近世代数复习思考题.docx
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近世代数复习思考题
近世代数复习思考题
一、基本概念与基本常识的记忆
(一)填空题
1.剩余类加群Z12有个生成元.
2、设群G的元a的阶是n,则ak的阶是.
3.6阶循环群有个子群.
4、设群G中元素a的阶为m,如果ane,那么m与n存在整除关系为———。
5.模8的剩余类环Z8的子环有个.
6.整数环Z的理想有个.
7、n次对称群Sn的阶是——————。
8、9-置换123456789分解为互不相交的循环之积是—
543961827
———。
9.剩余类环Z6的子环S={[0],[2],[4]},则S的单位元是
10.Z24中的所有可逆元是:
.
11、凯莱定理的内容是:
任一个子群都同一个同构。
12.设G(a)为循环群,那么
(1)若a的阶为无限,则G同构于,
(2)若a的阶为n,则G同构于。
13.在整数环Z中,23=;
14、n次对称群Sn的阶是.
15.设A1,A2为群G的子群,则A1A2是群G的子群的充分必要条件
为。
16、除环的理想共有个。
17.剩余类环Z5的零因子个数等于.
18、在整数环Z中,由{2,3}生成的理想是.
19.剩余类环Z7的可逆元有个.
20、设Z11是整数模11的剩余类环,则Z11的特征是.
21.整环I={所有复数a+bi(a,b是整数)},则I的单位是
22.剩余类环Zn是域n是.
23、设Z7={0,1,2,3,4,5,6}是整数模7的剩余类环,在Z7[x]中,(5x-4)(3x+2)=.
24.设G为群,aG,若a12,则a8。
25、设群G={e,a1,a2,⋯,an-1},运算为乘法,e为G的单位元,则a1n=___.
26.设A={a,b,c},则A到A的一一映射共有个.
27、整数环Z的商域是.
28.整数加群Z有个生成元.
29、若R是一个有单位元的交换环,I是R的一个理想,那么RI是一个域当且仅当I是————————。
30.已知12345为S5上的元素,则1=。
312545
31.每一个有限群都与一个群同构。
32、设I是唯一分解环,则I[x]与唯一分解环的关系是
二、基本概念的理解与掌握。
(二)选择题
1.设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有()个元素。
A.2
B.5
C.7
D.10
2.设A=B=R(实数集),
如果A到B的映射
:
x→x+2,x∈R,
则是从A到B的(
)
A.满射而非单射
B.单射而非满射
C.一一映射
D.既非单射也非满射
3.设Z15是以15为模的剩余类加群,
那么,
Z15的子群共有
()个。
A.2
B.4
C.6
D.8
4、G是12阶的有限群,H是G的子群,则
H的阶可能是()
A5;B6;C
7;
D9.
5、下面的集合与运算构成群的是
()
A{0,1},运算为普通的乘法;
B{0,1},运算为普通的加法;
C{-1,1},运算为普通的乘法;
D{-1,1},运算为普通的加法;
6、关于整环的叙述,下列正确的是()
7、关于理想的叙述,下列不正确的是()
A在环的同态满射下,理想的象是理想;
B在环的同态满射下,理想的逆象是理想
C除环只有两个理想,即零理想和单位理想
D环的最大理想就是该环本身.
8.整数环Z中,可逆元的个数是()
A.1个B.2个C.4个D.无限个
9.设M2(R)=aba,b,c,d∈R,R为实数域按矩阵的加法和cd
乘法构成R上的二阶方阵环,那么这个方阵环是()。
A.有单位元的交换环B.无单位元的交换环
C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环
a,当a为偶数时
10.设Z是整数集,σ(a)=a21,aZ,则σ是R的
a1,当a为奇数时
2
B.单射变换
().
A.满射变换
11、设A={所有实数x},A的代数运算是普通乘法,则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是().
A、x→10xB、x→2x
C、x→|x|D、x→-x.
12、设是正整数集Z上的二元运算,其中abmaxa,b(即取a与b中的最大者),那么在Z中()
A、不适合交换律B、不适合结合律
C、存在单位元D、每个元都有逆元.
13.设S3={
(1),(12),(13),(23),(123),(132)},则S3中与元(123)不能交换的元的个数是()
A、1B、2C、3D、4.
14、设G,为群,其中G是实数集,而乘法:
ababk,这里k为G中固定的常数。
那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是()
A、0和x;B、1和0;C、k和x2k;D、k和(x2k)
15、设H是有限群G的子群,且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。
如果H6,那么G的阶G()
A、6B、24C、10D、12
16.整数环Z中,可逆元的个数是().
A、1个B、2个C、4个D、无限个。
17、设f:
R1R2是环同态满射,f(a)b,那么下列错误的结论为()
A、若a是零元,则b是零元
B、若a是单位元,则b是单位元
C、若a不是零因子,则b不是零因子
D、若R2是不交换的,则R1不交换
18、下列正确的命题是()
A、欧氏环一定是唯一分解环
B、主理想环必是欧氏环
C、唯一分解环必是主理想环
D、唯一分解环必是欧氏环
19.下列法则,哪个是集A的代数运算().
A.A=N,ab=a+b-2B.A=Z,ab=ab
C.A=Q,ab=abD.A=R,ab=a+b+ab
20.设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法,则以下
映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是().
1
A.x→-xB.x→
D.3个
x
A.3个B.4个
C.5个D.6个
23、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2abxc1,acxxac,那么x()
A.bc1a1;B.c1a1;C.a1bc1;D.b1ca。
24、设f:
G1G2是一个群同态映射,那么下列错误的命题是()A.f的同态核是G1的不变子群;
B.G1的不变子群的象是G2的不变子群。
C.G1的子群的象是G2的子群;
D.G2的不变子群的逆象是G1的不变子群;
25、设H是群G的子群,且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。
如果
H6,那么G的阶G()
A.6;B.24;C.10;D.12。
(三)判断题(每小题2分,共12分)
1、设A、B、D都是非空集合,则AB到D的每个映射都叫作二元运算。
()
2、除环中的每一个元都有逆元。
()
3、如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的,则G与整数加群同构。
()
4、如果群G的子群H是循环群,那么G也是循环群。
()
5、域是交换的除环。
()
6、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子。
()
7、设f:
GG是群G到群G的同态满射,a∈G,则a与f(a)的阶相同。
()
8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
()
9、循环群的子群也是循环群。
()
10、整环I中的两个元素a,b满足a整除b且b整除a,则a=b。
()
11、一个环若没有左零因子,则它也没有右零因子。
()
12、只要f是A到A的一一映射,那么必有唯一的逆映射f1。
()
13、如果环R的阶2,那么R的单位元10。
()
14、指数为2的子群不是不变子群。
()
15、在整数环Z中,只有±1才是单位,因此在整数环Z中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。
()
16、两个单位和的乘积也是一个单位。
()
17、环K中素元一定是不可约元;不可约元一定是素元。
()
18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积,所以零元和单位都不能唯一分解。
()
19、整环必是唯一分解环。
()
20、在唯一分解环K中,p是K中的素元当且仅当p是K中的
不可约元。
()
21、设K是唯一分解环,则K中任意二个元素的最大公因子都存在,且任意二个最大公因子相伴。
()
22、整数环Z和环Qx都是主理想环。
()
23、K是主理想环当且仅当K是唯一分解环。
()
24、整数环Z、数域P上的一元多项式环Px和Gauss整环
Zi都是欧氏环。
()
25、欧氏环必是主理想环,因而是唯一分解环。
反之亦然。
()
26、欧氏环主理想环唯一分解环有单位元的整环。
()
27、设环R,,的加法群是循环群,那么环R必是交换环.()
28、对于环R,若a是R的左零因子,则a必同时是R的右零因子.()
29、剩余类Zm是无零因子环的充分必要条件是m为素数.()
30、整数环是无零因子环,但它不是除环。
()
0
31、S20C是M2C的子域.()
202
32、在环同态下,零因子的象可能不是零因子。
()
33、理想必是子环,但子环未必是理想.()
34、群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等.()
35、有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。
()
三、基本方法与技能掌握。
(四)计算题
1.设为整数加群,,求[Z:
H]?
解在Z中的陪集有:
,
,
所以,[Z:
H]5.
2、找出S3的所有子群。
解:
S3显然有以下子群:
本身;(
(1))={
(1)};((12))={(12),
(1)};((13))={(13),
(1)};((23))={(23),
(1)};((123))={(123),(132),
(1)}
若S3的一个子群H包含着两个循环置换,那么H含有(12),(13)这两个2-循环置换,那么H含有(12)(13)=(123),(123)(12)=(23),因而H=S3。
同理,若是S3的一个子群含有两个循环置换(21),(23)或(31),(32)。
这个子群也必然
用完全类似的方法,可以算出,若是S3的一个子群含有一个
2-循环置换和一个3-循环置换,那么这个子群也必然是S3。
3.求Z18的所有子群。
解Z18的子群有
;
;
;
;
;
.
4.将表为对换的乘积.
解.
容易验证:
(42)(26)(12)(13)(27)(12).
5.设按顺序排列的13张红心纸牌
A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K
经一次洗牌后牌的顺序变为
3,8,K,A,4,10,Q,J,5,7,6,2,9
问:
再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?
解每洗一次牌,就相当于对牌的顺序进行一次新的置换.由题意知,第一次洗牌所对应的置换为
则3次同样方式的洗牌所对应的置换为
6.在Z6中,计算:
(1);
(2);(3);(4).
解
(1);
(2);
(3);
(4).
7.试求高斯整环的单位。
解设()为的单位,则存在,使得,于是
因为,所以.从而,,或
.因此可能的单位只有
显然它们都是的单位.所以恰有四个单位
8.试求Z12中的所有零因子与可逆元,并确定每个可逆元的逆元素.
解由定理可知:
(1)为Z12的全部零因子.
(2)为Z12的全部可逆元.直接计算可知,相应的逆元为
,,.9、找出模6的剩余类环Z6的所有理想。
解:
R={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}。
若I是R的一个理想,那么I一定是加群R的一个子群。
但加群R是循环群,所以它的子群一定也是循环群,我们有
G1=([0])={[0]}
G2=([1])=([5])=RG3=([2])=([4])={[0],[2],[4]}
G4=([3])={[0],[3]}
易见,G1,G2,G3,G4都是R的理想,因而是R的所有理想。
10.在Z12中,解下列线性方程组:
解:
x
35
1
6
1
156
11
y
21
1
13
231
9
即,.
11.求Z18的所有子环
解设为Z18的任一子环,则是Z18的子加群,而为
有限阶循环群,从而也是循环群,且存在,,使得.的可能取值为1,2,3,6,9,12。
相应的子加群为
.
直接验证可知,以上六个子加群都关于剩余类的乘法封闭,所以它们都是Z18的子环.于是Z18恰有6个子环:
12.试求的所有理想.
解设为的任意理想,则为的子环,则
,且.
对任意的,,有
从而由理想的定义知,为的理想.由此知,的全部理想为且.
13、数域F上的多项式环Fx的理想(x21,x5x31)是怎样的一个
主理想
解由于x5x31x3x211,所以1x21,x5x31,于是得253
x21,x5x311F[x]。
14、在中,求的全部根.
解共有16个元素:
,,,将它们分别代入,可知
共有下列4个元素
为的根.
15.试举例说明,环Rx中的m次与n次多项式的乘积可能不是一个
m+n次多项式.
解例如,环Z6x中多项式
f(x)2x3x23x5与g(x)3x21
的乘积f(x)g(x)3x4x34x23x5就不是3+2次多项式.16.求出域Z3上的所有2次不可约多项式.
解经验算得知,Z3上的2次不可约多项式有三个,它们是:
x21,x2x1,x2x1.
17、指出下列哪些元素是给定的环的零因子
1 ,B0 -1,C1 2
01 04 2
(2)在Z12中,它的全部零因子是哪些.
(3)Z11中有零因子吗?
解
(1)|A||C|0A,C是零因子,但B不是.
(2)Z12中的零因子为[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]
(3)Z11中没有零因子.
18.求二阶方阵环M2(R)的中心.
解高等代数已经证明,n阶方阵A与任何n阶方阵可交换A
10
是纯量矩阵.因此M2(R)的中心CkkR.
20119.举例说明,非零因子的象可能会是零因子.
解:
设:
ZZ6是环同态满射,其中:
nn.则显然Z是整环,所以Z中没有零因子。
但在Z6中,2和3、4都是零因子.即2显然不是Z中的零因子,但22却是Z6中的零因子.这告诉我们:
非零因子的象可能会是零因子.
20.设R为偶数环.证明:
N4rrRR.
问:
N4是否成立?
N是由哪个偶数生成的主理想?
解:
4n,4mN,n,mR:
4n4m4(nm)N,nmR故(4n4m)N,另外nR,4rN,rR
(4r)n4(rn)N,rnR
n(4r)(n4)r(4n)r4(nr)N,nRnrR,
故n(4r),(4r)nN.总之有N4rrRR.另方面,由于
N4rrR,16,8,0,8,16,,
且4N.而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想,即
N4rrR88r8nrR,nZ8nnZ,但是
44r4nrR,nZ4nnZ,8,4,0,4,8,
因此,N4.实际上是N84.21、举例说明,素理想不一定是极大理想。
解例如Zx是有单位元的交换环,容易证明x是它的一个素理想.而理想x,2真包含x且x,2Zx.从而知x是Zx的素理想但不是极大理想.
22、设H{
(1),(12)},求S3关于H的所有左陪集以及右陪集.
解S3{
(1),(12),(13),(23),,(123),(132)}
H的所有左陪集为:
(1)H(12)H{
(1),(12)}H;
(13)H(123)H{(13),(123)};(23)H(132)H{(23),(132)}.
H的所有右陪集为:
H
(1)H(12){
(1),(12)};
H(13)H(132){(13),(132)};H(23)H(123){(23),(123)}.
四、综合应用能力。
(五)证明题
1.在群中,对任意,方程与都有唯一解.
证明令,那么,故为方程的
解。
又如为的任一解,即,则
这就证明了唯一性.
同理可证另一方程也有唯一解.
2.全体可逆的阶方阵的集合()关于矩阵的乘法构成一个非交换群.这个群的单位元是单位矩阵
每个元素(即可逆矩阵)的逆元是的逆矩阵.证明
(1)设都是阶可逆矩阵,则,,从而
.所以也是阶可逆矩阵.这说明矩阵的乘法是的代数运算;
(2)因为矩阵的乘法满足结合律,所以的乘法也满足结合律;
(3)设为阶单位矩阵,则,故,且对任意的,有所以,是的单位元.
(4)设,则.从而可逆,设为的逆矩阵,则,故,且..
所以的逆矩阵为在中的逆元.因此,构成
群.由矩阵的乘法易知,当时是非交换群.
3.,。
那么H是S3的一个子群。
证明I.H对于G的乘法来说是闭的,
(1)
(1)=
(1),
(1)(12)=(12),(12)
(1)=(12),(12)(12)=
(1);
II.结合律对于所有G的元都对,对于H的元也对;
V.
(1)
(1)=
(1),(12)(12)=
(1)。
4.一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分
而且必要条件是:
证明必要性。
H是G的非空子集且H的每一个元素的阶都有限。
若H是子群,则由子群的条件必有a,bHabH;
充分性。
由于H是G的非空子集,若a,bHabH;又H的每一个元素的阶都有限
aH,nN,aneaan1ea1an1H,综上知H是G的子群。
5.设是所有阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.
是所有行列式等于1的阶矩阵所组成的集合.则
是的子群.
证明首先,单位矩阵的行列式为1,所以非空.又对
任一阶方阵,如果,则,所以可逆,故
是的子集.又对任意的,有,所以.
这说明.从而由定理知,是的子群.6.群的任何两个子群的交集也是的子群.
证明
设为的两个子群,则
(1),所以,即;
(2)任给,则,因此
;
(3)任给,那么,因此,所以.从而由定理2知,是的子群.
7.设为的子群.则在中左陪集的个数与右陪集的个数相同.
证明设,分别表示在中的左、右陪集所组成的集合.令
.
则是到的双射.事实上
(1)如果,那么,故,所以,
.于是,为到的映射.
(2)任给,有,因此,为满射.
(3)如果,那么,因此,从而得为双射.即在中左陪集的个数与右陪集的个数相同.8.有限群的任一元素的阶都是群的阶数的因子.
证明设G的元a的阶为n,则a生成一个阶是n的子群,由以上定理,n整除G的阶。
9.设与为群,是与的同构映射,则
(1)如果为的单位元,则为的单位元;
(2)任给,为的逆元,即
证明
(1)因为由消去律知,为的单位元.
(2)任给,
从而知为的逆元.所以,.
10.如果是交换群,则的每个子群都是的正规子群.证明因为为交换群,所以的每个左陪集也就是右陪集.
11.设为群的子群.若,那么.
证明任给,如果,那么.如果,那么与是在中的两个不同的左陪集,所以,同理,.因为,而,所以.同理
可证:
.从而.由此知.
证明
(1),,,则所以,为的子群.
(2)任给,,则
所以,,从而.
13.群的任何两个正规子群的交还是的正规子群.
证明设与为的两个正规子群,,则为的子群.又任给,,则因为与都是的正规子群,所以
所以,.故.
14.设与是群,是到的同态映射.
(1)如果是的单位元,则是的单位元;
(2)对于任意的,是在中的逆元.即
证明
(1)因为是的单位元,设是的单位元,则
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