x-3)=0
2x-1=0,或4x-3=0
∴X1=
X2=
(3):
原方程可变形为
5x2-5x=3x2+3x
5x2-3x2-5x-3x=0
2x2-8x=0
2x(x-4)=0
2x=0,或x-4=0
∴X1=0,X2=4
四、当堂训练
1.用因式分解法解下列方程:
(1)(4x-1)(5x-7)=0
(2)3x(x-1)=2-2x
(3)(2x+3)2=4(2x+3)(4)2(x-3)2=x2-9
2.用因式分解法解下列方程:
(1)(x-2)2=(2x+3)2
(2)(x-2)(x+3)=12
(3)2x+6=(x+3)2
3.一个数的平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数。
五、课堂小结:
1、分解因式法:
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
2、用因式分解法的基本思想是:
把方程化为ab=0的形式,如果ab=0那么a=0或b=0。
3、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是:
(1)通过移项,将方程右边化为零:
(2)将方程左边分解成两个一次因式之积;
(3)分别令每个因式都等于零,得到两个一元一次方程,
(4)分别解这两个一元一次方程,求得方程的解
六、作业:
1.习题2.7第2题(3)、(4)、(5)题.
2.习题2.7第3题.
板书设计:
2.4用因式分解法求解一元二次方程
1.用因式分解法的基本思想是:
把方程化为ab=0的形式,如果ab=0那么a=0或b=0。
2.用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是:
(1)通过移项,将方程右边化为零:
(2)将方程左边分解成两个一次因式之积;
(3)分别令每个因式都等于零,得到两个一元一次方程,
(4)分别解这两个一元一次方程,求得方程的解
教学反思:
2.5一元二次方程的根与系数的关系
晋公庙中学数学组
学习目标:
1.知道一元二次方程根与系数关系的推导过程.
2.理解一元二次方程根与系数的关系.
3.能用两根确定一元二次方程的系数.
4.能用根与系数的关系已知一根,不解方程确定另一根。
学习重点:
一元二次方程根与系数关系.
学习难点:
一元二次方程根与系数关系的应用.
学习过程:
一、导入新课:
通过前面的学习我们发现,一元二次方程的根完全由它的系数来决定。
求根公式就是根与系数关系的一种形式。
除此之外,一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢?
今天我们就来一起学习:
2.5一元二次方程的根与系数的关系
二、自学指导:
1、解下列方程:
(1)x2-2x+1=0
(2)x2+2
x-1=0
(3)x2+7x+6=0(4)2x2-3x+1=0
2、根据解方程求出的两个解
,计算两个解的和与积,完成下表:
方程
x2-2x+1=0
x2+2
x-1=0
x2+7x+6=0
2x2-3x+1=0
3、观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积,与原方程中的系数之间的关系有什么规律?
写出你的结论。
4、对于任何一个二元一次方
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- 北师大 九年级 上册 第二 一元 二次方程 教案