圆锥曲线性质.docx
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圆锥曲线性质
圆锥曲线的性质
、基础知识
(一)椭圆:
1定义和标准方程:
(1)平面上到两个定点FuF2的距离和为定值(定值大于F1F2)的点的轨迹称为椭圆,
其中F1,F2称为椭圆的焦点,F1F2称为椭圆的焦距
(2)标准方程:
1焦点在x轴上的椭圆:
设椭圆上一点Px,y,F1-c,0,F2c,0,设距离和
22
PFiPF2=2a,则椭圆的标准方程为:
-y2=1,其中ab0,b2二a2-c2
ab
2焦点在y轴上的椭圆:
设椭圆上一点Px,y,F10^c,F20,c,设距离和
22
PFi+|PF2;=2a,则椭圆的标准方程为:
专+令二丨,其中(aAb>0,b2=a2—c2)
ab
焦点在哪个轴上,则标准方程中哪个字母的分母更大
22
2、椭圆的性质:
以焦点在x轴的椭圆为例:
笃•爲=1ab0ab
(1)a:
与长轴的顶点有关:
A-a,0,Aa,0,AA=2a称为长轴长
b:
与短轴的顶点有关:
BdO,-b),B2(0,b),IB1B2=2b称为短轴长
c:
与焦点有关:
斤(—c,O)F?
(c,O),F1F2=2c称为焦距
(2)对称性:
椭圆关于x轴,y轴对称,且关于原点中心对称
(3)椭圆上点的坐标范围:
设PxO,yO,则-a乞xO空a,-b乞yO乞b
(4)通径:
焦点弦长的最小值
1焦点弦:
椭圆中过焦点的弦
2b2
2过焦点且与长轴垂直的弦,pq|=——
a
说明:
假设PQ过Fr;_c,O,且与长轴垂直,则P:
Lc,yO,Q1.—c,-yO,所以
(5)离心率:
e=c,因为ca,所以e-0,1
a
(6)焦半径公式:
称P到焦点的距离为椭圆的焦半径
=(|PFi|+IPF2I)-2PF』PF2(1+COSF1PF2)
2b2
.4c2=4a2-2PFj|PF21cosFfF2
PF」|PF2="_2c
1+cosF1PF21+cosF1PF2
比2.込各比出n吐
1cosRPF22
(2)双曲线:
F1,F2距离差为一个常数,则轨迹为双曲线的一支
2、标准方程:
(a>0,ba0b=2c卜2a
(a>0,b>0b=2c卜2a
焦点在哪个轴上,则对应字母作为被减数
b:
与虚轴的顶点有关:
Bi0,-b,B20,b,B1B2=2b称为虚轴长
c:
与焦点有关:
R(—c,0)F2(c,0),F1F2=2c称为焦距
(2)对称性:
双曲线关于x轴,y轴对称,且关于原点中心对称
(3)双曲线上点坐标的范围:
设Pxg,y0,则有xg_-a或x0_a,y0•R
亠亠c
(4)离心率:
e,因为ca,所以e二[1,•:
:
a
(5)渐近线:
当X—厂二:
或X—;•狀时,双曲线在向两方无限延伸时,会向某条直线无
限靠近,但不相交,则称这条直线为曲线的渐近线。
①双曲线渐近线的求法:
无论双曲线的焦点位于哪条轴上,只需让右侧的1变为0,再解
22
xy
出y关于x的直线即可。
例如在二2=1a0,b0中,求渐近线即解:
ab
②渐近线的几何特点:
直线x=a,x--a,y=b,y--b所围成的矩形,其对角线即为双
曲线的渐近线
a,b,c的
③渐近线的作用:
一是可以辅助作出双曲线的图像;二是渐近线的斜率也能体现关系。
(6)通径:
外弦:
双曲线两支上各取一点连成的线段
①内弦:
双曲线同一支上的两点连成的线段
(7)焦半径公式:
设双曲线上一点Pxo.yo,左右焦点分别为Fi,F2,则
①PR=|a+ex),PF2|=a—exo(可记为“左加右减”)
②由焦半径公式可得:
双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点,距离为c-a
一2日
(8)焦点二角形面积:
设双曲线上一点Px0,y0,则SPff-bcot(其中
丁-PRF2)
(三)抛物线:
1、定义:
平面内到一定点的距离等于到一条定直线(定点不在定直线上)的距离的点的轨
迹为抛物线
2、抛物线的标准方程及焦点位置:
小结:
通过方程即可判断出焦点的位置与坐标:
那个字母是一次项,则焦点在哪条轴上;
其坐标为一次项系数除以4,例如:
x2=4y,则焦点在y轴上,且坐标为0,1
2*丄^^1p
3、焦半径公式:
设抛物线y=2px(pA0)的焦点为F,A(x,y),贝yAF=x+
2
2
4、焦点弦长:
设过抛物线y=2pxp・0焦点的直线与抛物线交于
A",%)B(X2,y2),贝UAB=为+p(AB=AF十BF,再由焦半径公式即可
得到)
22
例1:
已知双曲线—丄
4b2
二、典型例题:
2
二1的右焦点与抛物线y=12x的焦点重合,则该双曲线的焦
点到其渐近线的距离等于(
答案:
A小炼有话说:
(1)一道题含多个圆锥曲线方程,往往以某些特殊点(焦点,顶点)为桥梁联接这些方程,在处理时通常以其中一个曲线方程(不含参)为入手点,确定特殊点的坐标,进而解出其他圆锥曲线的要素
答案:
A
例2:
22
已知双曲线笃-每=1a0,b0的实轴长为4、、2,虚轴的一个端点与抛物线
ab
2
x=2pyp0的焦点重合,直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平
行,则p=()
A.4B.3C.2D.1
思路:
本题涉及圆锥曲线和字母较多,所以首先要确定核心变量,从所求出发可尝试以p
作为核心变量,抛物线x=2py的焦点为0,卫,所以可得匕=卫,因为
I2丿2
2
2山壬亠2迈,所以双曲线方程为令
算=1,可求得渐近线方程为
p
y:
-二一Px,不妨设y=kx-1与y一Px平行,
4返4屈
则有
kP。
从相切可想到与抛
4.2
物线联立消元后的方程总=0:
Pyx4/2x2=2py
-1
2
X2—p_x-2p=0,所以
2,2
—8p=0解得p=4
答案:
A
如图,Fi,F2是椭
2
圆G:
二•■y2=1m-n-O与双曲线
mn
2
C上
C2:
2
a
2
y
寸1ab
率分别记为e\,e>,点
C2的一条渐近线是线段
A.
B.
线共焦点,所
c2
-a2b2,所求表达式
丄
22
eie.
2m~2c
2
旦
2
c
22
ma
2,本题与
c
焦半径
相关,所以考虑
AF,|+|AF2=2m,AF,-AF2
=2a。
结合AFi的中点与
F1F2的中点可得双曲线的渐近
线与AF2平行,从而AR丄AF2,所以有AF1
=F1F2
22
4c,联系上面条件
可得:
4c2二
AFi
11m2a2
222
eie2c
答案:
A
AF2
1—2
2JAF^AF2)+(AF1
2m2+2a2,所以
Xy22y2
例4:
已知椭圆G:
二2=1a■b.0与双曲线C2:
x1有公共的焦点,C2
ab4
的一条渐近线与以Ci的长轴为直径的圆相交于代B两点,若C恰好将线段AB三等分,
则()
13221
A.aB.a13C.bD.b2
22
思路:
因为G,C2有公共焦点,所以通过C2可得F1-'、5,0,F2.5,0,从而c»$5,
2a
圆的直径为2a,所以AB截椭圆的弦长为兰。
由双曲线得AB:
y=2x,进而与椭圆方
3
程联立,再利用弦长公式即可得到关于a(或b)的方程,解方程即可
解:
通过C2可得R-、、5,0,F2、.5,0,.c—5
2
例5:
22
xy
(2014,山东,10)已知ab0,椭圆C1的方程为—2=1,双曲线C2的方
ab
答案:
C
22
程是一22~1,C1与C2的离心率之积为
ab
,则C2的渐近线方程为(
)
A.x士:
2y=0
B.、_2x二y=0C.x二2y=0D.2x二y=0
思路:
要想求渐近线方程,关键在a,b的比值,所以将两个离心率均用a,b表示,再利用
答案:
A
a,b关
小炼有话说:
本题在设计上利用椭圆和双曲线中c的求法不同,从而使得两条曲线在a,b
相同的情况下,离心率的乘积中含有平方差公式的特点,从而简化运算,较易得出
Fi,F2,P是两曲线的一个交点,那么PFiPF2的值是()
思路:
所求PR,PF?
既是椭圆的焦半径,又是双曲线的焦半径。
所以由椭圆和双曲线定
义可得:
PR-PF?
]=2a,PR+PF2=2m,由此联想到两个式子的完全平方公
式,进而可求出pf1pf2,则
PFiPF^丄(|PFi|+|PF2〔2—(|PFi|—PF2)2]=m2—a2
4--
答案:
B
22
例7:
已知抛物线y2=2pxp0的焦点F与双曲线—=1的右焦点重合,抛物45
线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且AK=J2|AF,贝UA点的横坐标为
()
A.2-2B.3C.2-3D.4
思路:
因为两条曲线的焦点重合,所以可用双曲线计算出焦点的坐标c2=4*5=9,所以
2
F3,0,进而可确定抛物线方程:
y=12x,以及准线方程I:
X--3。
所以
22、
x-:
;:
—3iT2x,由焦
K(-3,0),设A点横坐标为x,则A(x,j12x),所以AK
例&设F为双曲线
169
22
x•3]T2x=2x•3,可解得:
x=3
答案:
B
=1的左焦点,在x轴上F点的右侧有一点A,以FA为直
简化计算,首先由FM
思路:
因为所求分式涉及到三条线段长度,若直接用距离公式则异常复杂,所以考虑时刻
FN联想到焦半径公式,设Mh,%),N(x2,y2),则有
FN—FM=e(X1+X2)+2a,设A(m,0),由双曲线可知F(-5,0),则FA的中点
答案:
D
可以利用特殊位置,比如A为右焦点时,便可轻松得到答案:
由对称性可得
22
例9:
如图,从双曲线冷一打“a■0,b■0的左焦点F引圆x2a2的切线,切
ab
点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,0为坐标原点,则
FT|=J|OF『=Jc2_a2=b,进而|MT|=|FM—FT=£|PF—b在寻找
M0|,因为M为线段FP的中点,且由双曲线性质得0为FF'的中点,所以连结PF',
1''
则由中位线性质可得OM=-PF,而PF恰好是另一焦半径。
所以
2
1'(1X)1'
MO—MT=—PF-l-PF—b=b——(PF—PF),由双曲线定义可得:
2吃丿2
PF-PF—2a,从而MO—MT=b—a
答案:
b-a
小炼有话说:
(1)题目中遇到中点问题,除了已知条件外,在椭圆和双曲线中还要注意
“原点也是两焦点的中点”这一隐藏条件
(2)在椭圆与双曲线中,因为两条焦半径存在几何关系(和差与a相关),所以题中出现
一条焦半径时,常见的辅助线是连出另一条焦半径。
X2y2
例10:
女口图,椭圆C:
21a2,圆
a4
O:
x2y2a4,椭圆的左右焦点分别为F1,F2,过椭圆上一点
P和原点O作直线I交圆O于M,N两点,若PF1■PF2=6,则
PM-PN的值为
得:
PMO—M|=0,PrOP申,N从(而N
22222
PM・PN|=r-Op=a+4-OP,所以只需确定OP即可,设P(x,y),即
22
222xy
OP=x+y,已知-y+〒=1,则需利用好PR,PF2=6,想到焦半径公式:
贝y
PR=a+ex,PF2=a—ex
I222
所以PFiPF2=a-ex=6,所以
以PM,PN|=6
答案:
6
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