四边形难题.docx
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四边形难题.docx
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四边形难题
1、(06·广东省)如图,在□ABCD中,∠DAB=60°,点E、F分别在CD、AB的延长线上,且AE=AD,CF=CB.
(1)求证:
四边形AFCE是平行四边形.
(2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°,上述的结论还成立吗?
若成立,请写出证明过程;
若不成立,请说明理由.
2、(06·长春市)如图,在正方形ABCD中,△PBC、△QCD是两个等边三角形,PB与DQ交于M,BP与CQ交于E,CP与DQ交于F.
求证:
PM=QM.
3、两个全等的含
,
角的三角板
和三角板
如图所示放置,
,
,
三点在一条直线上,连结
,取
的中点
,连结
,
,试判
断
的形状,并说明理由.
4、(06·青岛市)已知:
如图,在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.
(1)求证:
△ADE≌△CBF;
(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?
并证明你的结论.
5、(陕西省中考)阅读下面短文:
如图①,△ABC是直角三角形,∠C=90°,现将△ABC补成矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个:
矩形ACBD和矩形AEFB(如图②).
(第27题图①)(第27题图②)
(第27题图③)(第27题图④)
解答问题:
(1)设图②中矩形ABCD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2,则S1_____S2(填“>”,“=”或“<”).
(2)如图③,△ABC是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出_____个,利用图③把它画出来.
(3)如图④,△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB,按短文中的要求把它补成矩形,那符合要求的矩形可以画出____个,利用图④把它画出来.
(4)在(3)中所画出的矩形中,哪一个的周长最小?
为什么?
6、已知,如图
ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=
,对角线AC、BD交于0点,将直线AC绕点0顺时针旋转,分别交BC、AD于点E、F
(1)证明:
当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数。
7、如图,
为正方形
边
的中点,
是
延长线上的一点,
,且交
的平分线于
.
(1)求证:
;
(2)若将上述条件中的“
为
边的中点”改为“
为
边上任意一点”,其余条件不变,则结论“
”成立吗?
如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.
1解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,∠DCB=∠DAB=60°,
∴∠ADE=∠CBF=60°,
∵AE=AD,CF=CB,
∴△AED,△CFB是正三角形在ABCD中,AD=BC,DC∥=AB,
∴ED=BF,
∴ED+DC=BF+AB
即EC=AF,
又∵DC∥AB,
即EC∥AF,
∴四边形AFCE是平行四边形;
(2)上述结论还成立,
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,∠DCB=∠DAB,AD=BC,DC∥=AB,
∴∠ADE=∠CBF,
∵AE=AD,CF=CB,
∴∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF,
∴∠AED=∠CFB,
又∵AD=BC,
∴△ADE≌△CBF,
∴ED=FB,
∵DC=AB,
∴ED+DC=FB+AB,
即EC=FA,
∵DC∥AB,
∴四边形EAFC是平行四边形。
2解:
在正方形ABCD中,△PBC、△QCD都是等边三角形,
∴∠QCB=∠PCD=30°.
又∵BC=CD,
∠PBC=∠QDC,
∴△EBC≌△FDC,
∴CE=CF.
又∵CQ=CD=BC=CP,
∴PF=QE,
又∵∠P=∠Q,
∠QME=∠PMF,
∴△MEQ≌△MFP,
∴PM=QM.
3解:
△EMC是等腰直角三角形;
连接AM,由题意得:
DE=AC,∠DAE+∠BAC=90°,
∴∠DAB=90°,
又∵DM=MB,
∴MA=
DB=DM,∠MAD=∠MAB=45°;
∴∠MDE=∠MAC=105°,
∴∠DMA=90°,
∴△EDM≌△CAM,
∴∠DME=∠AMC,EM=MC,
又∠DME+∠EMA=90°,
∴∠EMA+∠AMC=90°,
∴CM⊥EM,
∴△EMC是等腰直角三角形。
4
解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠4=∠C,AD=CB,AB=CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点,
∴AE=
AB,CF=
CD.
∴AE=CF.
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)当四边形BEDF是菱形时,四边形AGBD是矩形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵AG∥BD,
∴四边形AGBD是平行四边形.
∵四边形BEDF是菱形,
∴DE=BE.
∵AE=BE,
∴AE=BE=DE.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°.
∴四边形AGBD是矩形.
5
解:
(1)=;
(2)3,符合要求的矩形如图4所示
(3)图4中画出的矩形BCED、矩形ABFG和矩形AHIC的面积相等,
理由:
这三个矩形的面积都等于△ABC面积的2倍;
(4)以AB为边的矩形的周长最短,以BC为边的矩形的周长最长。
61.当旋转90°时,∠AOF=90°=∠BAO
∴EF∥AB(内错角相等)
又AF∥BE
∴ABEF是平行四边形
2.∵AD∥BC
∴∠FAO=∠FCO
AO=CO(平行四边形对角线互相平分)
∠AOF=∠CPE(对顶角相等)
∴△AOF≌△COE(ASA)
∴AF=CE
3.可能
∵△AOF≌△COE
∴OF=OE
∴BEDF是平行四边形(对角线互相平分)
当EF⊥BD时,BEDF是菱形(对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形)
∵AB=1,BC=√5,∠BAC=90°
∴AC=2
AO=1=AB
∴∠AOB=45°
∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=45°
即旋转45°时四边形BEDF是菱形
7
解:
(1)证明:
取AD的中点F,连接FM.
∵∠FDM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°∴∠FDM=∠BMN,
∵AF=
AD=
AB=AM=MB=DF,
∵BN平分∠CBE,
∴∠DFM=∠MBN=135°.
∵DF=MB,
在△DFM和△MBN中
∴△DFM≌△MBN.
∴DM=MN.
(2)解:
结论“DM=MN”仍成立.
证明如下:
在AD上截取AF'=AM,连接F'M.
∵DF'=AD﹣AF',MB=AB﹣AM,AD=AB,AF'=AM,
∴DF'=MB.
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°,
∴∠F'DM=∠BMN.
又∠DF'M=∠MBN=135°,
在△DF'M和△MBN中
∴△DF'M≌△MBN.
∴DM=MN.
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