计数10讲六下07计数综合三.docx
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计数10讲六下07计数综合三
六年级下学期第七讲,计数问题第10讲
计数综合(三)
【内容概述】
理解对应法的思想,建立起所考察对象与另一类对象之间的联系,通过对后者的计数而得到答案.与几何图形相关的复杂计数问题.
【典型问题】
1.【80701】(导引奇数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里,允许有的盘子空着.请问一共有多少种不同的放法?
2.【80702】(导引偶数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?
3.【80703】(导引奇数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)若一个自然数中至少有两个数字,且每个数字小于其右边的所有数字,则称这个数是“上升的”.问一共有多少个“上升的”自然数?
4.【80704】(导引偶数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)在88的方格表中,取出一个如图17-1所示的由3个小方格组成的“L”形,一共有多少种不同的方法?
5.【80705】(导引奇数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★)从10到4999这4990个自然数中,其数字和能被4整除的数有多少个?
6.【80706】(导引偶数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)有一批规格相同的均匀圆棒,每根划分成相同的5节,每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂.问可以得到多少种着色方式不同的圆棒?
7.【80707】(导引奇数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)用剪刀沿图17-2中小方格的边界把44正方形格纸剪开成形状、大小都相同的两部分,共有多少种不同的剪法?
8.【80708】(导引偶数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★)如图17-3,八面体有12条棱,6个顶点.一只蚂蚁从顶点A出发,沿棱爬行,要求恰好经过每个顶点一次.问共有多少种不同的走法?
9.【80709】(导引奇数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★)纸上画有一个44的方格表,在它的四条边的旁边分别写有东、南、西、北这4个字.现在要用8个12的长方形将它盖住,共有多少种不同的覆盖方法?
10.【80710】(导引偶数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★)某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木,每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种,每色各涂两个面.当两个积木经过适当的翻动以后,能使各种颜色的面所在位置相同时,它们就被看作是同一种积木块.试说明:
最多能涂成多少种不同的积木块?
11.【80711】(导引奇数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)10人围成一圈,从中选出三个人,其中恰有两人相邻,共有多少种不同的选法?
12.【80712】(导引偶数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★)有8个队参加比赛,采用如图17-4所示的淘汰制方式.问在比赛前抽签时,可以得到多少种实质不同的比赛安排表?
13.【80713】(导引奇数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)4个数如果具有下面两个特点:
①它们都是非零的一位数,②两两之差恰好是1,2,3,4,5,6,那么就称这4个数组成了一个好数组.好数组中的数不计顺序.问共有多少个不同的好数组?
14.【80714】(导引偶数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★★)游乐园的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票,其中5个小朋友只有1元的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱.问有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?
15.【80715】(导引奇数题,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★)有一只表没有秒针,时针和分针无法辨别.在多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的时间,但有时也会出现两种可能,使你判断不出正确时间.请问从中午12时到夜里12时这段时间会遇到多少次无法判断的情况?
16.【80716】(题解议,王坤,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)有10个小朋友排成一列,要从中选出3个小朋友,要求这三人每两个都不相邻,有多少种不同的选法?
56。
考虑1~10中选1
a 8。 17.【80717】(题解议,王坤,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)由3个不同的数字按递增或者递减的顺序排列而成的三位数共有多少个? 204= + 。 1~9中选三个数从小到大排列或者从0~9中选4个数从大到小排列。 18.【80718】(题解议,王坤,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)求方程 的正整数解的组数。 。 在20个球中间加9块隔板。 【竞赛题】 19.【80719】(题解议,王坤,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★) ,请问这样的a,b,c,d共有多少组? 210。 考虑1 a 10。 20.【80720】(王坤,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)给五个正整数,分别对其中的1个数,2个数,3个数,4个数,5个数求和,一共可以得到多少个和数(3+8=11,1+3+7=11算不同的和)? 其中这些和数中奇数最多有几个? 31个;16个。 分为5偶、1奇4偶、2奇3偶、3奇2偶、4奇1偶、5个奇数讨论。 21.【80721】(王坤,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★)用1至9这9个数码组成若干个数,每个数码只用一次,使其和为99,共有多少种不同的组数方法? 212。 个位数字之和为39,十位数字之和为6。 十位为6,个位选取的方法有8种;十位为1,5或者2,4,个位选取的方法有7×6+7×6=84种;十位为1,2,3时方法有6×5×4=120种。 22.【80722】(王坤,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★)用8个1×3的矩形去放入5×5的方格表中,有一个1×1的格空着,但是1×3的矩形不能重叠,有几种不同的放法? 2种方法. 可以利用染色证明空着的方格是正中间那个方格。 如图,每一个1×3的图形都刚好盖住一个1,一个2,一个3。 23.【80723】(题解议,王坤,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★)圆周上有8个点,每两个点之间连一条线段。 假设每3条线段在圆内都没有公共交点,问圆内总共有多少个交点? 有多少个顶点都在圆内的三角形? 70= ,28= 。 24.【80724】(王坤,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★)将0,0,1,2,3,4分成两组(每组至少一个数),每组的数字又可以组成一个非零数,这样得到一个数组,如: (10,2034)、(10,2403)、(1,23400)、(401,230)等。 那么一共可以得到多少组不同的数(其中数组中两数交换顺序算相同的数组)? 如果要求两个数都是三位数呢? 360,72。 由0,0,1,2,3,4组成的六位数有4×5×4×3=240个,对于每一个六位数,在非零数字的前面将它分开形成两个多位数即可得一组数。 共得到240×3=720组,但是每一组都被算了两次所以共得到720÷2=360个。 如果是两个三位数,那么这个六位数的十万位与百位都不是0,这样的六位数有4×3×4×3=144个,从中间分开即可,但是每一组出现两次,共有144÷2=72组不同的数组。 25.【80725】(杨笑山,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★)圆周上均匀分布着14个点,以这些点中的其中4个为顶点可以连出很多四边形来,那么在这些四边形中: 1)四条边互不相等的共有几个; 2)恰有两边相等的共有几个。 注: 如果两个四边形可以通过旋转、对称而重叠,在本题中仍算做不同的四边形。 1)420。 把四边互不相同的四边形与14的整数分拆建立对应关系。 由于要求四条边互不相等,所以要求把14拆成四个互不相同的自然数,比如14=1+2+3+8。 这样的分拆方法一共有5种。 而每种分拆方法对应14 6个不同的四边形。 所以一共有14 6 5=420个。 2)616.恰有两边相等,意味着要把14拆成四个自然数,恰有两个是相同。 这样的分拆方法共有11种,每种分拆方法对应14 3个不同的四边形,所以共有14 3 11=462个不同的四边形。 26.【80726】(杨笑山,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)有一个圆环被分成8部分(如图2所示),现在有4种颜色可选,要将每一部分染上某种颜色,并且相邻两部分颜色不同,共有几种染色方法? (图形位置固定,不能旋转,因此某些染色方法虽然能通过旋转重合,但仍算不同的染色方法)。 6564。 把染色和传球过程对应起来,即可转化为计数综合 (二)第7题。 27.【80727】(王坤,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★★)王老师给小李、小杨、小刘各一张卡片,上面分别写着19□,81□,67□,小李、小杨和小刘分别在自己卡片上的□中填入0~9这十个数码得到十个三位数,然后每人给出一张卡片排列出来一些九位数(注意: 卡片可以倒着看,如: 198可以当861使用),一共可以得到多少个不同的九位数? 102020个。 小刘的卡片不能倒看,不考虑倒看时可得到30×20×10=6000个不同的九位数;小李的卡片倒过来而另两张卡片不倒过来可得到20×2×10+4×3×20×10=2800个(190倒过来不能作首位);小杨的卡片倒过来而另两张卡片不倒过来可得到20×2×10+3×3×20×10=2200个(810倒过来不能作首位,818倒过来和原来一样);小李与小杨的卡片都倒过来而小刘的卡片不倒过来可得到10×2+10×7×4+4×3×10×6=1020个(分190,810同时出现、只出现一个、不出现三种情况)。 总计12020个。 28.【80728】(邹瑾,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)一个长方体的体积是6300,且长、宽、高都是整数。 那么这样的长方体共有多少个? 答: 先分解质因数 。 将2个2,2个3,2个5和1个7分给长、宽、高,分别有6、6、6、3种方法,共648种方法。 但长、宽、高各不相等的长方体计算了6次,而长、宽、高中有两个相等的长方体计算了3次。 后一种长方体共8个,因此共有长方体112个。 29.【80729】(王坤,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★★★)一个序列由A、B组成,我们对于一个序列,如: AABBAAAABAABBBB,统计发现里面含有5个AA,3个AB,2个BA,4个BB,那么由15个字母A、B组成的序列中有多少个序列刚好含有2个AA,3个AB,4个BA? 答案: 因为两个字母连一块的组合有14组,所以还有5个BB,又因为BA比AB多一个,从而序列第一个字母为B,最后一个为A,先写上BABABABA,再往其中放入两个A,然后在与B相邻处放入5个B,放法一共有 =560。 30.【80730】(王坤,六下第7讲计数综合(三),计数问题第10讲★★★)常昊与古力两人进行七番棋冠军争霸赛,谁先胜四局即为取得比赛的胜利,那么比赛过程一共有多少种不同的方式? 答案: 70种。 31.【80731】(欧觉钧,六下第七讲计数综合[三],计数第10讲★★★★)如图,有15个坑分布在6条直线的交点处.现在要从中选择6个坑各种上一棵树,使得其中4条直线上各有3棵树.那么,一共有多少种种法? 答案: 种.任意4条直线共有6个交点,每条直线上有3个交点. 32.【80732】(欧觉钧,六下第七讲计数综合[三],计数第10讲★★★★★)如图,有两条平行线,如果每条上有3个点,连出3条线段,从图中最多可以数出5个三角形.如果每条上有4个点,连出4条线段,从图中最多可以数出16个三角形.如果每条上有10个点,连出10条线段,从图中最多可以数出多少个三角形? (210,对于n的情况是: ) 33.【80733】(试题与详解,六下第07讲,计数综合[三],计数第10讲)四年级三班有45名同学,在期末考试中,有22名同学语文成绩优秀,27名同学数学成绩优秀,且两门功课都优秀的人数是都不优秀人数的2倍,那么至少有一门功课优秀的学生有________名. 41. 依题设,我们可从两门功课都优秀的同学中选出一半,使他们分别和每个两门功课都不优秀的同学结成对子.然后“交换”每对中两名同学的语文成绩,这样形式上每名同学便均至少有一门功课优秀,并且现在两门功课全优秀的人数恰为实际上两门功课都不优秀的人数.这种调整保持各科成绩优秀的人数不变,按两门功课重复计数得到的成绩优秀的总人数为222749,它比全班的总人数多49454,这恰应是两门功课都不优秀的人数.从而本题的答案为45441. 34.【80734】(试题与详解,六下第07讲,计数综合[三],计数第10讲)如图1,9条小线段组成了4个小三角形,现在将每条小线段分别染上红、黄、蓝三种颜色之一,使得每个小三角形的三条边的颜色互不相同,那么共有种不同的染色方法. 答案: 48. 考虑中间的小三角形,使得其三条边的颜色互不相同的染色方法有321=6种,对应每一种染色法,其他3个小三角形的另两条边都各有2种染色法,由乘法原理得满足题意的染色法共有622248种. 35.【80735】(欧觉钧,六下第七讲计数综合[三],计数第10讲★★★)如图,在一个正方形的内部画若干个圆.如果画1个圆,最多把正方形分成5块;如果画1个圆,最多把正方形分成5块;如果画1个圆,最多把正方形分成9块.那么画10个圆最多把正方形分成多少块? 答案: 5+4+6+8+10+12+14+16+18+20=113 36.【80736】(习题与详解,六下第07讲,计数综合[三],计数第10讲…)两个可转动的圆盘都被3等分,并且写上数字(如图11-1),箭头所指部分的两个数的乘积为偶数的可能性是________. 注: 可能性可能发生的情况数全体情况数. . 第一个乘数有3种可能,第二个乘数也有3种可能,所以全部情况数为339.若乘积为奇数,则两个乘数肯定都是奇数.所以乘积为奇数的情况数为212,乘积为偶数的可能性为 . 37.【80737】(训练题库,六下第07讲,计数综合[三],计数第10讲)将前1万个自然数无间隔地写成一个数1234567891011121310000.证明: 这个数的所有数码的个数等于从1到100000这10万个数中所有0的个数.(…) 38.【80738】(训练题库,六下第07讲,计数综合[三],计数第10讲)用1~9九个数码组成若干个数(每个数码只能用一次),使其和为99.共有多少种不同的组数方法? (212种) 39.【80739】(邹瑾,六下第07讲,计数综合[三],计数第10讲★★★★)将圆周十二等分,那么以这些分点为顶点的梯形共有多少个? 答案: 120 1.(2004年ABC卷)我们把形如 的四位数称为“对称数”,如1991,2002等.在1000~10000之间有_______个“对称数”.(90) 2.(2004年ABC卷)下页左上图中的阴影部分是由4个小正方形组成的“L”图形,在图中的方格网内,最多可以放置这样的“L”图形(可以旋转、翻转,图形之间不可以有重合部分)的个数是__________.(6) 3.(2004年ABC卷)一部电视剧共8集,要在3天里播完,每天至少播一集,则安排播出的方法共有_______种可能.(21) 4.(2003ABC卷)今年是2002年,把2002年这样的年份称为“对称年”(年份的个位数字与千位数字相同,十位数字与百位数字相同),在1000年到9999年间共有__________个“对称年”(90). 5.(2000ABC卷)把一根圆木棍分成等长的四节.每节用红、黄、蓝三种颜色中的一种来涂,且三种颜色都要用上,共有_____种不同的涂法.(如果两根木棍可以经过翻转使得颜色顺序相同,那么认为这两根木棍是同一种涂法.)(18) 6.(2002ABC卷)把80个球放入6个相同的盒子.每个盒子中最少放10个球,且各盒中球的个数互不相同.问: 共有多少种不同放法? (7) 7.(2002ABC卷)将23分成三个不同的奇数之和,共有______种不同的分法.(8) 8.(2002ABC卷)3个孩子分20个苹果,每人至少1个,分得的苹果个数是整数,则分配方法共有__________种.(171) 9.(2002ABC卷)今年是2002年,把2002这样的年份称为“对称年”(年份的个位数字与千位数字相同,十位数字与百位数字相同),从2000年到2999年间共有_________个对称年.(10) 10.(1999ABC卷)如果一个自然数中至少有两个数字,且每个数字小于其左边的每个数字,则称这个数是“下降数”.由1,2,3,4,5,6这6个数字组成的2~6位数中的“下降数”共有________个.(57)
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