实变函数题库集答案.docx

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实变函数题库集答案

实变函数试题库及参考答案本科

、题

1设A,B为集合，贝UABUB_AUB（用描述集合间关系的符号填写）

2•设A是B的子集，贝UA_B（用描述集合间关系的符号填写）

3•如果E中聚点都属于E，则称E是闭集

4.有限个开集的交是开集

5•设Ei、E2是可测集，则mEUE2_mE!

mE?

（用描述集合间关系的符号填写）

n*

6•设E?

是可数集，则mE=0

7•设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a?

1,Exfxa是可测集，则称fx在E上可测

8可测函数列的上极限也是可测函数

9•设fnxfx,gnxgx，贝VfnXgnxfXgx

10•设fx在E上L可积，贝yfx在E上可积

11•设A,B为集合，则BAUAA（用描述集合间关系的符号填写）

12•设A2k1k1,2丄，则A=a（其中a表示自然数集N的基数）

13•设E?

n，如果E中没有不属于E，则称E是闭集

14•任意个开集的并是开集

15•设E1、E2是可测集，且E1E2，则mE1mE2

16.设E中只有孤立点，贝UmE=0

17•设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a?

1,Exfxa是可测，则称fx在E上可测

18•可测函数列的下极限也是可测函数

19•设fnxfx,gnxgx，贝卩fnxgnxfXgX

20•设nX是E上的单调增收敛于fx的非负简单函数列，贝yEfxdxlimEnxdx

21•设A,B为集合，则ABUBB

22•设A为有理数集，则A=a（其中a表示自然数集N的基数）

23•设E?

n，如果E中的每个点都是内点，则称E是开集

24•有限个闭集的交是闭集

25•设E?

n，则mE026•设E是？

n中的区间，贝Um*E=E的体积

27•设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a71,Exfxa是可测集，则称fx在E上可测

28•可测函数列的极限也是可测函数

29•设fnXfx,gnxgxa.e.,贝fnXgx

30•设fnx是E上的非负可测函数列，且单调增收敛于fx，由勒维定理，有

fxdxlimfnxdx

EnE

31•设A,B为集合，则BAIBUA=AUB

32•设A为无理数集，则A=c（其中c表示自然数集0,1的基数）

33•设E?

n，如果E中没有不是内点的点，则称E是开集

34.任意个闭集的交是闭集

35•设E?

n，称E是可测集，如果T?

n,m*Tm*TIEm*TIEc

36•设E是外测度为零的集合，且FE，则m*F=0

37•设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a?

1,Exafxb是可测，（ab）则称fx在E上可测

38.可测函数列的上确界也是可测函数

39•设fnxfx,gnxgxa.e.,贝Ufnxg.xfxgx

40•设fnxfx，那么由黎斯定理，fnx有子列fnkx，使f“kxfxa.e•于E

41.设A,B为两个集合，则AB_AIBc.（等于）

42.设ERn,如果E满足EE（其中E表示E的导集）,则E是闭.

43.若开区间（，）为直线上开集G的一个构成区间，则（，）满（i）（a,b）G（ii）aG,bG

44.设A为无限集.则A的基数A_a（其中a表示自然数集N的基数）答案：

45.设E1,E2为可测集,mE2,则m（E1E2）_mBmE?

.答案：

46.设f（x）是定义在可测集E上的实函数,若对任意实数a,都有E[xf（x）a]是可测集E上的可测函数.

47.设X。

是E（R）的内点,则m*E_0.答案

48.设仁匕）为可测集E上的可测函数列，且fn（X）f（X）,XE,则由黎斯—定理可知得，存在花&）的子列

a.e

fnk（X），使得fnk（X）f（X）（XE）.

49.设f（X）为可测集E（Rn）上的可测函数，则f（X）在E上的L积分值不一定存在且|f（x）|在E上不一定L可积.

50.若f（x）是［a,b］上的绝对连续函数，则f（x）是［a,b］上的有界变差函数•

51•设A，B为集合，则AUB___（BA）UA答案=

52•设ERn，如果E满足E0E（其中E0表示E的内部），贝UE是开集

53•设G为直线上的开集，若开区间（a,b）满足（a,b）G且aG,bG，则（a,b）必为G的构成区间

54.设A{x|x2n,n为自然数}，则A的基数=a（其中a表示自然数集N的基数）

55•设A,B为可测集，BA且mB，则mAmB_m（AB）答案=

56•设f（x）是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b（ab），都有E［xaf（x）b］是可测集

57•若E（R）是可数集，则mE_0答案=

a.e

58•设fn（x）为可测集E上的可测函数列，f（x）为E上的可测函数，如果fn（x）f（x）（xE）,则

fn（x）f（X）XE不一定成立

59•设f（x）为可测集E（Rn）上的非负可测函数，则f（x）在E上的L积分值一定存在

60•若f（x）是［a,b］上的有界变差函数，则f（x）必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）

多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）

1•设E0,1中无理数，则（ACD）

AE是不可数集BE是闭集CE中没有内点DmE1

2•设E?

n是无限集，则（AB）

AE可以和自身的某个真子集对等

BEa（a为自然数集的基数）

CE

Dm*E0

3•设fX是E上的可测函数，则（ABD）

A函数fx在E上可测

Bfx在E的可测子集上可测

Cfx是有界的

Dfx是简单函数的极限

4.设fx是a,b上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC）

Afx在a,b上可测

Bfx在a,b上L可积

Cfx在a,b上几乎处处连续

Dfx在a,b上几乎处处等于某个连续函数

5•设E?

n，如果E至少有一个内点，则（BD）

Am*E可以等于0Bm*E0CE可能是可数集DE不可能是可数集

6•设E?

n是无限集，则（AB）

AE含有可数子集BE不一定有聚点CE含有内点DE是无界的

7•设fX是E上的可测函数，则（BD）

A函数fx在E上可测

Bfx是非负简单函数列的极限

Cfx是有界的

Dfx在E的可测子集上可测

&设fx是a,b上的连续函数，则（

Afx在a,b上可测

b

Bfx在a,b上L可积，且R

a

b

Cfx在a,b上L可积，但R

a

Dfx在a,b上有界

9•设Dx是狄利克莱函数，即Dx

ABD）

fxdx

fxdx

0,1

a,b

a,b

xdx

xdx

中有理数，则（BCD）

中无理数

ADx几乎处处等于1BDx几乎处处等于0

CDx是非负可测函数DDx是L可积函数

n*

10•设E?

mE0,则（ABD）

AE是可测集BE的任何子集是可测集CE是可数集DE不一定是可数集

n1XE小

11•设E?

n,Exc」U（AB）

0xEc

A当E是可测集时，ex是可测函数

B当ex是可测函数时，E是可测集

C当E是不可测集时，ex可以是可测函数

D当ex是不是可测函数时，E不一定是可测集

12.设fx是a,b上的连续函数，则（BD）

Afx在a,b上有界

Bfx在a,b上可测

Cfx在a,b上L可积

Dfx在a,b上不一定L可积

13.设fx在可测集E上L可积，则（AC）

Afx,fx都是E上的非负可积函数

Bfx和fx有一个在E上的非负可积

Cfx在E上L可积

Dfx在E上不一定L可积

14.设E?

n是可测集，则（AD）

AEc是可测集BmECE的子集是可测集DE的可数子集是可测集

15•设fnxfx，则（CD）

Afnx几乎处处收敛于fx

Bfnx一致收敛于fx

Cfnx有子列fnx，使fnxfxa.e.于E

Dfnx可能几乎处处收敛于fx

16．设fx是a,b上有界函数，且L可积，则（BD）

Afx在a,b上黎曼可积

Bfx在a,b上可测

Cfx在a,b上几乎处处连续

Dfx在a,b上不一定连续

17.

设E

{［0,1］中的无理点}

则（CD）

（A）

E是可数集（B）

E是闭集

（C）

E中的每个点均是聚点

（D）mE0

18.

若E

（R）至少有一个内点，则（

BD）

（A）

mE可以等于0

B）m*E

0

（C）E可能是可数集

（D）E不可能是可数集

19.

设E

［a,b］是可测集，则

E的特征函数

e（x）是（ABC

（A）

［a,b］上的符号函数

（C）

E上的连续函数

（B）

［a,b］上的可测函数

（D）

［a,b］上的连续函数

20.设f（x）是［a,b］上的单调函数，则（ACD

（A）

f（x）是［a,b］上的有界变差函数

（B）

f（x）是［a,b］上的绝对连续函数

（C）

f（x）在［a,b］上几乎处处收敛

（D）

f（x）在［a,b］上几乎处处可导

21.设E

{［0,1］中的有理点}，则（AC

）

（A）

E是可数集

（B）

E是闭集

（C）

mE

0

（D）

E中的每一点均为E的内点

22.

若E（

R）的外测度为0，则（

AB

）

（A）

E是可测集

（B）

mE0

（C）

E一定

是可数集

（D）

E一定不是可数集

23.设mE,fn（x）为E上几乎处处有限的可测函数列，f（x）为E上几乎处处有限的可测函数，如果

fn（x）f（x）,（xE），则下列哪些结果不一定成立（ABCD

（A）Ef（x）dx存在（B）f（x）在E上L-可积

a.e

（C）fn（x）f（x）（xE）（D）limfn（x）dxf（x）dx

nEE

24.若可测集E上的可测函数f（x）在E上有L积分值，则（AD）

（A）f（x）L（E）与f（x）L（E）至少有一个成立

（B）f（x）L（E）且f（x）L（E）

（C）|f（x）|在E上也有L-积分值

（D）|f（x）|L（E）

三、单项选择

1.

下列集合关系成立的是（

A

）

A

B

AIA

B

A

B

IA

C

A

BUBA

D

B

A

UAB

2.

若E

Rn是开集，

则（

B

）

A

E

EBE0

E

C

E

EDEE

4.设fnx是E上一列非负可测函数，则（B）

A

limfn

x

dx

lim

fn

x

dx

Enn

n

En

B

Eijmfn

匕n

x

dx

lim

n

Efn

x

dx

C

limfn

x

dx

lim

fn

x

dx

En

n

En

D

血Efn

nE

x

dx

E血fn

En

x

5.

A

下列集合关系成立的是（

c

A）

c

UAc

UA

IAc

B

UA

c

c

C

I

A

IA

D

I

A

UA

6.

若E

Rn

是闭集，则（

C

）

A

E

E

BEE

C

E

E

DE0E

7•设E为无理数集，则（C）

A

9.

E为闭集BE是不可测集

F列集合关系成立的是（

CmE

DmE0

10.设

Rn,

UA

UAc

UAc

P为康托集，则（B

BmP

11•设

AP是可数集

13•下列集合关系成立的是（

P是不可数集

DP是开集

B则Bc

Ac

B则Ac

Bc

B则AI

B则AUBB

14.

Rn，则

E0

15.

x,0

mE

mE

2

CE是R中闭集

2

DE是R中完备集

16.

x是E上的可测函数,

则（

不一定是可测集

是可测集

是不可测集

不一定是可测集

17•下列集合关系成立的是（A）

（A）（AB）UBAUB

（B）

（AB）UB

（C）（BA）UAA

（D）

BAA

18.若ERn是开集，则

（A）E的导集E

（B）E的开核

（C）EE

（D）E的导集E

19.设P的康托集，贝U（C）

（A）P为可数集

（B）

P为开集

（C）mP0

（D）

mP1

20、设E是R1中的可测集，（X）是E上的简单函数，则（D）

（A）（x）是E上的连续函数

（B）

（x）是E上的单调函数

（C）（x）在E上一定不L可积

（D）

（x）是E上的可测函数

21•下列集合关系成立的是（A）

（A）

AI（BUC）（AIB）U（AIC）

（B）（AB）IA

（C）

（B

A）IA

（D）AUBAIB

22.

若E

R是闭集，则（B

）

（A）

E0

E

（B）

EE

（C）

E

E

（D）

EE

23.

设Q的有理数集U（C）

（A）

mQ

0

（B）

Q为闭集

（C）

mQ

0

（D）

Q为不可测集

24.

设E是Rn中的可测集，f（x）为E上的可测函数，若f（x）dx

E

0，则（A）

（A）在E上，f（x）不一定恒为零

（B）在E上，f（x）

0

（C）在E上，f（x）0

（D）在E上，f（x）

0

四、

判断题

1.

可数个闭集的并是闭集.

（x

）

2.

可数个可测集的并是可测集.

（

V）

3.

相等的集合是对等的.

（V）

4.

称fx,gx在E上几乎处处相等是指使

fxgx的x全体是可测集.（V）

5.

可数个F集的交是F集.

（

x）

6.

可数个可测函数的和使可测函数.

（V）

7.

对等的集合是相等的.

（

x）

8.

称fx,gx在E上几乎处处相等是指使

fxgx的x全体是零测集.（x）

9.

可数个G集的并是G集.

（

V）

10.零测集上的函数是可测函数

（V）

11.对等的集合不一定相等•

12.称fX,gx在E上几乎处处相等是指使f

13.可数个开集的交是开集

14.可测函数不一定是连续函数.

15.对等的集合有相同的基数.

16.称fx,gX在E上几乎处处相等是指使f

17.可列个闭集的并集仍为闭集

18.任何无限集均含有一个可列子集

19.设E为可测集，则一定存在G集G，使E

（V

）

x

g

x

的x全体是零测集.

（

V）

（x）

（V）

（V）

x

g

x

的x全体的测度大于

0

（X

）

（

X

）

（

V

）

G,

且

m

GE0.（

V

）

24.设E为可测集，则一定存在F集F,使F

E，且mEF

0.

（X）

（X）

20.设E为零测集，fx为E上的实函数，贝yfx不一定是E上的可测函数（X）

21.设fx为可测集E上的非负可测函数，贝yfxLE

22.可列个开集的交集仍为开集

23.任何无限集均是可列集

25.设E为零测集，则fx为E上的可测函数的充要条件是：

实数a都有Exf（x）a是可测集

26.设fx为可测集E上的可测函数，则fxdx一定存在.

E

五、简答题

1.简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合

答：

因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A,A的幕集2A的基数大于A的基数.

2.简述点集的边界点，聚点和内点的关系

答：

内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点

3.简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？

答：

连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限

4.a,b上单调函数与有界变差函数有什么关系？

答：

单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差

5.简述集合对等的基本性质.

答：

A:

A;若A:

B，贝yB:

A;若A:

B，且B:

C，贝UA:

C.

6.简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系

答：

内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成

7.可测集与开集、G集有什么关系？

答：

设E是可测集，则

0,开集G，使GE，使mGE，或G集G，使GE，且mGE0.

8.a,b上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系?

答：

绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数

9.简述证明集合对等的伯恩斯坦定理•

答：

若A:

BB，又B:

AA，贝UA:

B

10.简述R1中开集的结构

答：

设G为R1中开集，则G可表示成R1中至多可数个互不相交的开区间的并

11.可测集与闭集、F集有什么关系?

答：

设E是可测集，则

0,闭集FE，使mEF或F集fE，使mEF0

12.为什么说绝对连续函数几乎处处可微？

答：

因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.

13.简述连续集的基数大于可数集的基数的理由

答：

连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数.

14.简述Rn中开集的结构

答：

Rn中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并

15.可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系?

答：

设fnX,fX是可测集E上的一列可测函数，那

当mE时，fnxfx,a.e于E，必有fnxfx.

反之不成立，但不论mE还是mE,fnx存在子列仁x，使fnxfx,a.e于E.

当mE时，fnxfx,a.e于E，由Egoroff定理可得fnx近一致收敛于fx，反之，无需条件

mE，结论也成立.

16.为什么说有界变差函数几乎处处可微？

答：

由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.

17.简述无穷多个开集的交集是否必为开集？

11

答：

不一定，如I11丄1,1

n1nn

18.可测集E上的可测函数与简单函数有什么关系？

答：

简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式

19.a,b上的有界变差函数与单调函数有什么关系？

答：

单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差

20.简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？

11

答：

不一定如U1丄，1丄1,1

n1nn

21.可测集E上的可测函数与连续函数有什么关系？

答：

E上连续函数必为可测函数但E上的可测函数不一定时连续函数，E上可测函数在E上是“基本上”连续的函数

22.a,b上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？

答：

绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数

六、计算题

1•设fx

2

x

3

x

0,1

，其中E为0,1中有理数集，求fxdx.

E0,1

解：

因为mE

0，所以fX

x,a.e于0,1,于是fxdx

0,1

x3dx，

0,1

而x3在0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系,

x3dx

0,1

R1x3dx

0

因此

0,1

dx

0,1

中全体有理数,

x"丄rn

「1」2丄

x0,1

，求lim

n

fnxdx.

0,1

解：

显然

在0,1上可测，另外由fn

x定义知,

x0,a.e于

0,1

所以

0,1

dx0dx

0,1

因此lim

n

xdx

0.

0,1

3.设f

sinx

2

x

0,1

，P为康托集，求

P0,1

xdx.

解：

因为

mP

0，所以fx

x2,a.e于0,1

是fxdx

0,1

x2dx

0,1

而x2在0,1上连续，所以

x2dx

0,1

1x2dx

o

x3

因此

o,i

xdx

4.设fnx

nxsinnx

n2x2

0,1，求limfnxdx.

n

0,1

解：

因为fnx在0,1上连续，所以可测n1,2丄

又fnx

nxsinnx

nx

1nx

nx1

莎2‘xO'1』"L

而lim0，所以limfnx0.

n1n2x2n

因此由有界控制收敛定理

lim

n

fnxdxlimfnxdx0dx

0

0,1

11

0,1

0,1

3x

xE

5.

设fx

，E为

0,中有理数集，求f

:

xdx

cosxx

0-E