五年级奥数高等难度练习题一.docx
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五年级奥数高等难度练习题一
五年级奥数高等难度练习题一
奥数试卷 五年级奥数高等难度练习题一 平均数问题:
幼儿园有三个班,甲班比乙班多4人,乙班比丙班多4人,老师给小孩分枣,甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣,乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣,结果甲班比乙班共多分3个枣,乙班比丙班总共多分5个枣。
问:
三个班总共分了多少个枣?
平均数问题答案:
设丙班有x个小孩,那么乙班就有个小孩,甲班有个小孩。
乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣,那么x个小孩就少分5x个枣,而乙班比丙班总共多分5个枣,所以多出来的那4个小孩分了个枣。
同理:
甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣,那么个小孩就少分个枣。
而甲班比乙班共多分3个枣,所以多出来的那4个小孩分了即个枣。
甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣,4个小孩就少3×4=12个枣,因此我们得到:
5x+5=3x+15+12,解得x=11. 所以,丙班有11个小孩,乙班有15个小孩,甲班有19个小孩,甲班每人分12个枣,乙班每人分15个枣,丙班每人分20个枣。
一共分了12×19+15×15+20×11=673个枣。
【小结】通过方程解决问题是常用的方法。
最值问题:
N是一个各位数字互不相等的自然数,它能被它的每个数字整除。
N的最大值是。
最值问题答案:
N不能含有0,因为不能被0除。
N不能同时含有5和偶数,因为此时N的个位将是0。
如果含有5,则2,4,6,8都不能有,此时位数不会多。
如果N只缺少5,则含有1,2,3,4,6,7,8,9,但是数字和为40,不能被9整除。
所以必须再去掉一位,为了最大,应该保留9放到最高位,为了使数字和被9整除,还需要去掉4。
此时1,2,3,6,7,8,9组成,肯定被9整除,还需要考虑被7和8整除。
前四位最大为9876,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312,9876312被7除余5;前四位如果取9873,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为216,9873216被7除余3;前四位如果取9872,剩下三个数字组成 奥数试卷 的被8整除的三位数为136,9872136被7除余1;前四位如果取9871,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632,9871632被7除余1;前四位如果取9867,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312,9867312被7整除。
行程问题:
(2010年IMC6年级复赛第22题,10分)有的母牛比一般人具有更健全的头脑,有一位农夫就曾这样认为,瞧!
有一天我的那头老家伙,有着斑纹的母牛正站在距离桥梁中心点5英尺远的地方,平静地注视着河水发呆,突然,他发现一列特别快车以每小时90英里的速度向它奔驰而来,此时,火车已经到达靠近母牛一端的桥头附近,只有两座桥长的距离了。
母牛毫不犹豫,马上不失时机地迎着飞奔而来的火车作了一次猛烈冲刺,终于得救了。
此时距离火车头只剩1英尺了,如果母牛按照人的本能,以同样的速度离开火车逃跑,那么母牛的屁股将有3英寸要留在桥上!
试问:
桥梁的长度是多少?
这只母牛狂奔的速度是多少?
圆柱体答案:
观察可知,老母牛一开始在火车的中心的左端。
在相遇过程中,火车走了:
2个桥长-1英尺;母牛走了:
个桥长-5英尺;在追及过程中:
火车走了:
3个桥长-英尺;母牛走了:
个桥长+英尺。
则在相遇和追及过程中:
火车共走了5个桥长-英尺;同样的时间,母牛走了1个桥长-英尺。
所以火车的速度是母牛狂奔时的5倍。
母牛的速度为90÷5=18英里/小时。
又根据2个桥长-1英尺=个桥长-25英尺所以个桥长=24英尺。
1个桥长=48英尺。
圆柱体:
如图,一个有底无盖圆柱体容器,从里面量直径为10厘米,高为15厘米在侧面距离底面9厘米的地方有个洞.这个容器最多能装毫升水圆柱体答案:
解答:
942 现在要求这个容器尽可能的多装一些水,则将圆柱适当的倾斜,可得新的圆柱的体积为:
毫升水。
奥数试卷 约数倍数:
若a,b,c是三个互不相等的大于0的自然数,且a+b+c=1155,则它们的最大公约数的最大值为,最小公倍数的最小值为,最小公倍数的最大值为约数倍数答案:
解答:
165、660、57065085 1)于a+b+c=1155,而1155=3×5×7×11。
令a=mp,b=mq,c=为a,b,c的最大公约数,则p+q+s最小取7。
此时m=165. 2)为了使最小公倍数尽量小,应使三个数的最大公约数m尽量大,并且使A,B,C的最小公倍数尽量小,所以应使m=165,A=1,B=2,C=4,此时三个数分别为165,330,660,它们的最小公倍数为660,所以最小公倍数的最小值为660。
3)为了使最小公倍数尽量小,应使三个数两两互质且乘积尽量大。
当三个数的和一定时,为了使它们的乘积尽量大,应使它们尽量接近。
于相邻的自然数是互质的,所以可以令1155=384+385+386,但是在这种情况下384和386有公约数2,而当1155=383+385+387时,三个数两两互质,它们的最小公倍数为383×385×387=57065085,即最小公倍数的最大值为57065085。
定义新运算:
规定:
A○B表示A、B中较大的数,A△B表示A、B中较小的数.若×=96,且A、B均为大于0的自然数A×B的所有取值有个。
定义新运算答案:
共5种; 分类讨论,于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数,则对于A或者B有3类不同的范围,A小于3,A大于等于3,小于5,A大于等于5。
对于B也有类似,两者合起来共有3×3=9种不同的组合,我们分别讨论。
1)当A<3,B<3,则×=96=6×16=8×12,无解;2)当3≤A<5,B<3时,则有×=96,显然无解;3)当A≥5,B<3时,则有×=96,则A+B=12.所以有A=10,B=2,此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。
4)当A<3,3≤B<5,有×=96,无解;5)当3≤A<5,3≤B<5,有×=96,无解; 奥数试卷 6)当A≥5,3≤B<5,有×=27,则A=9.此时B=3后者B=4。
则他们的乘积有27与36两种; 7)当A<3,B≥5时,有×=96。
此时A+B=12。
A与B的乘积有11与20两种; 8)当3≤A<5,B≥5,有×=96。
此时有B=9.不符;
9)当A≥5,B≥5,有×=96=8×12。
则A=5,B=9,乘积为45。
所以A与B的乘积有11,20,27,36,45共五种。
行程:
甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走米,丙每分钟走75米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?
行程答案:
①乙丙相遇时间:
×2÷=36。
②东西两镇之间相距多少米?
×36=5130钢筋截法:
把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋,如何截法最省材料?
钢筋截法答案:
设截成17米长的钢筋x根,截成24米长的钢筋y根。
则有17x+24y=239,可得非负整数解为x=7,y=5。
乘积相等:
把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。
乘积相等答案:
∵5=5,7=7,6=2×3,14=2×7,15=3×5, 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个,所以如把14 放在第一组,那么7和6只能放在第二组,继而15只能放在第一组,则5必须放在第二组。
这样14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。
奥数试卷 平方差:
有这样一类数,它们可以写作两个自然数的平方差,如3=22-12,被称作智慧树,那么从1开始,第1993个智慧数是多少?
平方差答案:
对于任意奇数2k+1=(k+1)2-k2,但1不符合要求,舍去2,对于所有能被4整除的数,4k=(k+1)2-(k-1)2,但4不符合要求,舍去3,对于被4除余2的数,假设 4k+2=x2-y2=(x-y)(x+y),当奇偶性相同时,(x-y)(x+y)可被4整除,与提设矛盾,舍去;当xy奇偶性不同时,(x-y)(x+y)为奇数,与提设矛盾,舍去.显然,从5开始每4个数中有3个是智慧数,而1到4中只有3只智慧数,第1993个智慧数为(1993-1)÷3×4+4=2660。
行程:
甲,乙两站相距300千米,每30千米设一路标,早上8点开始,每5分钟从甲站发一辆客车开往乙站,车速为60千米每小时,早上9点30分从乙站开出一辆小汽车往甲站,车速每小时100千米,已知小汽车第一次在某两相邻路标之间(不包括路标处)遇见迎面开来的10辆客车,问:
从出发到现在为止,小汽车遇见了多少辆客车?
行程答案:
小汽车出发遇到第一辆客车是在÷=21/16小时,小汽车每行一段需要30÷100=3/10小时,此时在(21/16)÷(3/10)=4又3/8段的地方相遇。
遇到第一辆客车后,每隔5÷=5/160小时遇到一辆客车,当在端点遇到客车时,每断路只能再遇到9辆车[÷(5/160)=],因此过路标少于3/10-9×(5/160)=3/160小时遇到客车时,才能满足条件。
当小汽车行完5段,就刚好在路标处遇到第7辆,因此这段只能遇到9辆,下一次刚好能遇到10辆,所以共遇到了7+9+10=26辆。
正方形:
右图是16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是多少厘米?
正方形答案:
每个正方形的面积为400÷16=25(平方厘米),所以每个正方形的边长是5厘米。
观察右图,这个图形的周长从上下方向来看是7×2=14条正方形的边组成,从左右方向来看是4×2+3×4=20条正方形的边组成,所以其周长为5×14+5×20=170厘米。
奥数试卷 答题:
100个人回答五道题,有81人答对第一题,91人答对第二题,85人答对第三题,79人答对第四题,74人答对第五题,答对三道题或三道题以上的人算及格,那么,在这100人中,至少有多少人及格。
答题答案:
答对三道题或三道题以上的人算及格,要使100人中,及格人数尽可能少则需使每人首先都答对其中的两题,余下-2×100=410-200=210道尽量分配给少数人,这少数人中每人最多再对3道所以210÷=70即在这100人中,至少有70人及格。
最大值:
把1、2、3、4、5、6、7、8填入下面算式中,使得数最大。
□□□□-□□×□□这个最大得数是多少?
最大值答案:
要使得数最大,被减数应当尽可能大,减数应当尽可能小。
例[1]的原则,可知被减数为8765。
下面要做的是把1、2、3、4分别填入□□×□□的4个□中,使乘积最小。
要使乘积最小,乘数和被乘数都应当尽可能小。
也就是说,它们的十位数都要尽可能小。
因为:
12×34=408而14×23=322,13×24=3128765-13×24=8453。
数字:
2008年第29届奥运会将在北京举办.则20082008的个位数字是多少?
数字答案:
算式中每个乘数的个位数字都是,8×8×8×L的个位数字周期性出现:
8、4、2、6、8、4、2、6……,周期为4,2008÷4=502,所以的个位数字是6.自然数:
对任意两个不同的自然数,将其中较大的数换成这两数之差,称为一次变换。
如对18和42可进行这样的连续变换:
18,42→18,24→18,6→12,6→6,6。
直到两数相同为止。
问:
对12345和54321进行这样的连续变换,最后得到的两个相同的数是几?
为什么?
自然数答案:
如果两个数的最大公约数是a,那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。
因此在每次变换的过程中,所得两数的最大公约数始终不变,所以最后得到的 奥数试卷 两个相同的数就是它们的最大公约数。
因为12345和54321的最大约数是3,所以最后得到的两个相同的数是3。
约数:
100以内约数个数最多的自然数有五个,它们分别是几?
约数答案:
如果恰有一个质因数,那么约数最多的是=64,有7个约数; 如果恰有两个不同质因数,那么约数最多的是×=72和×3=96,各有12个约数;如果恰有三个不同质因数,那么约数最多的是×3×5=60,×3×7=84和2××5=90,各有12个约数。
所以100以内约数最多的自然数是60,72,84,90和96。
座位:
一排椅子只有15个座位,部分座位已有人就座,乐乐来后一看,他无论坐在哪个座位,都将与已就座的人相邻。
问:
在乐乐之前已就座的最少有几人?
座位答案:
将15个座位顺次编为1:
15号。
如果2号位、5号位已有人就座,那么就座1号位、3号位、4号位、6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。
根据这一想法,让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座,也就是说,预先让这5个座位有人就座,那么乐乐无论坐在哪个座位,必将与已就座的人相邻。
因此所求的答案为5人。
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